1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Волновые уравнения В этом параграфе мы опишем некоторые из известных методов, с помощью которых можно определять приближенные решения задач с линейным волновым уравнением и связанных с ними эллиптических задач. При описании этих методов мы будем использовать волновое уравнение вида с'(г) )/е и — ои — ей[(г) о = се (г) 8 (г) е"", (7.4.1) Положив о = и (г) еим (7.4.2) придем к уравнению теи (-депе(г) и =д(г). (7.4.3) Здесь й и и представляют собой волновое число и коэффициент преломления и задаются равенствами (7 А.4) где с, †некотор характерная скорость. В этой задаче будем предполагать, что д †детерминированн функция, в то время как и может быть случайной функцией.
Таким образом, результаты могут быть применены к распространению волн в случайной среде. При постоянном и однородная задача допускает решение в виде плоской волны (7,4,5) и = Аее""' Зэт где А — постоянная. Решение неоднородной задачи задается интегралом ма ) «-4 ! = — [к(ь) 4 1 -е(э, (7.4.6) ц4гц Разложение Берна — Неймана н лнаераммы Фейнмана Зга методика применима в случае, когда и мало отличается от постоянной. Будем считать, что при этом й и и нормированы гаким образом, что постоянная составляющая а равна единице.
Тем самым мы получаем возможность записать и' в виде п'=1+ау(г), (7.4.7) где а мало, а 7=0(1). Для статистической задачи мы будем предполагать, что случайная функция у от переменной г центрирована таким образом, что ее среднее значение, обозначаемое через ()1), равно нулю. Для получения разложения Бориа [1926] положим Ю и=,~ ами„. (7.4.8) Подставив это разложение в (7.4.3) и приравняв с учетом (7.4.7) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим т. (ие) =й'.
й(и )= — йзуи з для из~~1. (7.4.9) (7.4.10) где переменный вектор $ пробегает объем рассеяния )з. Если, однако, л не является постоянной величиной, будем искать асимптотические разложения решений уравнения (7.4.3). Выбор того или иного асимптотического метода для получения приближенного решения зависит от значения й и характера пространственного изменения л. Если и мало отличается от постоянной, то можно применять так называемое разложение Бориа, разработанное физиками, или разложение Неймана, разработанное математиками, а также методы перенормировок или метод Рытова.
Если же значения й велики, а а — медленно меняющаяся функция состояния, то можно использовать метод геометрической оптики. Хотя эти методы были разработаны для детерминированных задач, они могут быть использованы также в стохастических задачах. Для последних мы опишем также так называемый метод сглаживания, который является аналогом метода усреднения, рассмотренного в гл.
6. Область применения этих методов и дальнейшие ссылки читатель может найти в книгах Чернова [19601, Татарского [1969), Бабича [19701, [19711 и в обзорной статье Фриша [1968[. 388 Гл. 7. Аеимненотиаееаие рниения линейнаие уравнений Здесь оператор 7. определен равенством 1 = та+)Еа. (7.4.11) Уравнения (7.4.9) и (7.4.10) могут быть последовательно ре. шены. Для некоторого заданного ап правая часть (7.4.10) считается известной из решения предыдущего уравнения. Следовательно, решение задается равенством и (г) = — на ~ )((г„)и„,(г )6,(г; г„) е(г„, ап~1, (7.4.12) где г„— переменный вектор, пробегающий объем рассеяния г', а 6а — функция Грина свободного пространства: е 6а(~ ь) — ' в )е Прн й = — 0 уравнение (7.4.9) допускает следующее решение в виде плоской волны: (7.4.14) и =Ае'"', а— где А — постоянная.
Тогда из (7.4.12) имеем и, = — Ай' ') у(г,)е"" 6,(г; г,) е(го (7.4.15) у и,=Ай') )((г,)у(г,)ей" 6а(г; г,) 6,(г;, г,)дг,е(г„(7 4.16) и„=А( — 1) й )г)((г,)у(г,)...у(г„)х хе"" 6,(г; г )6а(г; г,)...6,(г;, г,) Ф,е(га...а(г„. (7 А. 17) Член еи, в этом разложении называется первым приближением Бориа, а член е"и„— еп-м приближением Бориа. Если )1 — центрированная случайная функция г, то среднее значение функции и можно получить, усреднив (7.4.8). В результате будем иметь <и> =-Ае'"'+ Аеайа ) <у (г,) у(г )>ейм 6,(г; г,)6,(г;, г,)е(г, е(г,+...
+ +А( — е)"%ам ') <у(г,)у(га)...)((г )>х а хе" 6,(г; г„)6,(г„; г„,)...6,(г;, г,)дг,е(г,...дг +.... (7.4.13) Усредненные величины <у(г,))((га)...)((г )> зависят от расположения точек г„г„..., г„, так как для большинства случайных 389 7А. Во»новое уравнено» сред существует масштаб корреляции 1(т. е.
значения )( в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии, превышаюшем 1, не кор- релнрованы). Чтобы получить зависимость от масштаба корреля- ции, разложим эти усредненные величины в ряды по расширяю- щимся группам переменных следующего вида: <й (г,) Х (~,)> = )д'(г„г,). <у (г,) у (г,) у (г,)> = Я (г„г„г,), <у(г,) у(г,) 2(гд))((г,)>=)<(г„гд))<(г„г,)+7<(г„гд) 7<(г„г,)+ + Я (г„г,) )< (г„г,) +)7 (г„г„г.„г,), (7.4.19) <У(г,))((г,)...)1(г )) = о~'„й Я„..., ь»,) )7(К„..., ь»,) Х х)дд(ч„..., Ч» ), где й; = 2.
Так, суммирование в последнем уравнении проводится по всем возможным разбиениям множества точек г„г,, ..., г„на группы, содержащие по крайней мере две точки. Если у — центрированная гауссовская случайная ункция, то все корреляционные функции обратятся в нуль, за исключением двухточечных корреляционных функций. С помощью (7.4.19) и (7.4.18) можно получить для <и) выражение, зависящее от А-точечных корреляционных функций.
При йчй0 частное решение уравнения (7.4.9) имеет вид и, (г) = Мп = ~ д (г,) б, (г; г„) д(г,. (7.4 . 20) Тогда из (7.4.12) имеем и,„(г) = ( — 1)"Ад" ~ а (г) у (г) у (г,)... у(г,„) 6, (г; г„) х Хб,(г,„; г — ) . бо(г,; гд)бо(гд; г„)д(г„дгд...д)г (7.4.21) или, в операторной форме, и =( — А»Му)" Мп, (7.4. 22) где оператор М определен в (7.4.20). Поэтому имеет место СО и(г)=Му+ ~.", е ( — АдМ)()'"Ми. (7.4.23) т=! Этот ряд математики называют также рядом Неймана. К этому ряду можно прийти также, обратив соотношение (7.4.3) в интегральное уравнение и = Ма — й'МХи (7.4.24) и решая его методом последовательных приближений.
ззо Гл. 7. Аеимятоишоеи«ие решения линейных уравнений Из (7.4.23) можно определить функцию Грина 6 для уравнения (7.4.3) в виде 6(г; г,)=-6,(г; г,) — еА' ) у(г«) 6,(г; г,) 6,(г„го)«(г«+ +еей«$ у(г,) у(г,)6,(г; г,)6,(г,; г,)6,(г,; г,)дг««)г, + +... +( — 1)"'еий'" $ г(г,))((г,)...у(г )6,(г; г„),< у«6, (г„; г„,)... 6, (г;, г ) 6, (г,; г ) «(г, «(го... «(г„+.... (7 4 25) В операторной форме зта функция будет иметь вид 0 6 = Х (6о-У) 6о Л'о — ей'у(г) «р(г), (7.4.28) о«=О Этот ряд был представлен Фришем (19881 с помощью„как он назвал, „голой" диаграммы. При этом он использовал следующие условные обозначения: 6, представляется сплошной линией, а 5' — точкой. Тогда 6 представляется диаграммным рядом (7.4.27) г ге г г«го г го г«го Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного рассеяния. Член с номером т соответствует волне, которая свободно распространяется от г„к г„рассеивается на неоднородностях в г„распространяется свободно до г„рассеивается на г, и так далее.
Фриш [19681 представил двойную функцию Грина (тензорное произведение функции 6 на комплексно сопряженную величину) 6«х,6=6(г; го)6($; $„) в виде следующего ряда двойных „голых"' диаграмм: г го г г« го г го (7 4.28) г«го Ф Е«Ь Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному произведению оператора, представляемого верхней линией, на опе- 39! 7.4.
Волковое ораввенив ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому нижней линией. Если у — центрированный случайный процесс, то <6> может быть представлено следующим „одетым" диаграммным рядом (Фриш, 119681): ю- *~ (7.4.29) В этом диаграммном ряде использованы следующие условные обозначения: (1) Точки, принадлежащие данной группе, сседивены пунктирной линией.
(2) Каждой „голой" диаграмме, содержащей функцию у в виде Й множителей, мы сопоставляем столько „одетых" диаграмм, сколько существует разных разбиений множества г„г„..., г„ на группы, содержащие по крайней мере две точки. (3) Для вычисления по„одетой" диаграмме сплошные линии следует заменить на б„пучок пунктирных линий, оканчивающихся в г„г„..., г„— на множитель ( — ейс)вй(г„г„..., г,), а интегрирование следует проводить по всем промежуточным точкам. Так, имеем , - Е%лс'дслс: дслгд дев„.двсвс (7.4.30) с ~ дд) слс дс,сд дс,в,: дсессдсд,; д Х лс(гвв гв)Щге» гв) в(ге ~)ге в)гв ввг» (7.4.31) ззз Гя. 7. йеимптпепииееяие ранения линейния урпенений Аналогично, ковариацию (6 Я 6> можно выразить в виде следукнцего ряда „одетых" двойных диаграмм: ! <аОяа> + , '+ + ! ! + 1 ! (7.4.32) Здесь имеем, например, ге ! ! ! ! ! ! ! = «'й' б (г: г )бе(гя," ге)С,(5; 5я)бЯ„~,) к й(г! й!) [гя Ей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
