1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734)
Текст из файла
nЧто такое площадь? Что такое мера? ℝРассмотрим параллелепипед (n-мерный прямоугольник, т. е. декартово произведениепромежутков). Промежуток: (a,b), [a,b), (a,b], [a,b]. Обозначать будем <a,b>Пусть имеем x 1...x n . И на каждой оси имеем ⟨ ak ,b k ⟩, k=1...n. Тогда P=⟨a 1,b 1 ⟩×...×⟨a n,b n ⟩, т. е.n{x∈ℝ ∣xn∈⟨a k,bk ⟩, k=1...n}.nМера: m(P)=∏ ( b k−a k ) {произведение длин его сторон}. Доказать дома: аддитивность.k=1Элементарные мн-ва — конечное объединение попарно непересекающихся множеств.Любая прямая или точка, пустое мн-во — тоже прямоугольник.kА(элемент.мн−во)=U j=1 P j, P j−прямоугольник.Pi∩P j=∅ при i≠j.Теорема. ε — класс элементарных множеств. Тогда A∩B, A∪B, A∖B, A ΔB∈ε, где A ΔB==( A ∖B)∪(B∖ A)=(A∪B)∖( A∩B)km1) A=U j=1 P j, B=U i=1 Q i.
Из первого курса известно, что A∩B=Ui ,j(P j∩Q i).Замечание. A∈ε, P⊃A. Тогда P∖A∈ε. Доказательство: а) Возьмем 2 прямоугольника: P⊃Q.Доказать самим, что P∖Q∈ε. б) A=U kj=1P j. P∖ A=P∖Ukj=1 P j={закон двойственности}=k=∩j=1( P∖P j−элем. мн−во по пункту а)∈ε. Пересечение элем. мн-в. — элем. по 1).2) Сведем к пересечению в силу закона двойственности. A , B. P⊃A , P⊃B.P∖( A∪B)={закондвойственности}=( P∖A )∩( P∖B). Тогда A∪B=P∖[(P∖A )∩(P∖B)].3) A ∖B=A∩(P∖B)∈ε.
4) Очевидно, т. к. уже доказано. ■ε замкнут относительно теоретико-множественных операций, это кольцо.Что такое мера элемент. множества? Сумма мер непересекающихся прямоугольников,kсоставляющих это мн-во. A=U kj=1P j , P j∩P i=∅. m( A)=∑ m(P j ). Почему это определениеj=1корректно? Ведь разрезать на прямоугольники можно разными способами.Корректность: предположим, что существует 2 A=U kj=1P j , A=U mi=1Q i. Нужно доказать, чтоkmki=1j=1kkj=1mj=1m∑ m( P j )=∑ m(Qi ).∑ m(P j )=∑ m( P j∩A )=∑ m( P j∩U mi=1Q i )={дистрибутивность}=j=1k=∑ m(Uj=1mmi=1kk)=∑ ∑ m(P j∩Q i )=∑ ∑ m(P j∩Q i )={рассуждаем обратно}=(⏟P j∩Q i )СНОВА ПРЯМОУГmj=1 i=1i=1 j=1mmi=1i=1=∑ m(U kj=1(P j∩Q i ))=∑ m( ⏟U kj=1P j∩Q i )=∑ m( A∩Q i )=∑ m( Q i ). ■i=1i=1A{Почему пересечение прямоугольников — прямоугольник? Аддитивность?}Свойства мер.
A,B∈ε, т. е. Элементарные множества.Аддитивность. A∩B=∅. Тогда m( A∪B)=m( A )+m(B).kmA=U j=1P j , B=U i=1Q i. A∪B=(∪P j)∪(∪Q i ); m( A∪B)=∑ m(P j )+∑ m(Q i )=m(A )+m( B). ■jiСубтрактивность. Если B⊂A,то m( A∖B)=m( A)−m(B).A=B∪( A∖B)⇒m(A )=m(B)+m(A ∖B). ■Монотонность. Если B⊂A,то m( B)≤m( A). (1)⇒m(B)≤m( A) ■m(A∪B)=m(A )+m(B)−m( A∩B). //A и B могут пересекаться.A∪B=A(B∖A )=A∪( B∖( A∩B))⇒m(A∪B)=m(A )+( m(B)−m(A∩B)). ■Полуаддитивность. m(A∪B)≤m(A)+m(B) . m(A )≤m(A∪B)≤m(A )+m(B). ■∞Счетная полуаддитивность.
A∈ε, A i∈ε ∀i=1,2...; A⊂∪i=1 Ai⇒m(A)≤∑ m( Ai ).∞i=1∞{A i∈ε, но (∪i=1A i )∉ε: например, A i−прямоугольники, а ∪A i−круг. Т.е. проблема док-ва втом, что объединение счетного числа элементарных множеств не обязательно элементарноемножество: объединение всех прямоугольников с вершинами внутри круга в рациональныхточках есть круг — не элем. мн-во, причем их кол-во счетно в силу счетности рац. чисел}Доказательство.
Для произвольного ε>0 оценим меру: найдем A ': A'⊂A, A'∈ε, A'−замк. иkm(A)≥m(A ')≥m( A )−ε. Оно существует, т. к. A=∪j=1P j , ∃P' j⊂P j : P' j=P̄' j; причем1m(P j )≥m(P' j )≥m( P j )− ε . Просуммируем. Имеем:kkkm(A )≥m(∪j=1P' j )≥m(A )−ε ⇒ A ':=∪ j=1P' j , A'=Ā', A'⊂A . Теперь окружим A i открытыммножеством А '' i : A i⊂A '' i=Å'' i∈ε, m(A '' i )≤m(A i )+ εi . Делаем это аналогично поиску А'. В2∞∞итоге имеем: A '⊂ A⊂∪i=1 Ai⊂∪i=1A'' i— открытое покрытие А'. Тогда по т. Бореля можноkвыделить конечное подпокрытие A ': A''i 1...A'' ik , т.
е. A'⊂∪j=1 A''ij . Применим к этомувключению свойство конечной полуаддитивности:k∞∞∞m(A ')≤∑ m( A'' ij )≤∑ m(A'' i )≤∑ (m(A i )+ εi )=∑ m( Ai )+ε {в силу геометр. прогрессии};2 i=1j=1i=1i=1∞∞i=1i=1m(A ')≥m( A)−ε ⇒ m( A )−ε≤m( A')≤∑ m( Ai )+ε ⇒ m(A)≤∑ m( Ai )+2ε ∀ε>0,∞⇒ при ε→0 имеем m(A )≤∑ m(A i ). ■i=1∞Следствие. Счетная аддитивность. A i∈ε, Ai∩A j=∅, ∪i=1A i=A∈ε ⇒ m( A)=∑ m(A i ).∞i=1∞В силу счетной полуаддитивностиm(A )≤∑ m( A i ); ∪ A i⊂A ⇒ имеем: m( A)≤ {в силуki=1i=1k∑ m( A ); с другой стороны, перейдем к пределу примонотонности} ≤m(∪ki=1A i )=k→∞:ii=1∞∞∑ m(A i )≤m(A) ⇒ m(A)=∑ m( Ai ).
■i=1i=1Внешняя мера.Рассмотрим E={x∈ℝ ∣ 0≤x i≤1 }— единичный круг. ∀ A⊂E определим внешнюю меру:∗∞μ (A ). Рассмотрим счетное покрытие: A⊂∪i=1P i, − прямоуг;∞∗μ (A ):= inf∑ m(P ). Эта мера ∃ у любого множества и ∀ A 0≤μ ( A )≤1.∗i∪Pi⊃A i=1∗Свойство μ . A∈ε ⇒ m(A )=μ∗(A ).∞∑ m(P ), т. е. m(A) — нижняя∞Пусть A⊂∪i=1P i; по св-ву счетной полуаддитивности m(A )≤грань ⇒m(A )≤infii=1∞∑ m(P )=μ ( A ). С другой стороны , A=∪kj=1∗iQ j, Q i∩Q j=∅ (A∈ε) ⇒i=1kk∑≥ inf ∑ m(P )=μ ( A ) ⇒ m(A )=μ ( A ). ■∑ m(Q )≥m(Q j ), ∪kj=1Q j − одно из возможных покрытий ⇒ m(A )=m(A )=j=1∞∗∪Pi⊃A i=1∗iСвойством счетной аддитивности внешняя мера не обладает.∗∗∗Монотонность μ : A⊂B ⇒ μ (A)≤μ ( B).∞∞jj=1∗∑∪i=1P i⊃B⊃A ⇒ μ (A )≤∗m(P i ).
Перейдем к inf: μ (A )≤ inf∞∑ m( P )=μ (B). ■∗i∪Pi⊃B i=1i=1∞∑ μ∗(A i ).Счетная полуаддитивность μ∗: Ai⊂E, A⊂E, A⊂∪∞i=1 Ai ⇒ μ∗(A)≤i=1Возьмем произвольное ε>0 и рассмотрим такое покрытие∞A i⊂∪j=1P ij, что μ (A)≥∑ m(P ij )− εi. Рассмотрим{P ij }i, j=1 − это счетный набор прямоуг. иj=12∞∞∞ ∞∞∞∞∗∗∗∪i,j=1P ij⊃∪i=1 A i⊃A; тогда μ (A )≤∑ μ ( Ai )≤∑ m(P ij )=∑ ∑ m(P ij )≤∑ (μ ( A i )+ εi )=i=1i, j=1i=1 j=1i=12∞∗∞2∞∞∑ μ ( A )+ε{геом.
прогр.}. В силу произвольности ε при ε→0 имеем μ (A )≤∑ μ (A ). ■∗=∗∗ii=1i=1Мера Лебега.∗А — измеримо по Лебегу, если ∀ε>0 ∃Bε ∈ε: μ (AΔBε )<ε (А с любой точностью можноприблизить элементарным). m — множество всех измеримых множеств. ∀ A∈m его мера∗∗μ(A )=μ ( A ). A∈ε ⇒ μ( A )=m(A )=μ ( A ).Теорема о структуре m. Множество m замкнуто относительно теоретико-множественныхопераций, причем оно замкнуто относительно счетного объединения и пересечения.(Множества с таким свойством называются σ -алгеброй)I. Конечная замкнутость. Покажем , что m — кольцо.A 1, A 2∈ m ⇒ E∖A 1, A 1∪A2, A1∩A2, A1 ∖A2, A 1ΔA2∈m .E∖A.
Покажем, что (E∖A )Δ(E∖Bε )=A ΔBε . x∈( E∖ A)Δ(E∖Bε )⇔[x∈( E∖ A) и x∉(E∖Bε )]или [ x∉E∖A и x∈E∖Bε ] ⇔ [x∉A и x∈Bε ] или [x∈A и x∉Bε ] ⇔ x∈A ΔBε. Значит, вкачестве Bε для E∖A можно взять E∖Bε , т. е. ∀ε>0 ∃Bε∈ε (⇒ E∖Bε ∈ε ), т.ч.∗∗μ (( E∖ A)Δ(E∖Bε ))=μ (A ΔBε)<ε.∗∗A 1∪A2.
Т. к. A1, A2∈m , то ∀ε>0 ∃B1,B2∈ε т. ч.μ ( A1ΔB1 )< ε и μ (A2 ΔB2)< ε .22( A1∪A 2 )Δ( B1∪B2)⊂(A 1ΔB1)∪(A 2ΔB2) {⇐это нужно доказать в качестве упражнения}.{Заметим, что B1∪B2∈ε и вспомним, что внешняя мера обладает свойством монотонности,∗∗∗∗∗т. е. μ : A⊂B ⇒ μ (A)≤μ ( B), μ [( A1∪A2 )Δ( B1∪B2)]≤μ [( A1ΔB1 )∪( A2ΔB2 )]≤{и∗∞∗∞∑ μ∗(A i )}полуаддитивности, т. е. μ : A i⊂E, A⊂E, A⊂∪i=1 Ai ⇒ μ (A)≤i=1≤μ ( A 1ΔB1)+μ (A2 ΔB2 )< ε + ε =ε. Т.о. взяв в качестве Bε мн−во B1∪B2 , получим, что2 2A 1∪A2∈ m .A 1∩A2=E∖[(E∖A 1)∪(E∖A 2 )] в силу закона двойственности ⇒ измеримо в силу предыд.A 1∖A 2=A1∩(E∖A 2) ⇒ измеримо.A 1ΔA2=(A1 ∖A 2)∪(A 2 ∖A 1) ⇒ измеримо.∗∗С помощью мат.
индукции можно доказать, что m замкнуто относительно конечногообъединения и пересечения ⇒ m — кольцо. Далее будет доказано, чтоm − σ -алгебра. ■Лемма. Мера измеримых множеств аддитивна, т. е. ∀ A 1, A 2∈m , A1∩A 2=∅ выполняетсяμ(A1∪A2 )=μ(A 1)+μ( A2).∗∗∗Распишем меру аддитивных множеств по определению: μ (A1∪A2 )=μ ( A1)+μ ( A 2 ). Сначала∗∗∗докажем вспомогательный факт: |μ ( A)−μ (B)|≤μ (AΔB). Без ограничения общности∗∗предположим, что μ (A )≥μ (B). Тогда надо доказать, что μ∗(A )−μ∗(B)≤μ∗( AΔB). Заметим,что A⊂B∪( AΔB) { x∈A ⇒ x∈B или [ x∉B ⇒ x∈A ∖B ⇒ x∈AΔB]}. Тогда по свойству∗∗монотонности внешней меры μ (A )≤μ ( B∪( AΔB)) и по свойству полуаддитивности∗∗∗∗∗∗∗μ (A)≤μ ( B∪( AΔB))≤μ (B)+μ ( AΔB), т.
е. μ (A)−μ ( B)≤μ (A ΔB), что и требовалось.По определению измеримых множеств A 1 и A2 получим, что ∀ε>0 ∃B1, B2∈ε т. ч.∗∗μ (A1 ΔB1)<ε и μ ( A2ΔB2 )<ε. Заметим, что если A 1∩A2=∅, то м.б. так, что B1∩B2≠∅. Т.к.A 1∩A2=∅, то B1∩B2⊂(A 1ΔB1)∪(A 2ΔB2). Докажем этот факт: x∈B1∩B2 ⇒ x∈B1 и x∈B2;A 1∩A 2=∅ ⇒ x≠A 1∩A 2 ⇒ x≠A 1 или x≠A 2.
Если x≠A 1, то x∈B1∖A 1 ⇒ x∈(A 1 ΔB1 ),∗∗∗∗∗∗x≠A2 ⇒ x∈( A2ΔB2 ).чтд. Тогда |μ ( A1)−μ (B1)|≤μ (A 1ΔB1)<ε, |μ (A2 )−μ ( B2)|≤μ (A2 ΔB2 ). Из∗∗∗∗св-в внешней меры следует, что μ (B1∩B2 )≤μ [( A1ΔB1 )∪( A2ΔB2 )]≤μ ( A1ΔB1 )+μ (A 2ΔB2)<2ε.∗∗∗Для доказательства исходного утверждения, что μ (A1∪A2 )=μ ( A1)+μ ( A2 ), докажем, что∗∗∗∗∗∗∀ε>0|μ (A 1∪A 2 )−μ ( A 1 )−μ ( A2)|<c∗ε, c=const. Рассм. |μ ( A1∪A2 )−μ ( A1 )−μ ( A2)|= (∗)3{т.
к. B1,B2∈ε ⇒ μ ( B1∪B2)=m( B1∪B2)=m(B1 )+m(B2 )−m(B1∩B2 )=μ ( B1 )+μ (B2 )−μ ( B1∩B2)⇒∗∗∗∗⇒ μ ( B1∪B2)+μ ( B1∩B2)−μ (B1 )−μ (B2 )=0}∗∗∗∗∗∗∗(∗) =|μ ( A1∪A 2)−μ (A1 )−μ ( A2 )−μ (B1∪B2 )−μ ( B1∩B2)+μ ( B1)+μ ( B2 )|≤∗∗∗∗∗∗∗≤|μ ( A 1∪A 2 )−μ ( B1∪B2 )|+|μ ( A 1 )−μ ( B1)|+|μ ( B1∩B2)|+|μ ( A 2 )−μ (B2 )|<∗∗∗<|μ ( A 1∪A2 )−μ ( B1∪B2)|+4ε≤ {в силу вспомогательного факта} ≤μ [( A 1∪A 2 )Δ(B1∪B2 )]+4ε≤∗{по упр. о том, что ( A 1∪A 2 )Δ(B1∪B2 )⊂( A 1ΔB1 )∪( A 2ΔB2 )} ≤μ [( A 1 ΔB1 )∪( A 2 ΔB2 )]+4ε≤∗∗{в силу полуаддитивности меры} ≤4ε+μ ( A1ΔB1)+μ ( A2ΔB2 )< {по определению A 1 и A 2}∗∗∗<4ε+2ε=6ε. В силу произвольности ε: μ ( A 1∪A 2)−μ (A 1 )−μ ( A 2 )=0 ⇒∗∗∗⇒ μ ( A 1∪A 2)=μ ( A 1)+μ ( A 2 ). ■Из этой леммы следует, что мера Лебега имеет все те же свойства, что и мера обычная (μ —∗это μ по опр.), т. к.
все они опирались на аддитивность.∞II. Счетная замкнутость. ∪) Имеем {A i }i=1, A i ∈m . Надо доказать, что A=∪∞i=1A i ∈m .Рассмотрим вспомогат. последовательность, полученную из A i т.,ч. они были попарноj−1∞непересекающимися: A ' j=A j ∖∪i=1 A i ⇒ A ' j∩A'k=∅ при j≠k. Ясно, что ∪j=1A ' j=A .∗∗Заметим, что ∪kj=1 A' j⊂A. ∀ jA' j∈m ⇒ μ(∪kj=1A' j )=∗∗k∑ μ(A'j ). Распишем μ через μ :k∗j=1∞∞j=1j=1μ∗(∪kj=1 A' j )=∑ μ∗(A' j)≤ {μ∗≥0 } ≤∑ μ∗(A' j)=μ∗(A).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
