1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

куски, т.ч. ∩ = ∅ ( ≠□), ⋃=1(∩ )Д-во корректности этого определения полностью аналогично д-ву корректности мерыпроизвольного многообразия, надо только суммы заменить на интегралы.Билет 47. Основная формула интегрального исчисленияВ одномерном случае ∫ () = () − (), где () = ′ ()В общем случае ∫()направляющей в-ра = ∫ () −1 , где – угол между внешней нормалью к М иБудем полагать, что ⊂ – открытое мн-во и = ̇ .∀ ∈ ∀ окр-ти т. а U выполняется ∩ ≠ ∅ (1)и ∩ ≠ ∅ (2)Док-во:∀ ∈ по определению ∩ ≠ ∅ и ∩ ≠ ∅.

Т.о. (1) выполняется всегда.Предположим, что (2) не выполняется, т.е. ∩ = ∅. = ∪ ∪ => в U есть только точки из и => ⊂ U – открытое, – замкнутое => ⊂ ̇ = => ∩ = ∅ => ∈ и ∩ = ∅ => ∉ => противоречие, т.е. (2) выполнено.Также будем полагать, что ≔ явл. Гладким (n-1)-мерным многообразием. ∈ , U – окр-ть т. а, т.ч. ∩ можно описать параметризацией Φ: Ω ⊂ −1 → ∩ Φ = (1 , … , ) � ( ′ )� = − 1, где Φ( ′ ) = ≔ (′ , ) = (1 , … , −1 , ) ∈ 11Матрица Якоби имеет вид Φ′ = ⎛ ⋮−1Б.о.о. det � �,=1≠0⎝ 1⋯⋱⋯1−1⋮ ⎞−1 ⎠Построим отображение : → , = (), = (1 , … , )□11…−1⎛ 11 () = 1 (1 , … , −1 )⋮⋱⋮⎜⋮′⎜−1−1� () = ( , … , ) => =…−1−1 1−1⎜ 1−1⎜ () = (1 , … , −1 ) + …−1⎝ 1=> det ′ |_ = (^′, 0 ) = det �+ = { ∈ : > 0}− = { ∈ : < 0}0 = { ∈ : = 0}[0 ] = ∩ −1≠0� ,=10⎞⋮⎟0⎟ => Φ(′ ) = (1 , … , −1 , 0)⎟⎟1⎠Возможны два варианта: [+ ] ⊂ ∩ ; [− ] ⊂ ∩ или [+ ] ⊂ ∩ ; [− ] ⊂ ∩ Д-во:Предположим, что 1 ∈ + перешла в ∩ Д-м, что тогда : [+ ] ⊂ ∩ , т.е.

∀2 ∈ + (2 ) ∈ ∩ 1, ∈ Введем ф-ю () = �−1, ∈ непрерывна и определена на двух открытых мн-вах.-Если А не содержит ни 1, ни -1, полный прообраз его ∅ - открыт.-Если А содержит 1 не содержит -1 олный прообраз его G – открытое-Если А содержит -1 не содержит 1 полный прообраз – открыт.Если А содержит 1 и -1 полный прообраз его ∪ – открыт.�()� опред. на V и непр на нем и не опред.

на 0 ⊂ = => опред. на \0От противного: пусть ∃2 ∈ +, т.ч. (2 ) ∈ ∩ Тогда ((1 )) = 1 и ((2 )) = −1Отрезок от 1 до 2 целиком лежит в +, т.к. 1 и 2 ∈ + и + выпукло как часть круга. Его можнозадать как 2 + (1 − )1 , ∈ [0,1]. ((2 + (1 − )1 )) – непрерывно и имеет значения наконцах 1 и -1=>должна принимать все значения от -1 до 1=>∃0 ∈ + : �(0 )� = 0, но ≠0 ∀ => противоречие=Ю все точки + попадают в ∩ □Билет 48. Теорема:∙ – открытое множество в , = , то – гладкое ( − 1) – мерное многообразие , ∀ ∈ ∃ – окрестность т.а - диффеоморфна шару ⊂ , = (), : → , 0 = { ∈ : = 0},: 0 → ∩ Б.о.о[+ ] = ∩ , [− ] = ̅ ∩ , (иначе сменить знак у )Б.о.о ∈ , ℎ - некоторый вектор, выпущенный из , ℎ ∈ ; ℎ ∉ () – не является касательным.Тогда для вектора + ℎ имеем место одна из двух ситуаций:1) ∃0 > 0 : ∃ > (0, 0 ) + ℎ ∈ ⇒ ℎ - внутренний вектор,2) ∃0 > 0 : ∃ > (0, 0 ) + ℎ ∈ ̅ ⇒ ℎ - внешний вектор.Док-во: −1 ( + ℎ)− ?////̅////∈ + ⇒ + ℎ ∈ , либо ∈ − ⇒ + ℎ ∈ – диффеоморфизм ⇒ ∃ = −1 ().

По определению дифференциала −1 ( + ℎ) − −1 () −(ℎ) = ( ∥ ℎ ∥). −1 ( + ℎ) − −1 () = ((ℎ) + (∥ ℎ ∥)) ⇒ можно записать в виде (1).Рассмотрим -ую компоненту вектора справа и слева. { − вектор, [] − − ая компонента}[ −1 ( + ℎ)] − [ −1 ()] = ([(ℎ)] + (1)) ⇒ Знак [ −1 ( + ℎ)] определяется знаком[(ℎ)] при всех малых ⇒ + ℎ ∈ для всех малых или + ℎ ∈ ̅ для всех малых ∎Билет 49.

Определение внешней и внутренней нормали: - ( − 1) –мерное многообразие → () - ( − 1) –мерное многообразие → \ () –одномерное пространство, состоящее из внешних и внутренних векторов. () = ([{(1 , … , −1 , 0) ∈ }] , = (1 , … , ), ′ () = ( ),=1 ()() = линейнаякомбинация первых ( − 1) столбца → эти столбцы являются базисом (), т.к любойкасательный вектор через них выражается. Последняя строка [ −1 ()]−1 ⊥ найденному базису ()(−1)+ ∆(−1)+1 ∆1 (−1)+2 ∆2,,…,)( ′ () ′ () ′ ()Где ∆ – определитель, который получается при вычеркивании i-той строки и −го столбца,( ,…,,,…, )∆ = �1,…, −1 ,+1 ,…, . Так же ⊥ базису будет следующий вектор: �⃗ =1−1+1 �((−1)+1 ∆1 , … , (−1)+ ∆ ) ⊥ () – вектор-столбцу.

Это нормаль внешняя или внутренняя???[ −1 (�⃗)] = [{()}−1 (�)] = [{ ′ ()}−1 (�)] = [[ ′ ()]−1 �⃗] = [ −(−1)+1 ∆1(−1)+ ∆,…,� ∙ {(−1)+1 ∆1 , … , (−1)+ ∆ }′ () ′ ()∆ 2 +⋯+∆ 2[ 1 ′ () ] = ′ ()′ ()ая строка [ ′ ()]−1 ����⃗]∙ = [�2∆1 ′ ()[+ …+2∆] ′ ()=Какова длина �⃗? Оказывается, −1�∆1 2 + ⋯ + ∆ 2 = �det((,)) ,=1Док-во:(�⃗, ′ () ////|�⃗|| ′ ()|////> 0 → внутренний�⃗ �′ ()< 0 → внешний) = 1 т.к −1 = ////∙ � � ∙ = 1(*)//// −1 , )) , �det(( , )−1) ,=1 ,=1 = ∙ = ∙ �det((= ()=С другой стороны, = | ′ ()|. Таким образом, подставляя в (*), получим:|�⃗|∙()∙ = 1 ⇒ |�⃗| = ()Билет 50. Теорема. (Основная формула интегрального исчисления)∙ – открытое множество в , = , = – дважды гладкое (2 раза непрерывнодифференцируемое ) многообразие размерности ( − 1). suppf ⊂ ̅ , т.е () – финитнаяфункция, – непрерывная и ограниченная в ∀ ≤ . Тогда�() = � () Док-во:Рассмотрим различные случаи расположения носителя (1) ⊂ G////| ≡ 0////Продолжим функцию на все пространство нулем: |̅ ≡ 0.

Поместим suppf, в куб (этовозможно, т.к - финитна), тогда (в данном случае)() = ∫() Пусть = � ∈ : − < < ∀ ≤ �, где достаточно∫ велико. {по т. Фубини} = ∫ … ∫ �∫− � 1 … −1 +1 … По формуле Ньютона –Лейбница внутренний интеграл равен �1 , … , −1 , , +1 , … , � −�1 , … , −1 , −, +1 , … , � = 0, т.к оба значения – это значения на гранях куба, где ≡ 0.Т.е интеграл слева тоже равен 0 ⇒ в случае (1) теорема верна.(2) ∩ ≠ ∅////////Сделаем дополнительное допущение: что ⊂ – окрестность, в которую можно ввестипараметризацию = (), : → , : 0 → ∩ .

= (1 , … , ), : + → ∩ , : − → ∩ ̅ .Б.о.о можно считать коорд. Функцией дважды гладкими, т.к - дважды гладкое →2 непрерывна в . Теперь в левом интеграле сделаем замену () = , чтобы превратить его винтеграл по -открытый шар в .замена переменых = ()() = {т. к ⊂ } = �() = ��−1 [∩ ] = +∩()]=() ⋅ | ′ ()| == �[ + ′ () ≠ 0 ⇒ ∃( ′ )−1 ⇒ ′ () = ′ () ∙ [ ′ ()]−1.=1=1 (−1)+ ∆{[ ′ ()]−1 }, = �() = [ ′ ()] = ′ () ∙ [[ ′ ()]−1 ] = �∙ ′ ()Где ∆ = = �� + =1(1 ,…,−1 ,+1 ,…, )�1 ,…,−1 ,+1 ,…, �| ′ ()| (−1)+ ∆′|∙()|== ′ () = на + �� ′ () ′ ()= (′ ())�=1(−1)+ ∆� +()(−1)+ ∆ () = {по т. Фубини}()(−1)+ ∆ () ]1 , … , −1 , +1 … , +[ ]= � [� += {по формуле интегрирования по частям}(−1)+ ∆() ]1 , … , −1 , +1 … , = � [�()[ + ] ++ � [() (−1)+ ∆ ] 1 , … , −1 , +1 … , = 0 +После суммирования:= −�Длина нормали:′ ()�� ()=1(−1)+ ∆ − ′ () � () (−1)+ ∆ −1 0�det( , )=1,=1 = () -ая компонента –косинус угла с -ой осью:(−1)+ ∆�det(… ) ′ < 0 → ′ > 0 →= [±] = cos(±�⃗, )(−1)+ ∆�det(… )(−1)+ ∆�det(… )– компоненты внешней нормали– компоненты внутренней нормалиПеред интегралом стоит ′ (), то в любом из перечисленных случаев получаем, что− ′ ()(−1)+ ∆()= .

Тогда 2-е слагаемое перепишется в виде∫ 0 () ()−1 = ∫∩ ()Покажем что первое слагаемое равно 0.11� …Рассмотрим ∆ , � ∆∑=−11+11� …11−11+1… 1… … … �…−1 −1−1… −1 +1 … �+1 +1+1……+1… −1… �… … …… … ……−1+1= {дифферинцируем по столбцам} =2 11… 1 1 … … 11−1+1(*)1∑−1=1 12 … 1 … 1−11… 1+1+Возьмем произвольное -ое слагаемое ( < ) из суммы и рассмотрим (**)=1=+1 ∆1 2 1 1111 2 111 1=�………+ �………1 −1 +1 1 −1 +1 Получается определитель (*), для этого нужно совершить перестановку ( − − 1) соседнихстолбцов, т.е он равен (−1)−−1 (∗).(∗) имеет знак (−1)+(∗∗) имеет знак (−1)++−− = (−1)+−1(∗) и (∗∗) имеют разные знаки ⇒ при суммировании они сократятся.Аналогично и для > .

Т.о., подынтегральное выражение в первом слагаемом равно нулю ⇒и он сам равен нулю ⇒�() = � () = {т. к. ⊂ , т. е. ≡ 0 вне ∩ } = � () ∩Т.е. теорема верна для случая, когда носитель мал и примыкает к границе.(3) Рассмотрим общий случай∀ ∈ → ∈ → ∃ : ��� ∈ ∀ ∈ → ∈ → ∃ ,в котором можно ввести специальную параметризацию (из II)⇒ покрытие . финитна ⇒ − компакт ⇒ ∃ конечное подпокрытие : 1 , … , , т.ч.∪=1 ⊃ Рассмотрим разбиение единицы, подчинённое этому покрытиюТогда ∫() ∈= ∫0∞ , ⊂ , � () ≡ 1 ∀ ∈ (∑=1 )=1= ∫ ∑=1( ) = ∑=1 ∫( ) =В силу свойств для каждого – отвечают либо I-ому случаю, либо II-ому случаю.= � � ⋅ ⋅ cos = � �� � ⋅ ⋅ cos = � ⋅ cos =1 =1Билет 51.

Рассмотрим следствия (частные случаи общей теоремы, которые, правда, былидоказаны раньше неё)Теорема (Формула Грина).ℝ2 = {(, )}, (, ) – непрерывно дифференцируемая функция, = , – область.Тогда = � cos , где = ∠(�⃗, );� � = � cos , где = ∠��⃗, �; И, сложив их, получим: � � + � = � � cos + cos � Теорема (Формула Гаусса-Остроградского).ℝ3 = {(, , )}, = , – область.Тогда (по аналогии) + � = � ( cos + cos + cos )�� + Теорема (Формула интегрирования по частям).Пусть f и g удовлетворяют условиям основной теоремы.()� = � cos () = ∫ � + ⋅ � − ∫ ⋅ + ∫ ⋅ cos С другой стороны, ∫Т.о., ∫=∎Билет 52.

Интеграл II рода по многообразию. Криволинейный интеграл.Γ – одномерное гладкое многообразие в ℝ . Т.к. оно гладкое, то в каждой точке существуеткасательный ⃗ (одномерное линейное многообразие). Пусть он будет единичный, т.е. �⃗� = 1.Пусть ⃗() – непрерывная функция на Γ.

Тогда она называется ориентацией Γ, а Γ –ориентированной.Утверждение.Пусть Γ – связное многообразие (т.е. ∀�, � ∈ Γ ∃ : [, ] → ℝ путь из � в �, лежащий в Γ)Тогда ∃ = 2 ориентации.Доказательство.Пусть на Γ задано 2 ориентации ⃗() и ⃗(); () ≔ �⃗(), ⃗()� = ±1. Пусть () = 1, () =−1. Соединим x и y путём. Тогда �()� – непрерывная функция со значениями +1 и -1 на концахотрезка [, ] ⇒ ∃ ∈ Γ, т.ч. () = 0. Такого быть не может ⇒ () ≡ 1 или () ≡ −1 на Γ, т.е.⃗ ⇈ ⃗ или ⃗ ↑↓ ⃗ (в любой точке)∎Если многообразие не односвязное, то ориентация может быть сколь угодно много.Пусть L – одномерное гладкое многообразие.

Характеристики

Список файлов лекций