1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

ряд сходится). Выберем n т., ч.5∞∑ ∫|f|dμ< 2ε . Пусть A=∪nk=0k=n+1∞Ek , B=∪k=n+1Ek . A∪B=E, A∩B=∅. ∀x∈A |f( x)|<n+1, т. е.Ekогранич. ⇒ выполняются условия абс. непрерывности, т. е. ∀ε>0 ∃δ>0: D⊂A, μ( D)<δ ⇒fdμ < ε . Теперь рассмотрим произвольное C⊂D, μ(C)<δ .fdμ =2DC|∫ ||∫ |{C=C∩E=C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)}= ∫ fdμ+ ∫ f dμ ≤ ∫ fdμ + ∫ fdμ <||| || |εε{C∩A⊂A, μ(C∩A )<μ( C)<δ }< + ∫ fdμ ≤ + ∫ |f|dμ≤{|f|≥0, C∩B⊂B}≤ ε +∫|f|dμ={по2 ||22C∩AC∩BC∩AC∩BC∩B∞∑∫свойству счетной аддитивности}= ε +2 k=n +1C∩BEkB|f|dμ< {в силу выбора n}< ε + ε =ε. ■2 2Неравенство Чебышева.f( x)≥0, f — суммируема на Е, c>0, Ac :={x∈E: f( x )≥c}.

Тогда μ(A c )≤т.к. f≥01c∫ fdμ.E∫ f dμ=⏞∫ fdμ+ ∫ fdμ≥∫ fdμ≥∫ cdμ=c⋅μ( A ). Тогда μ(A )≤1c∫ fdμ. ■cAE∖A⏟⏟Ecc≥0AccEAc≥0# Утверждение (пример применения).∫|f|dμ=0 ⇔ f( x)=0 почти всюду на E.E1∞( ⇒ ) A={x∈E: f(x )≠0}. Покажем, что μ(A )=0 . A=∪k=1A k , A k={x∈E: |f( x)|≥ }.kA k+1⊃A k ⇒ A k монотонно стремится к А. По теореме о непрерывности меры1μ(A )= lim μ(A k ). В силу неравенства Чебышева ∀ k μ( A k )≤ ⋅ |f|dμ=k⋅0=0 ⇒ μ(A )≤0⇒1/ k Ek→∞μ(A )=0 ⇒ |f|=0 почти всюду на Е ⇒ f=0 почти всюду на Е.|f|dμ|f|dμ , где А — множество нулевой меры, на котором( ⇐ ) |f|dμ=+∫∫E∫⏟E∖A∫⏟A=0, т.

к. f( x)=0 при x∈E ∖A =0, т. к. μ(A )=0f( x)≠0. ■6Билет 27. Теорема Лебега.E – измеримо, () – измерима, () �⎯⎯�п.в. (), ∃ суммируемая функция (), т.ч. | ()| ≤→∞() ∀ п. в. ∈ . Тогда ∃ lim ∫ = ∫ →∞Доказательство.1) () −суммируема ⇒ ∀ () – суммируема2) | ()| ≤ () ∀ п. в. ∈ ⇒ |()| ≤ () ∀ п. в. ∈ ⇒ () − суммируема3) По теореме об абсолютной непрерывности ∃ > 0: () < , ⊂ → ∫ ={ ≥ 0} = �∫ � < В силу оценки �∫ � ≤ ∫| | ≤ ∫ < (∗). Аналогично �∫ � < .4) Возьмём из предыдущего пункта, тогда по теореме Егорова ∃ < : ( ) <\, ⇉→∞ ⇒ по определению равномерной сходимости∃ = (, ): > → ∀ ∈ \ | () − ()| < (∗∗)5) Возьмём > .

Тогда�� − � � =по св−ву адд. ��\ − �\ + � − � � ≤нер−во треуг,линейность,|∫ |≤∫| | �\| − | + �� �+ �� � ≤в силу (∗),(∗∗) ⋅ (\ ) + 2 ≤ ⋅ (() + 2)6) Итого ∀ > 0 ∃: > → �∫ − ∫ � ≤ ⋅ , что и есть определение предела, т.е.∃ lim ∫ = ∫ →∞∎Замечание. Оценка через функцию существенна: если её убрать из условия теорема, онастановится неверной(существую контрпримеры)Теорема Б.Леви., () − суммируема, () ↗ ∀ п. в.

∈ �1 () ≤ 2() ≤ ⋯ �, ∀ ∫ ≤ . Тогда ∀ п. в. ∈ ∃ lim () = () < ∞ и ∫ = lim .→∞→∞Доказательство.Б.О.О. ≥ 0, т.к. для любой произвольной последовательности { } можно построитьпоследовательность { }, т.ч. = − 1 ≥ 0 п.в. на E. Тогда, доказав теорему для { },докажем её и для { }. ↗ ⇒ ∃ lim (), но он может быть бесконечен.→∞Пусть Ω = � ∈ : lim () = ∞� , Ω = { ∈ : () ≥ }. Заметим, что Ω ⊂∪ Ω �0 ∈→∞Ω ⇒ lim (0 ) = ∞ ⇒ ∀ ∃ : > → (0 ) ≥ ⇒ ∀ 0 ∈ Ω ⇒ 0 ∈∪ Ω �.

В силу→∞монотонности возрастания () ⇒ Ω ⊂ Ω+1 – расширенная последовательность, значит потеореме о непрерывности меры: (∪ Ω ) = lim (Ω ) , Ω ⊂∪ Ω ⇒ (Ω) ≤ (∪ Ω ) =1→∞→∞по нер−ву Чебышеваlim � ∫ � ≤по усл.теоремы limlim (Ω ) ≤→∞→∞= .Т.о., мы показали, что ∀ (Ω) ≤ . Устремим m к ∞, тогда (Ω) = 0 ⇒ lim () < ∞ ∀ п. в. ∈.→∞() ≔ lim () ∀ п. в. ∈ ⇒ 1 () ≤ 2 () ≤ ⋯ ≤ (), т.

к. { } − возрастающая→∞Если мы покажем, что () − суммируема, то выполнится | ()| ≤ () и тогда по теоремеЛебега выполнится теорема Леви.Покажем, что f – суммируема. ≔ { ∈ : ≤ () < + 1}� ⇒ ∀ ∈ () < () ≤ () + 1 → ∀ | − | < 1, т. е. –() ≔ + 1 на ступенчатая функция равномерно приближает функцию f. Покажем, что – суммируема, т.е. ряд∑∞=0( + 1) ⋅ ( ) сходится. Для этого рассмотрим его частичные суммы�( + 1) ⋅ ( ) ≤=0(∗)� � ( + 1) = ⋯=0 ⎧(∗): () ≤ () + 1 → � () ≤ � (() + 1) ,⎫⎪⎪⎨⎪⎩…=�� () = � ( + 1) = ( + 1) ⋅ ( )∪=0 Мы получили, что ∀( + 1) = �∑=0(∪=0 + �∪=0 � ≤ �+ 1)( ) ≤ ∫∪=0 + () = ⋯По определению () < + 1 ∀ , т.е. f ограничена на ∪=0 → суммируема наэтом множестве (как измеримая функция на ограниченном множестве), значит по теореме Лебегадля множества ∪=0 … = lim �∑=0(→∞ ∪ =0 ∈∪=0∪=0 ⎬⎪⎭ + () + () ≤т.к.

≥0 lim � + () ≤ + ().→∞ ∑∞=0(+ 1)( ) сходится ⇒ ∃ ∫ =Т.е. ∀+ 1)( ) ≤ + () ⇒ ряд∞поопр.∑=0( + 1)( ) ⇒ – суммируема, т.к. она равномерно приближает f, то f – суммируема.По указанным выше рассуждениям теорема доказана.∎Замечание. Монотонность в теореме Леви так же существенна, как и функция в теореме Лебега.Теорема Фату., () − суммируема на , () ≥ 0 ∀ п. в.

∈ ∀ ∫ ≤ . Тогда () ≔∃ lim () и ∫ ≤ lim ∫ .→∞→∞Доказательство. ≥ 0 → ∃ lim () > −∞ и � () ≥ 0 → ∃ lim � () > −∞→∞→∞ По определению для { }:lim = sup inf =(∗) lim inf , т.к. (∗) ↗ ⇒ inf ↗ , inf = min � , � ⇒→∞ ≥→∞ ≥0inf … ≤ inf …≥≥+1≥≥+1() = lim inf (), () ≤ +1 () ≤ (), () ≤ (), т. к. – нижняя грань, которая�������→∞ ≥ ()меньше для любого элемента последовательности, в частности и ().Тогда ∫ ≤ ∫ ≤ .Мы находимся в условиях теоремы Леви для функции , т.ч. ↗, ∫ <, тогда по ней ∃ lim ∫ = ∫ .→∞По определению inf () ≤ (), ≥ → ∫ ≤ ∫ , ≥ → в частности∫ ≤ inf ∫ ≥Итого ∫ = lim ∫ ≤ lim inf ∫ , тогда по определению нижнего предела→∞∫ ≤ lim ∫ .→∞→∞ ≥Билет 29.

Связь интегралов Римана и Лебега.() на [, ], ∃ � () ⇒ ∃ � = � ()[,]Доказательство.1) Интеграл Римана – предел верхним сумм Дарбу (или нижних)∎: = 0 < 1 < ⋯ < = – некоторое разбиение, верхняя сумма Дарбу =−1∑=0 Δ , где Δ = +1 − , = sup (), нижняя сумма Дарбу = ∑ Δ ,где =inf[ ,+1 ][ ,+1 ]().Существует интеграл Римана ⇒ ∃ lim = lim = ∫ ()()→0()→02) Введём последовательность разбиение отрезка [, ].− – разбиение на 2 частей. : = 0 < ⋯ < 2 = , +1 − = , ≔ : ≔2 .Рассмотрим последовательности соответствующих сумм Дарбу:при ↑ ↑, т.е.

≤ +1 ≤ ⋯ ≤ ∫ (), при ↑ ↓ , т.е. ∫ () ≤ ⋯ ≤ +1 ≤ .3) Введём ступенчатую функцию () = sup () при ≤ ≤ +1 . Очевидно, что этот[ ,+1 ]sup () ≤ , т.е. для () ≤ при ∈ [ , +1 ). +1 () ≤ (), т.к. sup на[ ,+1 ]отрезке ≥ sup на 2 его подотрезка x. () ≥ (), т.к. – это sup ().4) Аналогично введём функцию ℎ () = inf () при ∈ [ , +1 ).[ ,+1 )Также ℎ удовлетворяет следующим свойствам:ℎ() ≤ ℎ+1 (); ℎ () ≤ (); ≤ ℎ () на соотв. промежутке5) Рассмотрим интеграл Лебега от ℎ и .�2 −1ℎ = �[,]Аналогично, ≥ ∫[,] inf2 −1() ⋅ Δ ≥ � Δ = [ ,+1 )=02 −1= ∑=0sup () ⋅[ ,+1 )Δ .=0ℎ и имеют конечное число точек разрыва, значит существует интеграл Римана функцииℎ и .ℎ () ≤ () → �ℎ ≤ � () ; () ≤ () → � () ≤ �[,]6) Суммируя полученные неравенства, получаем: ≤ �ℎ ≤ � () ≤ �[,] ≤ [,] [,]При → ∞ → ∫ () и → ∫ () .

Тогда по теореме о двух миллиционерахlim �ℎ = lim �→∞ [,] = � () ;→∞ [,]7) ℎ ↗, ∃ lim ∫ ℎ → ∫ ℎ ограниченный сверху, значит теореме Леви∃ lim ℎ () =п.в. ℎ() и ∃ ∫[,] ℎ = lim ∫[,] ℎ = ∫ () . ℎ () ≤ () →→∞→∞ℎ() ≤п.в. ().8) ↘, ∃ lim ∫ → ∫ ограничен снизу, значит по теореме Леви (в исходнойтеореме Леви поменяем условие на ↘ и ∀ ∫ ≥ , доказательство от этого неизменится) ∃ lim () =п.в.

() и ∃ ∫[,] = lim ∫[,] = ∫ ().→∞→∞Аналогично для () ≥п.в. ().9) Суммируя последние 2 пункта, получаем:ℎ() ≤п.в. () ≤п.в. () и ∫[,] ℎ = ∫[,] = ∫ ().0 = ∫ − ∫ ℎ = ∫( − ℎ)Заметим, что� ⇒по доказанному ранее () =п.в. ℎ().() − ℎ() ≥п.в. 0Т.к. ℎ() ≤п.в. () ≤п.в. (), то ℎ() =п.в.

() =п.в (), значит f – суммируема и имеет такойже интеграл, т.е. ∃ ∫[,] = ∫ ℎ = ∫ = ∫ ().∎Теорема не обратима. Контрпример функции, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по1, ∈ ℚРиману: функция Дирихле () = �, ∈ [, ]. Она не интегрируема по Риману, но она0, ∈ ℝ\ℚступенчатая. Точка имеет меру 0, значит счётное множество точек имеет меру 0 (по теореме осчётной аддитивности) ⇒ (ℚ), ([, ]\ℚ) = ([, ]) − (ℚ) = − . ∫[,] = 1 ⋅ (ℚ) + 0 ⋅([, ]\ℚ) = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ ( − ) = 0. Следовательно, множество функций, интегрируемых поРиману, лежим внутри множества функций, интегрируемых по Лебегу.Данная теорема не распространяется на несобственные интегралы по Риману, т.к. если интегралЛебега сходится, то он сходится абсолютно, а интеграл Римана может сходиться не абсолютно,значит не сходиться по Лебегу.Билет 28.Вспомним, что до этого мы предполагали, что множество E имеет конечную меру. Распространимопределение интеграла Лебега на случай () = ∞.Рассмотрим ⊂ ℝ (E может быть бесконечной меры).

() измерима на E. Будем приближать Eмножествами конечное меры, т.е. ограниченными. ≔ () ∩ – измеримо, т.к. ⊂ (), которое открыто. 1 ⊂ 2 при 1 < 2 ; =∪ Будем говорить, что f суммируема на множестве, если следующие интегралы равномерноограничены, т.е. ∫ || ≤ ∀. Т.к. интеграл ограничен, то существует конечный пределlim ∫ ; ∫ ≔ lim ∫ .→∞ →∞ Доказательство.|| ≥ 0 ⇒ ∫ || ≤ ∫ || при 1 ≤ 2, т.е. ∫ || ↗.12При → ∞ и все они ограничены сверху, т.е. это возрастающая ограниченная последовательность,значит ∃ lim ∫ || < ∞ ⇒ выполняется признак Коши: ∀ > 0 ∃ > 0: 1 , 2 > ⇒→∞�∫ || − ∫ ||� < .12Б.О.О.

2 > 1 > ⇒ �∫2 \1||� < ⇒||≥0 ∫2 \1Рассмотрим критерий Коши для ∫ :�� − � � = ��212 \1≔ lim � →∞ � ≤ �2 \1|| < .|| < ⇒ ∃ lim � − конечный ⇒ � →∞ ∎Переносятся ли свойства интеграла Лебега по множествам конечной меры на интеграл Лебега помножествам бесконечной меры?1) Очевидно, что f суммируема, тогда и только тогда, когда |f| суммируема и �∫ � =� lim ∫ � ≤ lim �∫ � ≤ lim ∫ || = ∫||→∞ →∞→∞ 2) Предельным переходом переносятся и свойства конечной аддитивности и линейности.Докажем свойство конечной аддитивности: ∩ = ∅ и ∫∪ = ∫ + ∫ , суммируема на A и B.Рассмотрим и , суммируема на и , т.к.

суммируема на A и B соответственно,причёмlim ∫ = ∫ →∞ � ⇒ lim �� + � � = � + � ;→∞lim ∫ = ∫ →∞ , – конечные меры, ∩ = ∅; lim ∫ ∪ →∞ Т.к. = ∩ (), = ∩ (), то ∪ = ( ∪ ) .Итого ��lim�� = ∫ + ∫ ∫���(∪)����→∞=∫∪ Линейность доказывается аналогично.∎ = (), ∈ ℕ3) Пусть 1 , … , , … - измеримые множества, причём ∩ = ∅ при ≠ , ≔∪∞=1 .∞Тогда ∫ = ∑=1 для любой интегрируемой на A функции f (подразумевается, что fизмерима на любом измеримом подмножестве ⊂ , смотреть предыдущее свойство)Доказательство:f – интегриуема на ⇒ ∫∩ || ≤ ∀|| ≤в силу монотонности ∫∩ || ≤ ⇒ ∃ ∫ ∩ || < ∞Рассмотрим ∫ ( ∩ )⇒ ∃ ∫ .����� ��огр.мн−во,т.к.

Характеристики

Список файлов лекций