1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассмотрим ряд ∑ μ∗( A' j ). Егоj=1kконечные суммы ∀ kj=1∞∀ε>0 ∃k:∑ μ∗(A'j )<μ∗(A) ограничены положит. числом ⇒ряд сходится ⇒∑ μ (A' j )< ε2 . Тогда, используя это k, получим мн-во D=∪∗kj=1j=k +1A' j∈m ⇒ ∃Bε∈ε:μ (DΔBε )< ε . Рассмотрим A ΔBε⊂(DΔBε )∪(∪j=k+1 A' j ); {A=D∪N, тогда AΔBε=⏟2∞∗=N*=( D∪N)Δ(Bε∪∅)⊆(DΔBε )∪(NΔ∅)=(DΔBε )∪N}. Тогда∗∗∗μ (AΔBε )≤μ (DΔBε )+μ (N)< ε + ε =ε ⇒A∈ m .2 2∩) В силу закона двойств. ∩∞j=1 Aj=E∖(∪∞j=1(E∖A j ))∈m .
Так, m − σ -алгебра. ■Счетная аддитивность. {A i }∞i=1, A i∈ m , A i∩Aj=∅, A=∪∞i=1A i ⇒ μ(A)=∞∑ μ(A i ).∞∞i=1μ(A )=μ ( A )≤{по св-ву счетной полуаддитивности}≤∑ μ (A i )=∑ μ(A i );∗∗i=1i=1kki=1∑ μ(A i ). Любая частнаяki=1A⊃∪ Ai ⇒ μ(A)≥μ(∪ Ai )={для кон. числа уже доказали}=i=1∞∞∑ μ(A i ).
■сумма ряда ≤μ( A)⇒сумма ряда ≤μ( A)⇒ μ( A )≥∑ μ(A i). Следовательно, μ(A)=i=1i=1Непрерывность. 1) A i⊂Ai +1, A i∈m ,A=∪ Ai — предел возраст. последовательностимножеств; ⇒ μ( A )=lim μ(A i ).∞i=1i→∞∞A' i=Ai ∖A i−1 ⇒ A' i∩A' j=∅ ( A' 1=A 1); ∪i=1 A' i=A, по свойству счетной аддитивностиk∞kμ(A)=∑ μ(A'i )=lim ∑ μ( A' i )=lim ∑ μ(A i ∖A i−1)={по св-ву субтрактивности}k→∞ i=1i=1k→∞ i=1k=limk→∞∑ [μ( A )−μ( Aii=1i−1)]= lim μ( A k ). ■k→∞2) Для убывающей последовательности A i+1⊂A i предельным множеством называют4∞A=∩i=1A i. Аналогично предыд. утверждению, μ(A)=lim μ( A i ) .∞i→∞∞E∖A=E∖∩i=1 A i=∪i=1( E∖ Ai ) {по закону двойственности}.
На основании только чтодоказанного утверждения μ(E∖A)=lim μ( E∖ A i ) ⇒ {по св-ву субтрактивности}i→∞⇒ 1−μ(A )=lim (1−μ( A i )) ⇒ μ(A )=lim μ(A i ). ■i→∞i→∞# По теореме о непрерывности меры становится «законным» нахождение площади кругакак предел вписанных в него / описанных около него многоугольников.
Научимся теперьсчитать меры множеств, не содержащихся в единичном кубе. Рассмотрим целочисленнуюрешетку в ℝn . При этом все пространство окажется разбитым на счетное число единичныхкубов (считаем их замкнутыми). В каждом из них имеется своя теория меры. Кубов счетноеколичество ⇒можно занумеровать их E1, E2,...,Em ,... ∪∞m=1 Em=ℝ n. Для множества Арассмотрим A∩Em . А измеримо ⇔ A∩E m измеримо в E m ∀m.
Считаем∞∑ μ( A∩Eμ(A )=m) {ряд из неотриц. чисел ⇒ всегда есть сумма, конечная или ∞}m=1nРаспространим св-ва меры в Е на меру в ℝ . Все они доказываются аналогично, покажем напримере замкнутости относительно счетного объединения и св-ва счетной аддитивности.{Уточнения требует лишь непрерывность меры 2)}.nСчетная замкнутость относит. ∪ μ в ℝ . A i измеримо в ℝn ⇒ A=∪∞i=1 A i тоже измеримо.∞∞nA∩Em=E m∩∪i=1 Ai=∪i=1( Em∩Ai ) — измеримо в ℝ .
■ИЗМ. в Em∞∑ μ(A ).Счетная аддитивность μ в ℝ n. A i измеримо в ℝn , A i∩A j=∅ ⇒ μ(∪∞i=1 A i )=∞∞ii=1μ(∪i=1A i )=∑ μ(∪i=1A i∩Em )=∑ μ(∪i=1(A i∩E m ))={( A i∩Em )⊂Em и попарно не пересек., т. к.∞∞m=1∞∞m=1∞∞∞∞∑ ∑ μ( Ai∩E m )=∑ ∑ μ( Ai∩Em )={по опр. μ(A )}=∑ μ( A ). ■A i попарно не пересек.}=m=1 i=1ii=1 m=1ii=1Остальные утверждения доказываются аналогично, есть только замечание для св-ва∞непрерывности меры 2) {Для убывающей последовательности μ(A=∩i=1Ai )=lim μ(A i )}.
Вi→∞такой формулировке оно не верно.# Контрпример. *A m:=ℝ n ∖Km:∞Am +1⊂Am , μ(A m )=∞, то A=∩m=1A m=∅, т. е. неверно, чтоμ(∩A m )=lim μ( Am ); непрерывность нарушена. Но если добавить условие μ(A1 )<∞,=0∞=∞то μ(∩m=1 Am )=lim μ(A m ) и свойство непр-ти становится верным.m→∞Теорема.*Открытое/замкнутое множество измеримо.U=Ů. Покажем, что открытое мн-во U можно представить в виде объединения счетного∞количества кубов, т.
е. U=∪m=1Km , где Km∈ε . Рассмотрим все кубы с вершинами в рац.координатах, содержащиеся в U (это возможно, т. к. U — открыто)∪K⊂U, т. к. ∀ K⊂U ∀u∈U ∃K: u∈K ⇒ U⊂∪K. Тогда U=∪K. Заметим, что кубов с рац.вершинами не более чем счетно, т. к. рац. вершин счетное количество. Мы знаем, что любойкуб измерим ⇒ в силу счетной аддитивности меры получим, что U измеримо. Рассмотрим Vn— замкнутое мн-во. V=ℝ ∖U , где U открыто ⇒ по субтрактивности меры V измеримо ■# Неизмеримое мн-во. 0|———————|1a∼K b ⇔ a−b∈ℚ; a,b∈K ⇔ a−b∈ℚ, ∪K=[0,1 ], K i∩K j=∅ — классы эквивалентности.Составим из них мн-во М, имеющее по одному элементу из каждого класса и составим изних множество М, т. к.
∀ K M∩Kсостоит ровно из 1 элемента; такое М неизмеримо.Рассмотрим r∈[−1,1]∩ℚ. Тогда сдвиг M+r⊂[−1,2] ∀r. Оказывается, 1)5(M+r 1 )∩(M+r 2 )=∅, если r 1≠r 2 ; кроме того, 2) ∪r∈[−1,1 ](M+r )⊃[ 0,1 ]. Докажем неизмеримость{св-ва докажем позже}. Предположим, что это не так, μ(M+r )=const≥0∀r . Что это законстанта? Если μ(M)>0, то μ(∪( M+r)) д. б. = μ(M+r )=∞{как бесконечная суммаr∑rположительных чисел}; с другой стороны, имеем: μ(∪( M+r))≤μ([−1,2])=3 , т. е.
∞<3.rЗаметим, что const≠0: μ(∪(M+r ))≥μ([0,1 ])=1, т. е. 0≥1. Так, const не м.б.>0 и она не равнаrнулю. Значит, такой const не существует. 1) Предположим, что они пересекаются, т. е.M r1∩M r2∋a . a−r 1∈M, a−r 2∈M, тогда (a−r 1)−(а−r 2 )=r 1−r 2∈ℚ. Эти два числа принадлежат Ми принадлежат одному и тому же классу экв-ти. Но по построению в М должен быть толькоодин элемент из класса экв-ти.
Тем самым, M r1 и M r2 пересекаться не могут. 2) Возьмемx∈[ 0,1] ⇒ x∈K. Возьмем y∈M,x∼y, такой y ∃ в силу построения М. Остается заметить,что x−y=r∈ℚ в силу того, что они эквивалентны. |r|≤1, т. к. y ,x∈[ 0,1]. Тогда x=y+r,значит, х получен сдвигом у на r и x=y+r∈Mr ⇒ [0,1 ]⊂∪(M+r ). ■r{M r − это ( M+r )}.Здесь мы использовали аксиому выбора. Если ее не использовать, доказать существованиенеизмеримых множеств было бы невозможно.Измеримые функции.nПусть задано E⊂ℝ , на кот.
определена f( x). Будем говорить, что эта ф-ция измерима, если−1∀a f [(−∞,a)]= {полный прообраз} ={x∈E: f( x)<a} измеримо. Будем обозначатьпоследнее мн-во как {f<a}. Если ∃a: {f<a}− неизмеримо, то и f неизмерима и рассматриватьтакие f мы не будем.Свойства. 1) Если ф-ция f измерима, то Е измеримо.∞∀ n∈ℕ {f<n} − измер.
т. к. f измерима ⇒ ∪n=1{f<n }=E — измеримо, но с другой стороны,∞∀ x∈E ∃n0: f(x)<n0 ⇒ x∈{f<n0 }. Счетное объединение мн-в измеримо ⇒ E=∪n=1{f<n } —измеримо. ■2) f измерима ⇒ f −1[(-inf, a]]={f≤a} − измеримо.1∞{f≤a}=∩n=1{f<a+ } — все они измеримы по определению, а счетное пересечение измеримыхnмн-в снова измеримо. ■3) Рассмотрим {f=a}=(*). Оно измеримо как разность (*)= {f≤a} ∖ {f<a } . РазностьИЗМ ПО п.2ИЗМ. ПО ОПРизмеримых мн-в снова измерима.
■4) {f>a}= E ∖{f≤a}. 5) {f≥a}={f>a}∪{f=a}. 6) {a≤f<b}={f<b}∖{f<a}. ■ИЗМ.ИЗМ7) {a<f<b }={a≤f< b}∖{f=a}. 8) {a<f≤b}={a<f<b}∪{f=b}. 9) {a≤f≤b }={a≤f<b }∪{f=b }. ■*) Докажем, что из измеримости {f≤a} вытекает измеримость {f<a} .1∞{f<a}=∪n=1{f≤a− }измеримо как объединение счетного числа измеримых множеств.■nАналогично доказываются остальные свойства в обратную сторону, кроме 1) и 3).Таким образом, в определении измеримых мн-в можно было использовать другие мн-ва, нотолько не {f=a}, т. к. их может быть более чем счетно.Если измеримы прообразы промежутков, то будут измеримы любые борелевские мн-ва(которые можно составить с помощью объединений и пересечений, а также ∖, Δ из счетногочисла промежутков).
Всякое открытое мн-во — борелевское, замкнутое — тоже (какдополнение).−1Таким образом, получаем теорему. А — борелевское, A⊂ℝ, тогда f [A ] − измеримо.Для доказательства представить в виде промежутков и показать, что полные прообразы этихпромежутков измеримы.# Возьмем ступенчатую функцию f(x), принимающую счетное число значений a 1, a 2...an ...↓счетное числоТогда она будет измерима ⇔ ∀a n {f=a n } измеримо. {a<f<b}=∪a<a6<bn{f=a n }.Теорема.
Пусть f определена на измеримом мн-ве Е и непрерывна на нем. Тогда f измерима.Надо доказать измеримость {f<a}, т. е. проверить определение. Представим его какобъединение заведомо измеримых. Возьмем произвольный x∈{f<a}. Окружим его такойокрестностью U x − откр. множество: ∀ y∈Ux∩E f( y )<a. В силу непрерывности это всегдаможно сделать. {Функция непр, если ∀ε>0 ∃δ: y∈Bδ( x ) ⇒ |f(x )−f( y )|<ε }.
Возьмем вкачестве ε=a−f( x) — это положит. число, т. к. f(x)<a. Из определения непрерывностифункции вытекает, что f(y )<f(x )+ε=f( x)+a−f(x )=a. Каждый x∈{f<a} м.б. окруженU x: U x∩E⊂{f<a}. ∪всех таких окрестностей, очевидно, тоже лежит в {f<a}, т. е.∪x∈{f<a}( U x∩E)⊂{f <a }. Имеет место и обратное включение, т. к., с другой стороны,x∈{f<a} ⇒ x∈( U x∩E) ⇒ {f<a}⊂∪x∈{f<a}(U x∩E). Таким образом, {f<a}=∪x∈{f<a}( U x∩E)=E ∩ ∪x∈{f<a}U x ⇒ измеримо ⇒ {f<a} измеримо.
Определение выполнено. ■ИЗМОТКР,U=Ů ⇒ ИЗМТеорема о суперпозиции. φ( y) определена на U=Ů , f( x) − измерима, опред. на Е,f[ E]⊂U . g(x )=φ( f( x )) . Если φ измеримо, то g(x) может быть неизмеримо. Без доказательства.Почему? В — борелевское, g−1[ B]=f −1[φ−1[B ]]. φ−1[B ] измеримо, но м.б. не борелевским.{Всякое борелевское — измеримо, но не всякое измеримое — борелевское}. Прообразизмеримого мн-ва не обязан быть измеримым.Теорема о суперпозиции V2. К предыдущей теореме добавим еще один факт: еслиφ непрерывна, то g(x )=φ( f( x )) измерима.Возьмем φ−1[ B] — это снова борелевское мн-во при непрерывном отображении.
МожемИЗМЕР.взять вместо В открытое мн-во B̊ и тогда φ−1[B] тоже открыто. g −1[ B]= f−1 [ φ−1[B]] —ОТКР.измеримо ⇒ g измерима. ■# Эта теорема показывает, как из одной измеримой функции получить еще кучу.2,2nnφ( y)=yφ(f(x))=f (x) − изм. φ( y )=y , φ( f( x ))=f (x ) − изм.11φ( y )= , f(x )≠0, φ(f(x ))=− изм., т. е. можно делить на измеримые функции.yf( x )Последовательность измеримых функций.Теорема. f n( x ) — измеримы на Е.1) f( x):=suр f n( x )<∞ ∀ x∈E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
