1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Но тогда (, ) суммируема и для неё верна теорема Фубини.∎Билет 35.Говорят, что последовательность компактов исчерпывает открытое множество Q, если ∀ ⊂0, ∀ ⊂ , ∪ = .+1Лемма.Для любого открытого ограниченного множества Q существует последовательность компактов,его исчерпывающихДоказательство.Пусть Q – ограниченное открытое множество, Γ – его граница.1) ∀ > 0 ≔ ∖∪∈Γ ().

Q – ограничено, значит ⊂ – ограничено. () – открыто, значит ∪∈Γ () – открыто. и ∪∈Γ () - открыты, значит ∖∪∈Γ () – замкнуто.Из этих утверждений следует, что – компакт.2) Заметим, что ′ < → ⊂ ′ . Надо показать, что ⊂ 0′ . Если это не так, то ∃ ∈ : ∈ ′ (граница), значит в любой окрестности т.x есть точки дополнения, т.е.∪∈Γ () ⇒ ∃: ∈ () ⇒ ∉ ⇒ противоречие ⇒ ⊂ 0′3) ≔ 1 ( = 1,2, … ) – монотонная последовательность.4) Также надо показать, что ∪ = .

(Очевидно, что ∪ ⊂ ). Если это не так, то ∃ ∈: ∉∪ ; фиксировано ‖ − ‖ ≥ 0 ∀ ∈ Γ. ‖ − ‖ непрерывна на компакте,значит достигает максимума, т.е. ∃0 (): − 0 > 0; → ∞ ∈ Следствие.Пусть ⊂ , – компакт, – последовательность компактов, исчерпывающих Q. Тогда ∃: ⊂ .Доказательство. =∪ . Т.к. Q – открыто, то можно считать, что =∪ 0 ⊃ . – компакт, значит из любогопокрытия открытыми множествами можно выбрать конечное покрытие. Т.к.

↑, то возьмёммаксимальный из них (т.е. максимальный j)Утверждение. - компакт, – открытые множества ∀, ⊂ ≔ ∪=1 . Тогда существуют компакты ⊂ , т. ч. ⊂∪.=1 Доказательство. ( = 1,2, … ) - последовательность, исчерпывающая . ≔∪=1 ( = 1,2, … ). ∪ =∪ ∪=∪∪=∪=.=1 =1 =1 000док−ть самост.По построению выполняется ⊂∪�∪=1 +1 ⊂=1 +1 � = +1 ⇒ –последовательность компактов, исчерпывающих Q.Тогда по Следствию ∃: ⊂ 0 ⊂ =∪=1 . Возьмём в качестве = , где –фиксированное число из Следствия. Тогда получим ⊂∪=1 , ⊂ : → ℝ.

Носителем функции f называется замыкание множества точек из Q, в которых функцияне обращается в 0 и обозначается через = { ∈ : () ≠ 0}∎∎∎Лемма.Для любого открытого шара (), ∈ ℝ , существует бесконечно дифференцируемая в ℝфункция (, , ): > 0 ∀ ∈ () и = 0 ∀ ∉ ().Доказательство.−1Вспомним, что () = � , при > 0 – бесконечно дифференцируемая функция.0, при ≤ 012Возьмём в качестве (, , ) ≔ �1 − 2 ∑=1( − ) � .

есть композиция бесконечнодифференцируемой функции и многочлена, значит она сама также бесконечнодифференцируема.122222 = 0 при 1 − 2 ∑=1( − ) ≤ 0, т. е. ≤ ∑=1( − ) ⇒ ≤ ‖ − ‖ , т.е. вне шара Q = 0,а внутри Q > 0 в силу построения через ().∎Теорема.Пусть компакт ⊂ , где – открыто. Тогда существует функция , т.ч. 0 ≤ ≤ 1, с носителем вQ, бесконечно дифференцируемая и равная 1 на множестве K.Доказательство.Построим ещё два компакта 1 и 2, т.ч. ⊂ 10 ⊂ 1 ⊂ 20 ⊂ 2 ⊂ ⊂ � (в силу Следствия)1) ∀ ∈ 1 ∃() (): () () ∩ �2 = ∅ (в силу ∀ компактов 1 и 2 , т. ч.

1 ∩ 2 = ∅дополнениевыполняется ‖ − ‖ ≥ 0 > 0 ∀ ∈ 1 и ∀ ∈ 2 ), значит 1 покрыто открытыми шарами,значит в силу того, что 1 – компакт, существует конечное покрытие 1 ,т. е. ∪=1 ( ) ( ) ⊃ 1 .Рассмотрим функцию () = ∑=1 �, , ( )� , где из леммы.() бесконечно дифференцируема, как сумма бесконечно дифференцируемых функций.∀ ∈ 1 ∃: ∈ () ( ) → �, , ( )� > 0 → > 0∀ ∉ 2 ∀ �, , ( )� = 0 → = 02) Б.О.О.

можно считать, что Q – ограничено. Иначе: K – компакт, значит существует открытыйшар ⊃ , тогда будет рассматривать пересечение K и этого шара. Докажем на нём теоремуи функцию продолжим нулём вне этого шара.3) � ∖ 20 – компакт по построению. ∀ ∈ � ∖ 20 ∃() () ∩ = ∅ → открытое покрытие� ∖ 20 → ∃ конечное покрытие � ∖ 20 ⊂∪=1 () ( ).Рассмотрим функцию () = ∑=1 �, , ( )�. Знаем, что () > 0 на ∖ 20 , () = 0 на K.()Введём функцию () ≔ ()+() ; () + () ≠ 0 ∀, т.к. () = 0 только на 2 ; () = 0только на K, значит – бесконечно дифференцируемая функция., > 0 → 0 ≤ ≤ 1; ∈ > 0, = 0 → = 1; ∈ 2 = 0 → = 0 → имеет носительв Q.∎Билет 36. Теорема о разбиении единицы.1 , … , – открытые множества, компакт ⊂ ≔∪=1 .

Тогда существуют бесконечнодифференцируемые с носителями в , т. ч. ≥ 0 ∀, ∑=1 ≤ 1, ∑=1 = 1 на K.Доказательство.1) По утверждению ∃ ⊂ , т. ч. ⊂∪=1 .0 ≤ ≤ 12) По теореме (билет 35) ∀ ∃ , т. ч. � = 1 на ⊂ 3) Построим из по следующему правилу:1 = 12 = 2 (1 − 1 )�…(1)(1)− 2 … �1 − −1 �, = 2, … , = − 1 – бесконечно дифференцируемы → – бесконечно дифференцируемы.0 ≤ ≤ 1 → 0 ≤ 1 ≤ 1; ⊂ ⊂ Легко видеть, что ∑=1 = 1 − (1 − 1 ) … (1 − ) ≤ 1; ∈ → ∃: = 1 → ∑=1 = 1Билет 37. Замена переменных в кратных интегралах.: → ′ называется диффеоморфизмом, если оно взаимнооднозначно, непрерывно инепрерывно дифференцируемо вместе с обратным к нему отображением.Тогда Якобиан отображения det ′ ≠ 0, т.к. обратное дифференцируемо → det( −1 )′ ≠ ∞ →1det ′ =−1 )′ ≠ 0.∎det(Теорема., ′ ⊂ , , ′ - открыты, : → ′ - диффеоморфизм, f – непрерывная функция, имеющаякомпактный носитель в ′ (: ′ → ℝ).

Тогда справедлива следующая формула заменыпеременных:� () = � �()� ⋅ |det ′ ()| ′Доказательство.1) f имеет компактный носитель и непрерывна, значит f ограничена, значит f интегрируема,т.к. ′ - компакт (в частности, ограничен), значит левая часть существует.2) �()� – непрерывна, как композиция непрерывных функций. ≔ ⇒ правыйинтеграл берётся по −1 () – компакт, т.к. K – компакт и −1 – непрерывна ⇒ det ′ ≠ 0 –ограничен на −1 () ⇒ подынтегральная функция определена, значит интегрируемо,значит правая часть существует.3) Доказывать теорему будем индукцией по n (размерности пространства)4) = 1 ⇒ ′ =∪ ( , ) ⊃ , – компакт, значит существует конечное подпокрытие,значит доказать формулу достаточно для одного интервала (далее по аддитивности) −1 ()() � () =∃()→∃() () � () ==() () � −1 ()�()� ′ () = (∗) ′ ≠ 0 на (, ) ⇒ она сохраняет знак на (, ) (по теореме о промежуточном значении)′ −1 () > 0 ⇒ (∗) = () �′ −1 ()�()� −1 () < 0 ⇒ (∗) = () (−1) �Т.е.

мы доказали для n=1 −1 ()′ ()�()� −1 ()= () �′ () −1 ()�()�| ′ ()| −1 ()= () � −1 ()�()�| ′ ()|Билет 38.Продолжение доказательства предыдущей теоремы.5) Будем предполагать, что для 1, … , − 1 уже доказано. Рассмотрим частный случай(специальный вид диффеоморфизма)∎1 = 1 ()…=−1 ()−1 = = (), где⎨+1 = +1 ()⎪…⎪⎩ = ()По т. Фубини ∫′ () =сечение = ∫ ∫′ �1 , … , −1 , , +1 , … , � , где ′ =� … ; ′ = (1 , … ,�1 … , … , ) ∈ ; ′ = (1 , … ,� , … , ) ∈ ′′Отображение → ′ взаимнооднозначно, т.к. – взаимнооднозначно.

Аналогично сдифференцированием, значит → ′ - диффеоморфизм. , ′ - открыт, т.е. для внутреннего интеграла выполняются условия теоремы о замене,тогда по индукционному предположению:� ′ �+ ��=(−1)+ det ′ ()( ′ )′ ) =(−1)′(� �()� ⋅ �� =� �()� ⋅ |det ′ ()| ′ {( ′ )′= }Подставим это равенство в равенство из теоремы Фубини:⎧⎪⎪′� () = � � �()� ⋅ |det ′ ()| ′ =по т.Фубини � �()� ⋅ |det ′ ()| ′′6) ∈ , утверждается, что существует некоторая окрестность т. ′ , такая, что ⊂окрестность a и где можно делать замену переменных. ∈ , и −1 – дифференцируемы, значит det ′ () ≠ 0 ⇒ ∃, :()≠0Введём ≔ (), где 1 = 1 , 2 = 2 , … , −1 = −1 , = (), +1 = +1 , … , = ,вспомогательное отображение.det ′ () = () ≠ 0. Тогда по теореме об обратном отображении существуетнаокрестность т. и ⊂ ℝ , т. ч.

: ↔ − диффеоморфизм ⇒ определено иобратное отображение = −1 (), т.е. 1 = 1 , 2 = 2 , … , −1 = −1 , = (), +1 =+1 , … , = .′ = ( ); ∘ −1 : → ′ ��−1 (⋅)��( ∘ −1 ) () = �1 , … , −1 , (), +1 , … , �, ≠ ; ( ∘ −1 )() = () = ( ∘ −1 ) – отображение как в частном случае. Предположим, что ⊂ ′ , тогда потеореме о замене переменных (частный случай)( ∘� () = � � ∘ −1 ()� ∘ |det( ∘ −1 )′ | = ⋯′−1 ) ∘ = ; |det( ∘ −1 )′ ()| = |det ′ ()| ⋅ |det ′ ()|−1 ; = () ⇒по т.о замене переменных… = � �( ∘ −1 ) ∘ ()� ⋅ |det( ∘ −1 )′ | ⋅ |det( )′ | = � �()� ⋅ |det ′ ()| .Мы доказали теорему локально.7) ⊂ ′ ; ∀ ∈ ∃′ , т.ч. выполняется теорема о замене.′ - покрытие компакта открытыми множествами, значит выберем конечное подпокрытие′ ⊂∪=1 .По теореме о разбиении единици ∃ () – бесконечно дифференцируемое, т.ч.

0 ≤ ≤ 1, ⊂ , ∑ = 1 на .� () = � � () ⋅ () = � � ′′=1 ′=1 ⊃ () ⋅ () =вып.теор.о замене (локально)= � � �()� ⋅ �()� ⋅ |det ′ ()| ==1 = � � �()� ⋅ �()� ⋅ |det ′ ()| = � �()� ⋅ |det ′ ()|=1 ∎Билет 39. Теорема о замене переменных.Пусть − взаимнооднозначное отображение открытого множества ⊂ ℝ в открытое множество ′ ⊂ ℝ и – непрерывно дифференцируемо.

Пусть ⊂ – измеримо. Тогда () – измеримо.Для того чтобы f была интегрируема на () необходимо и достаточно, чтобы �()� ⋅�det�ξ′ (x)�� была интегрируема на A. Справедливо равенство:�() = � �()� ⋅ |det ′ ()|()Без доказательства.Билет 40. Следствие 1. ⊂ – измеримо. Тогда �()� = ∫|det ′ ()|.Доказательство. ≡ 1 в предыдущей теореме.

∎Следствие 2.: ℝ → ℝ – линейное отображение, A измеримо. Тогда () – измеримо и �()� = |det | ⋅().Доказательство. – линейно ⇒ ′ () = (как матрица линейного отображения), значит по Следствию 1 �()� =∫|det | = |det | ⋅ ().∎Следствие 3.Мера Лебега не меняется при переносе и вращении.Доказательство.Перенос и вращение – линейные отображения, причём det = 1 ⇒ �()� = ().∎ℝ , некоторые вектора , = 1, … , , базис 1 , … , (ОНБ) ⇒ = ∑=1 , = ⋅ (, =1, … , ).Определителем векторов 1 , … , называется определитель матрицы с элементами .Следствие 4.Мера параллелепипеда A в ℝ с вершиной в т.a, определённого векторами 1 , … , , равна модулюопределителя этих векторов, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций