1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 4
Текст из файла (страница 4)
a 1, a2... на A 1, A 2... ; f∣A также ступенчатая, что очевидно, со знач. a i на A i∩A .Рассмотрим ряд∑ |a |μ( A ∩A )≤{в силу монотонности меры}≤∑ |a |μ(A ) — сходится,iiiiт. к. f суммируема на Е ⇒ f суммируема на А.2) f суммируема на А', т. е.|ai|⋅μ(A i∩A '), f суммируема на А'', т.
е.∑iРассмотрим рядii∑ |a |⋅μ(A ∩A '').iii∑|a |i μ(Ai )=∑|a i|μ[(Ai∩A')∪(A i∩A'')]=∑|a i|μ(A i∩A')+∑|a |i μ(Ai∩A '')iiii⏟⏟СХОД. ПО УСЛ.1СХОД. ПО УСЛ.— сходится. Равенство из условия доказывается убиранием модулей в предыдущихрассуждениях. ■Временно предположим, что Е — измеримое множество. В этом случае дадим определениеинтеграла Лебега для произвольной ступенчатой функции.Знаем, что любую функцию f, измеримую на Е, можно с любой точностью равномерноприблизить ступенчатой: |f(x )−g(x )|<c ∀x , где g(x ) — ступенчатая.
Если хотя бы одна изтаких g(x ) суммируема, то f( x) называется суммируемой.Корректность определения. Пусть функция h( x ) — ступенчатая, приближ. f( x) , т. е.|f(x )−h( x )|≤M ∀x . Утверждается, что g(x ) суммируема ⇔ h( x ) суммируема, т. е.определение не зависит от выбора ступенчатой функции.Рассмотрим |h( x)|=|h( x )−f( x)+f( x)−g( x )+g( x)|≤|h( x )−f( x)|+|f( x)−g( x )|+|g(x )|≤M+C+|g( x )|.g — суммируемая ступенчатая функция ⇒ |g| — сумм., ступ., М и С — суммируемы (т. к. Е— измеримо), ступ. ⇒ M+C+|g( x)| — сумм., ступ.
по свойству линейности. Получили, что|h( x)|≤ суммируемой ступенчатой функции и по свойству II {f, g — ступенчатые,|f(x )|≤g(x), g суммируема ⇒ f суммируема} h( x ) — суммируема. ■Рассмотрим произвольную функцию f, пусть она суммируема. Возьмем последовательностьE→→n→∞f n т., ч. f n — ступенчатая и f nf( x) , т. е. ∀ε>0 ∃Nε : n>Nε ⇒ ∀x |f n( x)−f( x )|<ε ⇒ ∀n>Nε f— суммируема. Покажем, что ∃limn→∞∫ f dμ и что он не зависит от выбора {f }, т.
е. пределnnEзависит не от f n, а от f. Этот предел и называется интегралом Лебега измеримой функции,т. е.∫ fdμ:=lim ∫ f dμ.n→∞EnEДля проверки существования предела проверим критерий Коши. Рассмотримf ndμ− f mdμ = {по свойству линейности}= ( f n−f m )dμ ≤{по свойству I, т. е. f|∫|∫EE|∫|Eсуммируема (интегрируема) ⇔ |f| суммируема, причем|∫ fdμ|≤∫|f|dμ}≤∫|f −f |dμ≤{поnEсв-ву III, следств. 1), т.
е. f( x)≤M, f−сумм. ⇒xEmE∫ f( x)dμ≤M⋅μ(E)}≤suр|f (x)−fE→→n→∞{т. к. f nEn( x)|μ(E)≤mf( x) , по Коши ∀ε>0 ∃N ε : ∀n,m>Nε [ ∀x |f n( x )−f m( x )|≤ε ⇒ suр|f n(x )−f m(x )|≤ε]}x≤ε⋅μ( E)<∞ , т. к. μ(E)<∞ . Взяв ε, N ε, n, m из критерия Коши равномерной сходимости, мыполучим критерий Коши нужного нам предела ⇒ он существует.Покажем, что он не зависит от выбора последовательности. f n, gn — ступенчатые.
f n→→ f, g n→→f,|f (x )−g ( x )|μ( E)→0 . Следовательно,|∫ f dμ−∫ g dμ|≤...≤∫|f −g |dμ≤suр⏟nnEnEEnx→ 0,→nт. к.n→fn→→ f, gn →flim ∫ f ndμ=lim ∫ gndμ, т. е. не зависит от выбора последовательности. ■n→∞En→∞E111, α>0. f( x,y )=α = 2 , где2 α/222(x +y )( √ x +y ) rr=dist((x,y ),( 0,0)). f непрерывна на E∖{(0,0 )} ⇒ f — измерима. Оказывается, что еслиα<2, то f −суммируема, если α≥2, то не суммируема.Возьмем в качестве с=1 .
Тогда будем искать g(x ) т., ч. |f( x )−g( x )|≤1. A n:={n≤f<n+1},1111α 1g(x ):=n на x∈A n. Рассмотрим A n: n≤ α ≤n+1,<r ≤ ,<r≤ 1 /α ⇒ A n имеет видrn+1n (n+1)1 /αn∞∞11π , тогдаaμ(A)=n⋅π 2/α −={т. к. все«бублика». μ(A n)= π2/ α −nn2/ α2/αn( n+1 )n(n+1)n=1n=1# Е — единичный круг в ℝ2. f( x,y )=2∑(∑∞∑ nnслагаемые ≥0, то сход. ⇔ абсолютно сходится}=π⋅2/αn=12()2/ α1−(n)n+1)=∞∑ nn=π⋅2/ αn=1| ( )|O⇒n1n≤2/α()−2/ α11−( 1+ )nMn1+2/ α∞∑ nn=π⋅2/ αn=1(∞∑()) | ( )|1M2 11211−1+ α⋅ +O( 2 ) =π⋅α +O( n ) . O n ≤ n ⇒nnn=1сходится всегда, т. к. 1+2 /α>1 (α>0 по усл.) ⇒ сходимость исходного ряда∞зависит от сходимости ряда∑ n12 /αn=12.
Он сходится при α >1, т. е. 2>α , иначе — расходится. gсуммируема при α<2 ⇒ согласно определению, f суммируема при α<2 .n2) В случае ℝ → α<n .Свойства измеримых функций.I. Линейность.f 1, f 2 — суммируемы на Е ⇒ αf 1+βf 2 суммируемы на Е.EEgn→→ f 1, h n→→f 2, gn, h n — ступ. измеримые функции.
f 1, f 2 — суммируемы ⇒ gn , h n —суммируемы (по опред.) ⇒ по свойству линейности для ступенчатых функций получаемEαgn+βh n — суммируемая ступенчатая функция, причем αg n+βh n→→αf 1+βf 2 ⇒ αf 1+βf 2 —∫ (αf +βf )dμ=lim ∫ (αg +βh )dμ={линейность интеграла для ступ.функций}=lim (α∫ g dμ+β∫ h dμ)=α⋅lim ∫ g dμ+β⋅lim ∫ h dμ=α∫ f dμ+β∫ f dμ .
■суммируема.12n→∞Enn→∞Ennn→∞EEnEnnn→∞1EE2EII. Аддитивность.1) f суммируема на Е, A⊂E — измеримо ⇒ f суммируема на А.2) Е=A 1∪A 2, A 1∩A 2=∅, f суммируема на A 1 и на A 2 ⇒ f суммируема на Е, причемfdμ= fdμ+ fdμ .∫∫∫EA1A2Доказательство аналогично линейности.Следствие. Верно для любого конечного объединения множеств A i (доказ.
по индукции).III. Неотрицательность интеграла от неотрицательной функции.f — суммируема, f( x)≥0 ⇒ fdμ≥0.∫Ef n→→ f, f n — ступенчатая {f n не обязательно ≥0 ∀ x}. gn( x)=max{f n( x ),0}— ступенчатая инеотрицательная функция. |f(x)−g n( x )|≤|f( x )−f n( x )| ⇒ gn→→f. gn≥0⇒∫ g dμ≥0 ⇒ ∫ fdμ=nE=limn→∞∫Eg n dμ≥0. ■EСледствия.1) f 1, f 2 — суммируемы, f 1( x)≥f 2( x ) ∀ x∈E ⇒∫ f1(x)dμ≥∫ f2(x)dμ.EEf 1−f 2 — суммируема по свойству линейности, f 1−f 2≥0 ⇒ по свойству неотрицательности∫ (f 1( x)−f2( x))dμ≥0 ⇒ по свойству линейности ∫ f1( x)dμ≥∫ f2( x)dμ . ■EEE2) f — суммируема, f(x)≤M ⇒ ∫ f( x)dμ≤M⋅μ(E).E∫ f( x)dμ.3) f — суммируема, m≤f( x) ⇒ m⋅μ(E)≤EIV.
f — суммируема ⇔ |f|— суммируем.( ⇒ ) f( x) — суммируема, gn( x ) — ступенчатая, |f(x )−g(x )|≤C .||f( x)|−|g( x)||≤|f( x)−g( x )|≤C ⇒ |g| — ступенчатая, т. к. g — ступенчатая; f — сумм. ⇒ g —сумм. ⇒ |g| — сумм. ⇒ |f| — сумм. по определению.( ⇐ ) Обратное аналогично, причем3−∫|f|dμ≤∫ fdμ≤∫|f|dμ,−|f|≤f≤|f|,EE|∫ fdμ|≤∫|f|dμ. ■EEEV. |f 1( x )|≤f 2(x), f 2 — суммир.
⇒ f 1 — суммир. {аналог св-ва II для ступ. функций (f, g —ступ., |f(x )|≤g(x ), g сумм. ⇒ f сумм.)}g — ступенчатая, |f 1( x )−g(x )|≤C. h — ступ., |f 2(x )−h( x)|≤M ⇒ f 2(x)≤M+h( x) . f 2 —суммируема ⇒ h — суммируема.|g( x )|=|g( x)−f 1( x)+f 1( x)|≤|⏟f 1( x )−g(x )|+|⏟f 1(x )|≤C+f 2(x)≤C+(|h( x )|+M)=|h( x)|+C+M— ступ.≤f 2( x)≤Cсумм. функция ⇒ g(x ) — сумм. по свойствам для ступ.
функций ⇒ f 1 — сумм. поопределению. ■VI. μ(A )=0 , f опред. на А ⇒ f — сумм.μ(A )=0 ⇒ f — измерима. f n( x )→→ f( x), f n — ступ. f n(x )dμ=0 (по определению интеграла∫A∫ fdμ=lim ∫ f ( x )dμ=0. ■ступ. функции через ряд). ∃nn→∞ AAСледствие.Если изменить суммируемую функцию на множестве меры ноль, то факт суммируемости неизменится, т.
е. f — сумм. на Е, A⊂E, μ( A)=0. f( x)=f( x ), на E∖A , f( x) не обязательноравно f( x) на А ⇒ f — суммируема и f dμ= fdμ.∫∫EEf — суммир. на А, т. к. μ(A )=0 .f — суммир. на Е∖A , т. к. f=f и по св-ву II 1).{1) f суммируема на Е, A⊂E — измеримо ⇒ f суммируема на А.2) Е=A 1∪A 2, A 1∩A 2=∅, f суммируема на A 1 и на A 2 ⇒ f суммируема на Е, причемfdμ= fdμ+ fdμ }∫∫∫EA1A2По п. 2) св-ва аддитивности (II):f dμ= fdμ+ f dμ=0+ fdμ= f dμ+∫∫E∫A∫E ∖A∫E∖ AA∫ fdμ=∫ f dμ. ■E∖ AE!!! Таким образом, все доказанные утверждения верны, если их условия выполнены не длявсех х, но почти для всех х.Теорема о счетной аддитивности для ступенчатых функций.∞∞g — ступенчатая, суммируемая на Е, E=∪k=1 Ek, E k∩E m=∅ при k≠m . Тогда ряд∑ ∫|g|dμk=1∞сходится и равенEk∫|g|dμ , причем также выполнено ∫ g dμ=∑ ∫ g dμ (*)Ek=1EEk∞Обратное: g — ступ.
на Е, Е=∪Ek, E k∩E m=∅. g — сумм. на E k ∀k , ряд∑ ∫|g|dμ —k=1Ekсходится. Тогда g — суммируема на Е и выполнены равенства.∞Докажем. Пусть g принимает значения a 1, a2... на A 1, A 2..., E=∪i=1 A i , A i∩A j=∅ при i≠j .Рассмотрим сужение g на E k: g∣E , т. е.
значения a 1, a2... на A 1∩Ek , A 2∩E k...kg — сумм. ⇒∫∞∑g dμ=∑ |a j|μ(∪k=1∞j=1∑j=1E∞=∞a j μ( A j )=∞∑ |a |μ( A ∩∪a j μ(A j∩E)=j=1∞∞j=1∞k=1jj∞k=1Ek )=j=1∑ |a |j⋅∑ μ( Aj∩Ek )={ряд сходится и все его(⏟A j∩Ek ))=ПОПАР НЕ ПЕР, т.к . Е K НЕ ПЕР∞∞∑ ∑|a |⋅μ( A ∩E )=∑ ∫|g|dμ {т. к. рассм. сужение}.слагаемые ≥0}=jk=1j=1jkk=1EkОбратное утверждение доказывается обратным ходом по всему написанному. Равенство (*)4получается из предыдущей цепочки равенств убиранием модуля.
Это можно сделать, т. к.все ряды будут абсолютно сходиться и, следовательно, будут возможны все указанныепереходы. ■Теорема о счетной аддитивности произвольной измеримой функции.Предыдущая теорема выполнена и для произвольной измеримой функции f.( ⇒ ) f( x) — измерима. ε>0, g( x) — ступ. |f(x )−g(x )|≤ε ∀ x∈E.
f — сумм. на Е ⇒ f —сумм. на E k ∀ k. Всякая суммируемая функция абсолютно суммируема, так что соотв.∫ f dμ<∞). f — сумм. ⇒ приближающая ее ступ. функция g —интеграл существует (Ek∞суммируема.∑∫k=1∞∞∑∫f dμ≤(k=1Ek∫|g|dμ+Ek∞∞∑∫k=1Ek∑ ε⋅μ( E )=|g|dμ+εdμ )=kk=1Ek⋅μ(E)<∞.∑ ∫|g|dμ +ε⏟=k=1 E⏟<∞kСХОД ПО ПРЕД ТЕОР∞( ⇐ ) Теперь покажем, что если∑ ∫|f|dμ сходится, то g — суммируема. Т. е., согласноk=1Ekпредыдущей теореме о счетной аддитивности для ступенчатых функций, надо показать, что∞∑ ∫|g|dμ сходится (тогда g — сумм. на Е).
Из неравенства |f(x )−g(x )|<ε следует, чтоk=1Ek∞|g( x )|≤|f(x )|+ε. Аналогичными рассуждениями получаем, что∑ ∫|g|dμ≤k=1∞Ek∑ ∫ |f|dμ+ε⋅μ( E)<∞. Т. о., f — суммируема. Проверим равенство, исследуя модульk=1Ek|∫=∞∞|∞|∫ fdμ−∑ ∫ fdμ ={по предыд. теореме}=разности между левой и правой частями.k=1E|Ek∫ gdμ+∑ ∫ g dμ−∑ ∫ fdμ ≤{ряды сход. ⇒ можно внести под одну ∑ }=fdμ−Ek=1∞E|k=1EkEk|∞|∫ fdμ−∫ gdμ|+ ∑ (∫ gdμ−∫ fdμ )≤∫|f−g|dμ+∑ |∫ gdμ−∫ fdμ|≤∫|f−g|dμ+=E∞Ek=1EkEk∞k=1EEk∞EkE∑ ∫|g−f|dμ≤∫ εdμ+∑ ∫ εdμ=ε⋅μ( E)+∑ εμ( E )=ε⋅μ(E)+ε⋅μ( E)=2εμ( E)— м.б. сколь+kk=1Ekk=1Eугодно малым (ε→∞) ⇒k=1Ek∞∫ fdμ=∑ fdμ.
■k=1EТеорема об абсолютной непрерывности интегралов.f( x) — сумм. на Е, A⊂E. Тогда ∀ε>0 ∃δ>0: μ(A )<δ ⇒|∫ fdμ|<ε.AПредположим, что f — ограничена, т. е. |f(x )|≤M (для почти всех x∈E ). Тогдаfdμ ≤M⋅μ( A )<M⋅δ=ε, т. е. ∀ε>0 ∃δ= ε : μ(A )<δ ⇒fdμ <ε.
Возьмем теперьMAAпроизвольную f (м.б. неограничена). Рассмотрим E k={x∈E: k≤|f(x )|<k+1 }. f — измерима ⇒∞E k — измеримо, E k попарно не пересекаются, ∪k=0E k=E. Тогда по теореме о счетной|∫ ||∫ |∞аддитивности∑∫k=0Ek∞|f|dμ<∞.∑∫k=0Ek∞∑∫|f|dμ=k=0Ek∞|f|dμ+∑ ∫|f|dμ (последняя сумма м.б.k=n +1Ekсделана сколь угодно малой при достаточно большом n, т. к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
