1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (533734), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

() = �det� ��Доказательство.=1=1=1 ∈ . ����������⃗− = � , 0 ≤ ≤ 1; − = �� ⋅ � ⋅ = � ⋅ Параллелепипед получается воздействием линейного отображения на единичный куб и det =det .Следствие 5.1 , … , – система векторов с общим началом. Объём параллелепипеда, определённого этимивекторами, вычисляется по формуле 2 = det ��1�,…,��Доказательство.2∎матрица Грама2Знаем, что = �det� �� ⇒ 2 = �det� �� = det� � = det 1 ,…, .Билет 42. Интегралы по многообразиям. Длина кривой, площадь поверхности, …Основная формула интегрального исчисления: = () − ()� Далее будет получена аналогичная для n-мерного случая.∎Пусть в пространстве ℝ задана точка и некоторый набор векторов 1 , 2 , … , ∈ ℝ .Параллелепипедом P с вершиной в т.a, порождённым векторами 1 , 2 , … , называетсямножество точек:1 = 1 + 1 11 + 2 12 + ⋯ + 1, ∈< 0,1 >�⋮ = + 1 1 + 2 2 + ⋯ + = (1 , … , ) ∈ – куб (отдельные грани могут ему принадлежать, отдельные – нет)Иначе можно записать как = + 1 1 + ⋯ + = ()() – линейное отображение, которое порождает параллелепипед.

Можно сказать, что оноаффинное из ℝ (где ) в ℝ (где ).Предположим, что 1 , … , – линейно независимо, тогда () – непрерывно ивзаимнооднозначно, значит существует обратная (которая непрерывна и взаимнооднозначна),значит g – гомеоморфизм.Т.к. и −1 линейны, то они непрерывно дифференцируемы, значит g – диффеоморфизм. Тогдапо теореме о замене переменных.Для ∈ ⊂ ℝ , где – измеримо. () = ∫ =замена =() ∫−1() |det ′ ()|A измеримо и g – дифференцируемо (значит −1 тоже дифференцируемо) ⇒ −1 () измеримо.|det ′ ()| = �det� �� − не зависит от ⇒ () = |det ′ ()| �Итого мы получили, что ()−1 []) или ( ([])�det� �� = () .�det� �� = ℝ ,−1 []= |det ′ ()| ⋅ (−1 [])≔ −1 [] → = [], где – произвольное измеримое множество вПусть = , тогда () = 1 и ([]) = (), т.

е. �det� �� = () (геометрический смыслопределителя).11 ⋯ 1� ) = det��� ⋅ det = (det )2 = 2 () ≔ � � = � ⋮ ⋱⋮ � ; det( 1=det = 1 ⋯ ,…,Коэффициенты зависят от системы координат, а ( , ) – не зависят (если в обеих ОНБ)Перейдём к многообразиям.ℝ , ⊂ ℝ , размерность = , где 0 < < , ∈ , 1 … ∈ порождают .( 1 , 1 ) ⋯ ( 1 , )2 ( )Знаем, что = det ��⋮⋱⋮ 1 ( , ) ⋯ ( , )( , ) одинаково и в ℝ , и в ℝ (в данном случае)Докажем формулу () = −1 (Γ) ⋅ ℎ, где Γ – некоторая грань, а h – длина высоты, опущеннойна эту грань., 1 , … , ∈ → ; , 1 , … , −1 ∈ → Γ11) Если , … , линейно зависимы, то () = 0 иa) 1 , … , −1 линейно зависимы, то (Γ) = 0b) 1 , … , −1 линейно независимы, но ℎ = 02) Если 1 , … , линейно независимы, то 1 , … , – базис E.Также базисом является 1 , … , −1 , , где ⊥ Γ → e ⊥ v j , < ; ‖‖ = 1Распишем через второй базис: = 1 1 + ⋯ + −1 −1 + ; � , � = (, ) = , || = ℎ( 1 , 1 ) ⋯ � 1 , �2 ()=��=⋮⋱⋮ 1 � , � ⋯ � , �( 1 , 1 )⋮=� 1 )1 ( 1 , 1 ) + 2 ( 2 , 1 ) + ⋯ + −1 � −1 , 1 � + (,�����( 11)1( 11)=0,т.к.

⊥ 11 ⋯⋱⋯� 1 , �⋮�=1 � 1 , � + ⋯ + �, �( 1 , 1 ) ⋯ � 1 , �, , ⋯ � , �⋯ � , �= 1 � ⋮� + 2 � ⋮� + ⋯ + � ⋮�=⋱⋮⋱⋮⋱⋮1112121( , ) ⋯ � , �( , ) ⋯ � , �(, ) ⋯ �, �( 1 , 1 )⋯� 1 , �( 1 , 1 )⋯ � 1 , �⋮⋱⋮2= � −1 1�=⋮⋱⋮� = �, � ⋯�� −1 , �−1 1−1 , � ⋯ �, ��0⋯ 0∞22= 2 ⋅ −1 (Γ) = ℎ2 ⋅ −1 (Γ), т.е. | ()| = |ℎ ⋅ −1 (Γ)| .22+ ⋯ + Неравенство Адамара: � �=1,…, .

Тогда �det� �� ≤∩=1 �1Доказательство по индукции с помощью предыдущей формулы.∎Билет 42. k-мерные площади (т.н. k-площади)Многообразие М наз. Элементарным, если его можно целиком описать одной параметризацией,т.е. : → – параметризация → = Φ(), Φ = (1 , … , ) ∈ Ω ⊂ → ∈ = Φ[Ω]Также из определения гладкого многообразия Φ′ () = , Φ и Φ′ - непр. и дифф.Рассмотрим ⊂ . Рассм. Φ−1 []. Разобьем ее на кубы. Получившаяся сетка при отображении Фпереходит в нек. Криволинейную сетку.Φ()[] ⊂ () – некий параллелепипед. Ребра этого параллелепипеда – образ ребра куба Kпри отображении Φ()� � = Φ′ () Образ стороны куба Φ()� ℎ� = ℎΦ′ () 1110⋯ ⎞ ⎛ ⋮ ⎞ ⎛ ⎞Φ⎛ 1Φ′ ⎜ ⋮()⋱⋮ ⎟ ⎜1⎟ = ⎜ ⋮ ⎟ ≔⋮⋯ ⎠ ⎝0⎠ ⎝ ⎠⎝ 1Т.е.

Φ()� ℎ� = ℎΦ()– образ стороны2 {Φ()[]} = det(�ℎΦ ΦΦ Φ,ℎ,ℎ� , , = 1, … , ) = ℎ2 det(�� , , = 1, … , → {Φ()[]} = ℎ �det ��ℎΦ Φ,ℎ� , , = 1, … , � ΦΦТогда приближенная площадь равна ∑⊂Ω �det ��ℎ , ℎ � , , = 1, … , � ℎ и в пределе мыполучим ∫Φ−1 [] �det ��ℎΦΦ, ℎ � , , = 1, … , � Будем говорить, что мн-во А, лежащее на элементарном многообразии, имеет площадь, еслиΦΦΦ−1 [] измеримо, тогда () = ∫Φ−1 [] �det ��ℎ, ℎ � , , = 1, … , � Покажем корректность определения (независимость от параметризации)Пусть Φ и Ψ – две параметризации многообразия М. ∈ Ω, Φ() = , Φ: Ω ⊂ → ∈ Δ, Ψ() = , Ψ: Δ ⊂ → Предположим, что А имеет площадь при параметризации Ф, т.е. Φ−1 [] – измеримое мн-во иΦΦ () = ∫Φ−1 [] �det ��ℎ, ℎ � , , = 1, … , � .По теореме об эквивалентности гладкихпараметризаций ∃: Δ → Ω – диффеоморфизм, т.ч.

Ψ() = Φ�()� → Ψ −1 [] = −1 [Φ−1 []] –измеримо.Рассмотрим интеграл ∫Φ−1 [] Φ () = ∫g−1 [Φ−1 []] Φ (())| det ′ () | = (∗)Знаем, что |det ′ ()| = (Ψ()[]) () (′ ()[]). ()= �Ψ() = Φ�()�()� == (Φ(())[()[]]) (g()[]) () ()Φ �()�|det ′ ()| => (∗) = ∫Ψ−1 [] Ψ()Корректность показана.Билет 46. k=1.Φ Φ, ) Аналогично Φ () = �det( (Φ()[]) ()=и Ψ() = = ()Рассмотрим кривую Г в пространстве � = () – гладкая параметризация Г, где ∈ [, ] = ()′ () = ∫[,] �′ 2 () + ′ 2 () + ′ 2 (), т.к. матрица Якоби имеет вид � ′ ()� и матрица Грама ′ ()222имеет вид (′ + ′ + ′ ) – размера 1х1.

= В случае явного задания � = () и = ∫[,] �1 + ′ 2 () + ′ 2 () = ()k=2. = (, )Рассмотрим поверхность в пространстве� = (, ) → матрица = (, )Грама� 2�� 2 2+ � � + ��+ + Определитель Грама = − 2 2 + � 2 2+ � � + � � + � �Тогда = ∬Ω (, ) = ∬Ω √ − 2 = 1В случае явного задания � = матрица Якоби � 0′ = (, )�1 + ′′ ′2′ ′2′222=�⎛Якоби⎜⎝ �⎞ ⎟ ⎠01 � и матрица Грама′22и матрица2� → = ∬Ω ��1 + ′ ��1 + ′ � − ′ ′ = ∬Ω �1 + ′ + ′ 1+Замечание: Свойства меры на многообразии совпадают со свойствами интегралаБилет 43. Интеграл I-го рода по многообразиюПусть () опеределена на М – элементарн. Многообраз.

Рассмотрим измерим. ⊂ ; Φ() –нек. Параметризация М. Назовем f суммируемой на мн-ве А, если ∃ ∫Φ−1 [] �Φ()�() =∫ () – интеграл первого рода по многообразию.Аналогично предыдущему док-ву мы можем показать, что введенный интеграл не зависит отпараметризации.Т.к. данный интеграл по определению сводится к обычному многомерному интегралу, то онимеет такие же свойства, что и обычный многомерный интеграл: линейность, аддитивность,абсолютная непрерывность и т.д.Если многообразие М – кривая L, то интеграл 1 рода также обозначается как ∫ () , а если М –некоторое двумерное многообразие, то он также обозначается ∫ ()А что, если М – не элементарное многообразие?Билет 44.Дадим опр измеримого мн-ва на многообразии и интеграла по произвольному многообразию.М – произвольное гладкое многообразие размерности k в По определению многообразия ∀ ∈ ∃ – окр-сть а: ⊂ – элем.

многообразие. ⊂ – элементарный измеримый кусок, если ∃: ∩ – элем. Многообразие и ⊂ ∩ Корректность определения:Покажем, что определение не зависит от выбора параметризацииПусть ⊂ ∩ , ∩ – элем. Многообразие с параметризацией Φ(), ⊂ ∩ , ∩ – элем. Многообразие с параметризацией φ(), ≔ ∩ → ⊂ ∩ Ω0 = Φ−1 [] - открытое, т.к. W – открытое и Φ – гомеоморфизм, Ω0 ⊂ ΩΦ0 ≔ Φ|_Ω_0 - параметризация ∩ Δ0 ≔ Ψ −1 [] ⊂ Δ – открытоеΨ0 = Ψ|_Δ_0 - параметризация ∩ Т.к. ⊂ ∩ , то А можно описать и Φ0 и Ψ0Предположим, что А измеримо в параметризации Φ, т.е.

∃ ∫Φ−1 [] Φ () =∫Φ−1 [] Φ0 () = ∫Ψ−1 [] Ψ0 () = ∫Ψ−1 [] Ψ() , т.е. определение не зависит от00выбора параметризации => определение корректно.Утверждение: Пусть А и В – 2 элементарных измеримых куска многообразия М => ∩ –элементарный измеримый кусок (А и В могут лежать на разных элементарных подмногообразиях)Док-во: ⊂ ∩ … . Φ() … . ∈ Ω , ⊂ ∩ … .

Ψ() … . ∈ Δ ≔ ∩ Из д-ва корректности имеем: ∩ – элементарное многообразие, которое имеет две параметризации Φ0 и Ψ0 ∩ ⊂ ( ∩ ) ∩ ( ∩ ) = ∩ – элементарное многообразие.Надо показать, что Φ0−1 [ ∩ ]или Ψ0−1 [ ∩ ] измеримо.Покажем, что Ψ0−1 [ ∩ ] ⊂ Δ0 измеримо ⊂ Ψ0−1 [ ∩ ] = Ψ −1 [ ∩ ] = �� = Ψ −1 [ ∩ ∩ ] = Ψ −1 [ ∩ ( ∩ )] ⊂ = Ψ −1 [] ∩ −1 [ ∩ ] = Ψ −1 [] ∩ Ψ0−1 [ ∪ ] = Ψ −1 [] ∩ −1 �Φ0−1 [ ∩ ]�= Ψ −1 [] ∩ −1 �Φ−1 [ ∩ ]� = Ψ −1 [] ∩ −1 [Φ−1 [] ∩ Φ−1 []]Билет 45. М – гладкое многообразие размерности k в Пусть существует конечный набор окр 1 , … , , ⋃=1 ⊂ , т.ч.

∀ ∩ – элементарноемногообразие.Покроем М конечным набором непересекающихся элементарных измеримых кусков.Обозн. = ∩ . Но они пересекаются → 1′ = 1 , 2′ = 2 \1 , 3′ = (3 \1 )\2 , …Т.о., многообразие представимо в виде конечного объединения попарно непересекающихсяэлементарных измеримых кусков: = ⋃=1 , ∩ = ∅ при ≠ , – элементарныйизмеримый кусок.Будем говорить, что ⊂ измеримо, если ∀ ≤ ∩ – элементарный измеримый кусок.При этом () = ∑=1 ( ∩ )Корректность.Покажем, что определение не зависит от выбора разбиения.��Пусть = ⋃=1 = ⋃=1 Предположим, что определение верно для разбиения на .� = ∩ � ∩ = ∩ � ∩ �⋃��Тогда ∩ =1 � = ⋃=1( ∩ ( ∩ )) = ⋃=1( ∩ ) ∩ )Факт измеримости не зависит от разбиения.Теперь покажем, что м величина суммы не зависит от разбиения□��=1=1=1�=1=1��� ) = � (�( ∩ ∩ � )) = � � ( ∩ ∩ � ) = � � ( ∩ ∩ � )� ( ∩ =1 =1�� )) = � ( ∩ ∩ � � )= � (�( ∩ ∩ =1= � � ∩ ∩ � = � ( ∩ )=1=1=1 =1=1M – многообразие, – элем.измер.

Характеристики

Список файлов лекций