1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда f — измерима.nf измерима ⇔ измеримо мн-во {f≤a}=∩{f n≤a}. Действительно, если x∈{f≤a } ⇒ f( x)≤a, тоnf n( x)≤suр f n( x)=f( x)≤a ⇒ {f≤a }⊂∩{f n≤a}. Если ∀ n f n( x)≤a ⇒ suр f n(x)≤a ⇒∩{f n≤a }⊂{f≤a}nnnnПересечение измеримых функций измеримо ⇒ ∩{f n≤a}измеримо ⇒ {f≤a } измеримо и fnизмерима. ■2) g(x ):=inf f n( x )>−∞ ∀x∈E, тогда g(x ), ∀ x∈E ∃lim f n( x), li m f n( x), li m f n( x) —n→∞nn→∞измеримы.inf доказывается так же, как и sup. li m α n=inf(suр αm ) ⇒ lim f n=inf(suр f m( x)), в условияхn→∞nm≥nn→∞nm≥nпредыдущей теоремы получаем измеримость верхнего предела.
Аналогично для нижнегопредела. Из измеримости верхнего и нижнего пределов следует измеримость lim. ■Также следует измеримость max(f(x),g(x)), min(f(x),g(x)), т. к. это частный случай sup и inf.E→→n→∞Теорема. f(x) измерима на Е ⇔ ∃f n — ступенчатые и измеримые функции: f n( x)f(x ).⇐) Уже доказано в п.2.2 предыдущей теоремы. ⇒) При помощи n>0 и f(x) будем1 m m+1конструировать {f n( x)}: разобьем числовую прямую на промежутки длины : [ ,),n n nm m+1)=ℝ ⇒ любое значение f попадет в какой-то промежуток. Рассмотримm∈ℕ, ∪[ ,n nn7m m+1mm+1mm+1)]={ ≤f<,}; ∪{ ≤f<}=E. Зафиксируем n>0.m nn nnnnmmm+1∀ x∈E ∃! m: x∈{ ≤f<}. Положим f n( x )= . Ясно, что f n( x) — ступенчатая, т. к.nnnпринимает не более чем счетное количество значений; кроме того, f n измерима, т.
к. каждоеmm+1ее значение определено на измеримом мн-ве { ≤f<}. Докажем равномерноеnnE11стремление к f: |f(x )−f n( x )|< ⇒ по признаку Вейерштрасса f n( x ) →→ f( x) , т. к. → 0. ■n→∞nn n→∞Свойство. f(x ), g(x) — измеримы на Е ⇒ f( x)±g( x ) — измеримы.По предыдущей теореме ∃ {f n }, {g n } − ступ.: f n(x )→→f( x), g n( x )→→g( x ). Достаточно доказать, что(f n( x )+g n(x )) — измерима: пусть f n принимает значения a 1, a2...; а функция gn — значенияb1, b 2...; x∈Ai ⇒ f(x )=a i; x∈Bj ⇒ g( x )=b j. Тогда функция (f n+gn ) принимает значенияс:=(a i+b j), причем их количество не более чем счетно. Хотим найти множество Х, накотором (f n+gn )( x )=c.
∃i, j: f n( x)=ai , g n(x )=b j, a i+b j=c. Так, видим, чтоx∈∪ i,j=(ai +b j=c)( A i∩Bj ) ⇒ (f n+g n )( x)=c. Это множество измеримо, т. к. состоит из−1f [[объединения и пересечения измеримых. Тогда, т. к. f n+g n→→f+g, то f+g — измеримо. ■Свойство. f( x) измерима ⇒ f k(x) измерима, k >0 ; ∀ x f( x )≠0 ⇒ f k( x ) измерима ∀ k.kφ( y ) − непр., f( x ) − измерима ⇒ φ( f( x )) − измеримо, в частности, для φ( y )=y . ■fСвойство. f( x), g( x) измеримы ⇒ (f⋅g )( x ) и ( )(x ) измеримы.g12222(a+b) −(a−b ) =4 ab; f( x )⋅g( x )= [( f( x )+g( x )) −(f( x)−g( x )) ] − является измеримым, т.
к.4f( x )1−1=f( x)⋅=f( x)⋅g (x ) (g( x )≠0) − тоже измеримо. ■состоит из измеримых.g( x )g( x)Свойство. f( x) измерима ⇒ |f( x)| измерим.2|f(x )|=√ f ( x) или |f(x )|=max( f( x ),0)−min(f( x),0) . ■Сходимость почти всюду.E0⊂E, P( x) выполнено на Е0, μ(E∖E0 )=0 ⇒ P(x) выполнено почти всюду.Для f n( x ) P( x ): ∃lim f n( x)∈ℝ. Если Р( х ) выполнено почти всюду, то f n( x ) сходится почтиn→∞всюду.Свойство. Пусть f n( x ) почти всюду сходится на Е, f n( x ) измерима, f(x)=lim f n(x); еслиn→∞∃lim , то f( x)=f( x ), в остальных случаях определяем f(x ) как угодно.
(f(x) — ф-ция,определенная на всем Е). Тогда f( x) — измеримая функция.Пусть f измерима на E 0⊂E, μ(E∖E0 )=0, {f<a}=( {f<a }⊂E0 )∪( {f<a }⊂E∖E 0) . Заметим, что∗∗μ(E∖E0 )=0 ⇒ для A⊂E∖E 0 ⇒ μ ( A)≤μ (E∖E0 ) {в силу монотонности},∗∗∗∗μ (E∖E0 )=μ( E∖E 0)=0 ⇒ μ (A )=0 ⇒ μ (A )=μ( A )=0: ∀ε>0 ∃Bε∈ε: μ ( AΔBε )<ε ⇒ Bε=∅{опр. измеримости А}. A ΔBε=A, μ∗(A )<ε. Тогда μ{f<a}=μ( E∖E 0)=0 ⇒ {f<a} измеримо . ■E∖ E0EEδ→→n→∞п. в. EТеорема Егорова. μ(E)<∞; f n( x) → f(x) ⇒ ∀δ>0 ∃Eδ⊂E: μ(E∖Eδ )<δ & f n( x)n→∞f(x ).Берем в рассмотрение последовательность мн-в, зависящих от m,n>0.
Рассмотрим1множество E mn = {x∈E: ∀ k≥n|f k(x )−f( x )|< }. Возьмем n 2>n1 и посмотрим, что произойдетmmmmс множеством E n . Легко понять, что E n ⊂E n . Отсюда следует следующее свойство:mmmmE1 ⊂E 2 ⊂..., т. е. последовательность монотонно возрастает. Введем в рассмотрение E = ∪ En12n≥1m{это предел по нашему определению}. Заметим, что множества E n измеримы, а значит, что8mmmи предел (E ) измерим.
По теореме о непрерывности мер μ(E )=lim μ( En ). Напишемn→∞определение этого предела: ∀δ>0 ∃n 0( m): n≥n0( m) ⇒ 0<μ(E m )−μ( Emn )< δm (*). Построим2искомое Eδ : Eδ=∩∞m=1Emn (m ). Докажем, что это искомое множество. Очевидна равномерная1mсходимость, проверим ее определение. Возьмем ε>0, выберем<ε, заметим, чтоEδ⊂En ( m)m(т. к. это пересечение).
По определению этого множества имеем, что1m∀ x∈En ( m) |f n(x )−f( x)|< <ε как только n≥n0(m ). Это и есть определение равномернойmсходимости. Осталось выяснить, насколько различаются меры. Сначала заметим, чтоmmmmμ(E∖E )=0 . Проверим это. Предположим, что x∈E∖E ⇒ x∉E ⇒ ∀n x∉En ⇒1m∃k>n: |f k(x)−f( x)|≥ {отрицание определения E n }. Это означает, что последовательностьmf n( x ) не сходится к f( x) в точке х.
По определению, это стремление отсутствует лишь на мнве меры 0, т. к. «почти всюду». Получается, что на E∖Em сходимости нет ⇒ оно имеет меруmноль, т. е. μ(E∖E )=0 . Отсюда легко получается, что μ(E∖Eδ )<δ. Покажем. μ( E∖Eδ )=mm=μ(E∖∩E n (m))={по закону двойственности}=μ(∪(E∖En (m)))≤{в силу счетной000mmm00∑субтрактивности}=∑ [μ(E∖E∖E) ]<∑ δ =δ . ■⏟)+μ(E⏟2mполуаддитивности}≤mmmμ( E∖E n (m ))={т.
к. E∖En ( m)=( E∖E )∪(E ∖En ( m) )}={по0m0mmm=0mn0 (m )< δm по20mm(∗)Для множеств бесконечной меры последние утверждения не верны, т. к. определение (*)предела выполнено только для конечных мер. ■{всюду}E→ 0=f( x) .# E=ℝ. Зададим f n(x )= 0, x<n . К чему стремится функция, если n→∞? fn(x ) n→∞1, x≥nОценим f n( x )−f(x ). suр|f n( x)−f( x )|=1. Никакой равномерной сх-ти нет.EδИнтеграл Лебега.Простейшее определение для ступенчатой функции. Предположим, имеется множество А,на котором задана f( x) , принимающая конечное или счетное число значений a 1, a2... , A 1, A 2...—∞множества, на которых f принимает значения a 1, a2...
. Интеграл Лебега —∑ a μ(A )=∫ fdμ.kkk=1AЭто определение не очень корректно. Мы предположим, что ряд сходится абсолютно, тогда∞порядок нумерации элементов не будет иметь значения.∑ |a |μ(A )<∞ . Имеет ли значениеkkk=1количество разбиений на ступеньки? Докажем, что нет.Корректность. Есть f( x) , заданная на Е. Пусть она представлена как ступенчатая двумяразными способами: a 1, a2... A 1, A 2... и b1, B2...
B1, B2... Значения из тех же чисел, но по-разному∞∞∑ |a |μ(A ) сходится , то и ∑|b|μ( B ) сходится.Возьмем ∑ |b |μ(B )=∑ |b |μ(B ∩E)=∑ |b |μ(∪( B ∩A ))=∑ |b |∑ μ(B ∩A )==∑ ∑ |b |μ( A ∩B )=(*)занумерованы. Покажем, что еслиjjj=1jjiiji=1∞jjjijj=1jjijijjjiiji//B j∩A i=∅ ⇒ |bj|μ( Bj∩Ai )=|ai|μ( Ai∩Bi )// B j∩A i≠∅. f( x )=bj, но f( x )=a i. Если x∈Bj∩Ai≠0 ⇒ b j=a i, т. е. |a i|=|bj|.
Используя это:(*)=∑ ∑ |a i|μ( Ai∩B j)=∑ ∑ |ai|μ( Ai∩Bj )=∑ |a i|∑ μ(A i∩B j )=∑|a i|μ(∪j ( Ai∩Bj ))=jiijiji9∑ |a |μ( A ), т. к. ∪B =E.=iijiДля равенства сумм без модулей, т. е. равенства самих интегралов, уберем из рассуждения| | . Утверждения останутся в силе, т. к. ряды сходятся абсолютно по условию, и всеоперации останутся законными.10Свойства интеграла от ступенчатых функций.I.
f суммируема (интегрируема) ⇔ |f| суммируема, причем|∫ fdμ|≤∫|f|dμ.EEII. f, g — ступенчатые, |f(x )|≤g(x ), g суммируема ⇒ f суммируема.f: знач. a 1, a2... на A 1, A 2...; g: знач. b1, b2... на B1, B2...∞Из условия∞∑ b μ( B ) — сходится абсолютно. Рассмотрим ряд ∑ |a |μ( A )=jj=1∞ji∞∞∑ |a |μ( A ∩E)=∑ |a |μ( A ∩(∪∑ ∑ |a |μ( A ∩B )≤(*)iii=1∞∞i=1j=1i∑ |a |μ[∪∞j=1iB j))=i=1ii∞i∞∑|a |∑ μ(A ∩B )=∞j=1ii=1(A i∩B j )]=i=1ii=1ijj=1j{ |ai|μ( A i∩B j)≤b j μ( A i∩B j).При μ(A i∩B j )=0 очевидно. Иначе a i=f( x ), bj=g( x ); |f( x )|≤g( x ) ⇒ |a i|≤bj}∞∞∞∞i=1j=1j=1i=1(*)≤∑ ∑ bj μ(A i∩B j )={т.
к. ряд состоит из неотриц. слагаемых}=∑ b j∑ μ( Ai∩B j)=...=∞∑ b μ( B )<∞. ■jjj=1III. f, g — ступенчатые и суммируемые, f( x)≤g( x ) ∀ x∈E, тогда∫ f dμ≤∫ gdμ.EEДоказательство аналогично доказательству пункта 2).Следствие. 1) f( x)≤M, f−сумм. ⇒ f( x)dμ≤M⋅μ(E).∫E∫ f( x )dμ.2) m≤f( x), f−сумм. ⇒ m⋅μ(E)≤EIV. Линейность интеграла. f, g — суммируемы на Е. Тогда ∀α, β∈ℝ αf+βg —суммируемы, причем (αf+βg)dμ=α f dμ+β gdμ.∫∫E∫EEf: знач. a 1, a2... на A 1, A 2...
; g: знач. b1, b 2... на B1, B2...Очевидно, что αf+βg — ступенчатая функция с значениями αa i+βb j на множествах A i∩Bj.Рассмотрим ряд∑ |αai +βb j|μ( Ai∩B j)≤{нер-во треугольника}≤ α ∑ |a |μ( A ∩B )+| |iiji, ji,j∑ |b |μ( A ∩B )={все слаг. неотриц.}= α⋅∑ |a |∑ μ( A ∩B )+|β|⋅∑ |b |∑ μ( A ∩B )=...=α ∑ |a |μ(A ) +|β| ∑ |b |μ(B ) — сходится ⇒ αf+βg — суммируема. Если в предыдущих+|β|ji| |ji,j| |iiiijijjjijjiji⏟j⏟СХОД , т.к . f СУММСХОД, т.к.
g СУММрассуждениях убрать модули, то получится док-во неравенства из условия. ■V. Аддитивность интеграла.1) f суммируема на Е, A⊂E, А измеримо ⇒ f суммируема на А.2) f определена на Е=А'∪A'', A '∩ A''=∅, A ' и А '' измеримы, f суммируема на A ' и A'' . Тогдаf суммируема на Е, причем fdμ= fdμ+ fdμ .∫E∫A'∫A''1) f: знач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
