1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Также предположим, что L – элементарное ⇒∃Φ: Ω ⊂ ℝ1 → (описывает все L). ∈ Ω, Φ = (φ1 , … , ); Φ() = �φ1 (), … , ()� ∈ ; Φ′() = �φ1′ (), … , ′ ()� ∈ Φ() ()Пронормируем его и получим ориентацию:2⃗() = Φ′()/���′ � () {≠ 0, т. к. Φ′ () = 1, т. к. Φ − параметризация}=1 = Φ() → = Φ−1 ()Эту ориентацию мы будем называть согласованной с параметризацией.Пусть L – ориентированное (обозн. �⃑) одномерное гладкое многообразие, ⃗() – ориентация на L,⃗ () – векторное поле на L.

() ≔ �⃗ (), ⃗()�.�() = � �⃗ (), ⃗()� ��������������� ����� рода родаПусть на L задана параметризация Φ, согласованная с ориентацией () =() ≔ �1 (), … , ()�; �⃗ (), ⃗()� = � () ⋅ = Φ(); � �⃗ (), ⃗()� = � � �Φ()�…=Ω =1=1′ ()В данном случае () = ���′ ()�′ ()� � �Φ()� ⋅ �����Ω =1 ()=1= � � �Φ()� ⋅ () =Ω =1�∑�′ �Φ−1 ()��′ �Φ−1 ()�2�∑=1�′ ()�Φ′ �Φ−1 ()�2√…() = ⋯2 ()=� � ()�⃑=1���������обозначениеВ частном случае (в 2) интеграл имеет вид ∫�⃑ 1 (, ) + 2 (, ).Билет 53. – область, = – гладка, �⃗ – внешняя нормаль.Формула Грина для интеграла II рода: � � + � = �( cos(, )) + cos(, )) = ⋯ �⃗ = (cos(, ) , cos(, )); = (− cos(, ) , cos(, )), ‖‖ = 1.�⃗ непрерывно зависит от x → непрерывно зависит от → – ориентация.(− cos(, ) , cos(, )) ) ⋅ ���������������… = � [(−)(− cos(, )) + cos(, )] = �((−,�����= �− + .�⃑Ориентация зависит от ориентации С.К.Итого: формула Грина для интеграла II-го рола � � + � = �− + ; � + = � � − � �⃑�⃑ Билет 54.

Поверхностный интеграл II рода (в ℝ )Пусть S – гладкая поверхность. �⃗() ⊥ (); ‖�⃗()‖ = 1Если �⃗() – непрерывная векторная функция, то �⃗ называется ориентацией, а S –ориентириуемой.Утверждение.Для односвязной поверхности ∃= 2 ориентации.Доказательство., �⃗(), ⃗ () – две ориентации.()��⃗(),() ≔ �⃗��������� = ±1непрерывно.Аналогично прошлому доказательству () ≡ на → �⃗ ⇈ ⃗ или �⃗ ↑↓ ⃗ .Пусть S – ориентированная гладкая поверхность с ориентацией �⃗.⃗ () = (, , ) – векторное поле.Интеграл II рода (от векторного поля ⃗ по ориентированной поверхности S): ∫�⃗ , �⃗�Пусть есть некоторая параметризация поверхности S: Φ: (, ) → (, , ), т. е. = (, ); = (, ); = (, ); Φ: Ω → ℝ .Столбцы матрицы Якоби Φ(, ) есть базис касательного пространства Φ(,) ().

⎛ ⎞ ⎟Φ′ (, ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠Построим вектор, перпендикулярный Φ(,) (), т.е. перпендикулярный базису:(, )(, )(, )��= + + (, )(,(, )������)� (,)=−(,) Пронумеруем его. Его длина = (, ) ≔ �det �Φ Φ,����столбцы матрицы Якоби∎Предположим, что мы удачно выбрали параметризацию так, что она согласована с ориентацией,т.е. наш вектор сонаправлен (иначе поменяем u и v местами, тогда столбцы Φ′ поменяютсяместами, значит векторное произведение будет с другим знаком, что нам и нужно).1(, )(, )(, )��, � = � �+ + ⋅ (,)�⋅��������� = ⋯(, )(, )(, ) (, )ΩРассмотрим ∬ =почти замена на =(,),=(,) ∬Аналогично,∬ =(,)∬ (,) ;∬ =Тогда наш интеграл перепишется в виде:(,)(,)���в обычной замене тут стоит модуль(,)∬ (,) … = ∬⃑ + + (порядок дифференциалов СУЩЕСТВЕНЕН!!!)Билет 55.

Формула Стокса. – гладкое многообразие, ⊂ ℝ3. На M есть область S, ограниченная гладкой кривой Γ. Пусть – ориентировано.Рассмотрим произведение точек ∈ Γ. Построим в ней касательную прямую и ().Построим единичный вектор ⊥ касательной прямой и ∈ ().Причём – внешний вектор относительно S (без строгого определения, что это)Вектор – касательный вектор в точке (их 2 штуки)Выбираем его так, чтобы тройка векторов (, , ) имела ту же ориентацию, что и базис ℝ3, – непрерывны, значит – непрерывная функция точки p. = 0 ⊂ 3 , векторное поле = (, , ) – непрерывно дифференцируемо.

Тогда �������������������ротором векторного поля называется = � вращением векторного поля�=�− , − , −� Теорема. Формула Стокса. = 0 ⊂ ℝ3 ; – дважды гладкое многообразие с ориентацией векторного поля = (, , ) –непрерывно дифференцируемого в ; – область на M, ограниченная дважды гладкой кривой Γ.Тогда имеет место следующая формула:� + + = �� , �,�⃑ΓГде ориентация Γ совпадает с .Замечание.Эта формула является обобщением формулы ГринаДоказательство.Пусть M – координатная плоскость, рассмотрим (, , ) = ((, ), (, ), 0).

Тогда по формулеСтокса ∫Γ�⃑ + ==(0,0,1) ∫ � − � – а это формула Грина.∎Замечание к условию теоремы1) M может быть только кусочно-гладкой2) Γ может быть только кусочно-гладкойТогда теорема всё-равно останется верной.Доказательство теоремы.1. ∀ ∈ ∃Φ: (,) → �(,,�)������ и Φ – гладкая параметризация (причём дважды непрерывно∈Ω∈∩дифференцируемая из условия теоремы)Всегда можно выбрать таким, что Ω – открыто и связно (БОО, иначе уменьшаем Ω покане получим нужное) ⎛ ⎞ ⎟ Φ′ (, ) = ⎜= 2 ∀(, ) ∈ Ω (т. к. Φ − гладкая параметризация)⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ (БОО) � � ≠ 0 ⇒ по теореме об обратном отображении = (, ) = (, )Уравнения �разрешимы относительно , , т.е. �→ = (, ) = = (, ) = (, )(, ) ≔ �(, ), (, )� на ∩ (x,y меняются на открытой и связной области)Φ – дважды непрерывно дифференцируема, значит , - дважды непрерывнодифференцируемы, значит , - дважды непрерывно дифференцируемы, значит -дважды непрерывно дифференцируемы⇒2 2 2 ,, 2 2 2определены и непрерывны.2.

Предположим, что ⊂ , т.е. , , ⊂ , т.е. ≡ вне . ∩ , Γ ∩ . Их проекции на есть и соответственно ( и – часть M, значит онивзаимнооднозначны)3. В силу наших предположений и прочего, надо показать, что ∫Γ�⃑∩ + + =∫∩� , �.Возможны два случая: (Γ ∩ ) ∩ = ∅ или ≠ ∅.В первом случае интеграл слева равен нуль. = ()Пусть следующая параметризация � = () , ∈ (, ) – параметризация Γ⃑ ∩ (согласованная с = ()ориентацией(Γ ∩ ⊂ ∩ → , , удовлетворяют уравнению поверхности - (, ) = , т.е. �(), ()� =(). = ()Заметим, что – есть � = () ⇒ ∫�Γ⃑∩ + + = ∫ �(, , )′ () + = 0(, , ) ′ () + (, , ) ′ ()� ′= � ��, , (, )�′ + �, , (, )� ′ () + �, , (, )� � ⋅ ′ +⋅ �� Подынтегральная функция не зависит от ⇒ интеграл можно трактовать как интеграл по кривой � ��, , (, )� + � + � + � �⃑Заметим, что = на . Замкнём кривую куском, лежащим вне , где = , т.е.

наш интегралпо этому куску равен 0 (ориентация куска согласована с ориентацией ). ∪ кусок = − ⇒ наш интеграл = ∫⃑ � + � + � + Предположим, что нормаль направлена вверх ( > 0).� ∩ (даже ∩ ) описывается уравнением − (, ) = 0 → нормаль к ней есть �−(его направление совпадает с ориентацией), значит единичная нормаль (согласовано сориентацией):−′ , −′ , 1 = +�′ 2 + ′ 2 + 1, − , 1�Можно показать, что при направленным вниз C также положительно ориентировано.Итого: ориентация C согласована с ориентацией С.К. (т.е. в положительном направлении)Тогда по формуле Грина: ∫ � + � + � + � = ∬ �� + ′� − � + ′� � =Интеграл по области, ограниченной C, но можно взять , т.к.

вне её подынтегральная функция ≡ 0. 2 ⋅+⋅+⋅⋅+ � �� +� −� 2 +⋅+⋅+⋅⋅+�� = =�� +⋅+⋅−−⋅−⋅ � = = � �� − � + � − � ⋅+ � − � ⋅ � = = � �� − � + � − � ⋅+ � − � ⋅ � = ,−,− �� == � ��− , − , 1� , � − = � ��′2 + ′2 + 1� ⋅ �, � = � � , � �����������∩(,)Т.е. формула доказана для случая ⊂ .Отбросим предположение, что ⊂ , и докажем в общем случае.Знаем, что ∀ ∈ ∃ – определённого вида окрестность, в которой формула Стокса верна.

Этиокрестности образуют покрытие → ∃ конечное подпокрытие : 1 … .Рассмотрим разбиение единицы, подчинённое этому покрытию:∞1 … , ⊂ , ∈ и � (, , ) = 1 на =1Тогда ∫Γ�⃑ + + = ∑=1 ∫Γ�⃑ + + = ∑=1 ∫Γ�⃑∩ + + = ⋯ = 0В силу выбора , по формуле Строкса, т.к. вне = 0 ⇒ � = 0 = 0… = ��=1∩� , � =т.к.вне ∩ ≡0� � � , � = � ��� , �� =1=1= � �� , � =т.к.∑=1 = ∑=1 = � � , �=1∎.

Характеристики

Список файлов лекций