1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 6
Текст из файла (страница 6)
−огр.Покажем, что сходится ∑ ∫||. Для этого рассмотрим��=1 ∩=�|| =адд. �||∪=1 ( ∩ )|| ≤св−во монот.для беск.меры �∪=1 ( )∩Итого ∑=1 ∫ ∩ ||∑=1 ∫ ||≤∪=1 || ≤ {−//−} ≤ � ||≤ ∫||.Т.к. это верно для любого m, то мы можем перейти к пределу при → ∞:∞∞∑∞=1 ∫ ∩ || ≤ ∑=1 ∫ || ≤ ∫|| ⇒ ∑=1 ∫ ∩ || – сходится равномерно по k(т.к. мажоранта не зависит от k), значит сходится ряд ∑∞=1 ∫ || ≤ ∫ ⇒ сходитсяряд ∑∞=1 ∫ (по свойству 1)�∩ =по св−ву счётн.адд.для огр.мн−вПереходим к пределу при → ∞.∞� = lim � �→∞=1 ∩ =∞т.к.ряд сход.равном.∞��=1 ∩� � lim �=1→∞ ∩∞� = � � .=1 4) Абсолютная непрерывностьA – измеримо, ′ ⊂ , – интегрируема на, ′ - измеримо ∀ > 0 ∃ > 0: (′ ) > ⇒�∫′ � ≤ Доказательство.f суммируема на → ∫ = lim ∫∩ , абсолютно интегрируема, ∫|| =lim ∫∩ ||.→∞→∞По определению предела ∀ ∃0 : ∀ > 0 �∫|| − ∫∩ ||� < ⇒2�∫∖(∩ )||� < 2 ⇒ ∫∖(∩ )|| < 2Рассмотрим измеримое ′ ⊂ .
∫′ = ∫′ ∩ + ∫′ ∖(′ ∩ ) ��� ′′ ∩ ∖(��������� )�� ≤ ��=∖�� � ≤ ��′|| <� < �∖(∩������� )монот.=′ ∖ �⎯⎯⎯⎯⎯�′��∩���огр.мн−во∖(∩ )� +22По свойству абсолютной непрерывности для конечных множеств для′ ∩ ⊂ ���∩ (′ ⊂ )выполнено; (′ ∩ ) < ⇒ �∫′ ∩ � <огр.2∀ > 0 ∃ > 0: (′ ) < (из абсолютной непрерывности для конечных множеств)∎�� � ≤′ + = 2 2∎5) Теорема Лебега справедлива для бесконечных множеств, т.е. ∈ – измеримо, : →п.в.(), | | ≤ () п. в. на , – интегрируема.
Тогдаℝ - измеримые функции, () ⇉→∞∃ lim ∫ = ∫ .→∞Доказательство. ≔ ∩ . По определению ∫ = lim ∫ .→∞ ⇒по опр.предела суммируема, значит ∃ ∫ = ∫∖����� + ∫����� ���⎯⎯�∫ →∞;3�⎯⎯�0→∞| | ≤ ∫∖ <∃0 : ∀ > 0 ∫∖ <∀∫∖3Из | ()| ≤ () п.в. на A при переходе при → ∞ получаем |()| ≤ () п.в. на A.Аналогично ∫∖ || < .3�∫ − ∫ � = �∫ + ∫∖ − ∫∖ − ∫ � ≤ ⋯f измеряется на = ∩ , т.к. измеряется на ∀ ⇒ измеряется на ; || ≤ ,∃ ∫ → ∃ ∫ 23… ≤ �∫ − ∫ � + ограничено, значит по теореме Лебега ∃ lim ∫ = ∫ ⇒ ∃0 : ∀ > 0→∞�∫ − ∫ � < ⇒ ∃ lim ∫ = ∫ .→∞6) Теорема Леви справедлива для бесконечных множеств, т.е. , – суммируемы, –п.в.∎монотонно возрастает, т.е. 1 () ≤ ⋯ ≤ () ≤ ⋯ , ∫ ≤ ∀. Тогда �� < ∞и ∃ ∫ = lim ∫ →∞Доказательство.• Б.О.О.
≥ 0 (см. теорему Леви для конечных множеств)• Рассмотрим | : → ℝ. Тогда по теореме Леви для конечных множеств → п.в.на и lim ∫ = ∫ •••→∞ =∪∞=1 . Тогда → п.в. на А (т.к. счётное объединение множеств меры 0 естьмножество меры 0)Из условия следует, что ∫ ≤ .
Переходя к пределу (по т.Леви), получим∫ ≤ ∀ ⇒ интегрируема на A ↗ ⇒ () ≤ () п.в. на A, f интегрируема, значит по теореме Лебегаlim ∫ = ∫ →∞∎7) Теорема Фату также справедлива для бесконечных множеств(без доказательства)Далее ответы на билеты 30-34 взяты из книжки Колмогорова-Фомина(стр.
332-337)Билет 30. Лемма.Для любого -измеримого множества A существует множество B вида =∩ , 1 ⊃ ⋯ ⊃ ⊃ ⋯ ; =∪ , 1 ⊂ ⋯ ⊂ ⊂ ⋯,где множества принадлежат ℜ( ), причём ⊂ и () = ().Тут ℜ = 1 × … × ; ℜ, 1 , … , – полукольца. Мера = 1 × … × , определяемая формулой() = 1 (1 ) × … × ( ), где = 1 × … × называется произведением мер 1 , … .Если 1 , … , -аддитивные меры, заданные соответственно на − алгебрах 1 , … , , то ихпроизведением мы назовём лебегово продолжение меры 1 × … × .
Будет обозначать егосимволом 1 ⨂ … ⨂ .Доказательство.По определению измеримости при любом n множество A можно погрузить во множество =1∪ Δ – объединение множеств Δ из так, что ( ) < () + .Положим =∩=1 и заметим, что множества имеют вид =∪ , где принадлежат . Положим, наконец, =∪=1 , мы получим систему множеств с нужнымисвойствами.∎Билет 31. Пусть область G на плоскости (x,y) ограничена вертикалями = , = и кривыми =(), = ().Как известно, площадь области G выражается интегралом () = ∫ {() − ()} . При этомразность (0 ) − (0 ) равна длине сечения области G вертикалью = 0 .
Нашей задачейявляется перенести такой способ измерения площадей на произвольные меры-произведения = ⨂ .В дальнейшем будет предполагаться, что меры и определены на − алгебрах, −аддитивны и обладают свойством полноты (если ⊂ и () = 0, то B измеримо), которым, какуказывалось ранее, обладают все лебеговы продолжения.Введём обозначения: = {: (, ) ∈ } ( фиксировано), = {: (, ) ∈ } ( фиксировано).Если X и Y – числовые прямые (а × – плоскость), то 0 есть проекция на ось Y сечениямножества A вертикальной прямой = 0 .Теорема Лебега-Кавальери.В перечисленных выше предположениях для любого – измеримого множества (∗) A() = � ( ) = � � � .Доказательство.(∗) Заметим, что интегрирование по X фактически сводится к интегрированию по множеству∪ ⊂ , вне которого подынтегральная функция равна нулю.
Аналогично, ∫ = ∫∪ . Достаточно показать равенство() = � () , где () = ( ),(∗∗)так как второе утверждение теоремы вполне аналогично первому. Заметим, что теоремаавтоматически включает в себя утверждение, что при почти всех x (в смысле меры ) множества измеримы относительно меры и что функция () измерима относительно меры . Безэтого формула (∗∗) не имела бы смысла.Мера – это лебегово продолжение меры = × , определённой на системе множестввида = 0 × 0 . Для таких множеств равенство (∗∗) очевидно, так как для них � � при ∈ 0 , () = � 00 при ∉ 0 .Без труда переносится равенство (∗∗) и на множества из ℜ( ), разложимые в конечную суммупопарно непересекающихся множеств из .Доказательство равенства (∗∗) в общем случае опирается на предыдущую лемму, которая имеет исамостоятельный интерес для теории лебеговых продолжений.Равенство (∗∗) легко переносится с множеств ∈ ℜ( ) на множества и при помощитеоремы Б.Леви, т.к.
() = lim () , 1 ≤ 2 ≤ ⋯ ; () = lim () , 1 ≥ 2 ≥ ⋯→∞→∞В силу непрерывности меры эти равенства имеют место в каждой точке x. Если () = 0, то()=0 и почти всюду () = ( ) = 0.Т.к. ⊂ , то для почти всех x множество измеримо и = ( ) = 0; ∫ () = 0 =().Следовательно, для множеств A меры 0 формула (∗∗) верна. В общем случае представим A в виде ∖ , где в силу предыдущей леммы, () = 0. Т.к.
формула (∗∗) верна для множеств B и C, толегко видеть, что она верна и для самого множества A.∎Билет 32. Теорема (геометрический смысл интеграла Лебега).Интеграл Лебега неотрицательной функции () равен мере = ⨂ множества A,определённого соотношением {(, ): ∈ , 0 ≤ ≤ ()}.Доказательство.Пусть Y – числовая прямая, – линейная мера Лебега, а множество A есть множество точек (x,y)вида {(, ): ∈ , 0 ≤ ≤ ()}, где M – какое-то -измеримое множество, а () –интегрируемая неотрицательная функция.
В этом случае() при ∈ ( ) = �; () = � ()0 при ∉ ∎Когда X – числовая прямая, множество M – отрезок, а функция f(x) интегрируема по Риману, этотеорема сводится к известному выражению интеграла через площадь, расположенную подграфиком функции.Билет 33.Рассмотрим тройное произведение = × × ; если на , , заданы меры , , , то меру = ⨂ ⨂ можно определить как ( ⨂ )⨂ или же как ⨂( ⨂ ).В действительности, как легко проверить, эти определения равносильны.Следующая теорема является основной в теории кратных интегралов.Теорема Фубини.Пусть меры и определены на − алгебрах, − аддитивны и полны: пусть, далее, = ⨂ и функция f(x,y) интегрируема по мере на множестве ⊂ × .Тогда (∗) ∫ (, ) = ∫ �∫ (, ) � = ∫ �∫ (, ) � .Утверждение теоремы включает существование внутренних интегралов в скобках при почти всехзначениях переменного, по которому берутся внешние интегралы.Доказательство.(∗) Заметим, что интегрирование по X фактически сводится к интегрированию по множеству∪ ⊂ , вне которого подынтегральная функция равна нулю.
Аналогично, ∫ = ∫∪ . Проведём сначала доказательство для случая (, ) ≥ 0. С этой целью рассмотрим тройноепроизведение = × × , где третий множитель есть числовая прямая, и произведение мер = ⨂ ⨂1 = ⨂1 , где 1 есть линейная лебегова мера.В U определим подмножество W условием: = {(, , )|(, ) ∈ , 0 ≤ ≤ (, )}. В силутеоремы о геометрическом смысле интеграла Лебега: () = ∫ (, ). С другой стороны, потеореме Лебега-Кавальери () = ∫ ( ) , где = × 1 и = {(, )|(, , ) ∈ }. Приэтом, снова по теореме о геометрическом смысле интеграла Лебега: ( ) = ∫ (, ) .Итого получаем: ∫ (, ) = ∫ �∫ (, ) � .Общий случай сводится к разобранному при помощи равенств:|(, , )| + (, ) −|(, , )| − (, )(, ) = + (, ) − − (, ); + (, ) =; (, ) =22Мы доказали теорему Фубини в предположении, что меры и (а значит, и ) конечны.Однако она остаётся справедливой и в случае -конечных мер.Билет 34. Замечание.Как показывают приводимые ниже примеры, из существования повторных интегралов� �� � и � �� � ∎не следует, вообще говоря, ни формулы теоремы Фубини, ни интегрируемость функции (, ) наA.
Однако, если существует хотя бы один из интегралов� �� |(, )| � и � �� |(, )| � то f(x,y) интегрируема на A и справедлива теорема Фубини.Доказательство.Пусть, ∃ ∫ �∫ |(, )| � = . Функция (, ) = min{|(, )|, } измерима, ограничена,а значит, и суммируема на A. По теореме Фубини.� (, ) = � �� (, ) � ≤ Функции образуют монотонно неубывающую последовательность, почти всюду сходящуюся к|(, )|. По теореме Б.Леви отсюда и из предыдущего неравенства следует, что функция |(, )|суммируема на A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
