1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(7.4.62) Таким образом, при известном 1„~ величина <6> может быть найдена обращением <6(х)>. Однако точное выражение для 1~ ззз Гл. 7. Аеииненотинеение йевиения линейньи уиивнений так же трудно найти, как и выражение для <6>.
Поэтому прибегают к приближенным методам определения <). Простейшее приближение, основанное на уравнении Дайсона, соответствует удерживанию в массовом операторе только первого члена. Имеем прн этом в (7.4.53) или, в аналитическом виде, <6 (г; г,)> = = 6, (г; г )+еейе ~ 6,(г; г ) 6, (г,; г ) 1< (г,; г ) <6 (г;, гь)> аг, аг,. (7.4.54) Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки, в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [!952а[, [1952Ь[. Следует отметить, что уравнения (7.4.49) и (7.4.54) не могут быть решены методом итераций, поскольку это привело бы к появлению вековых членов.
Варватсис и Сансер [1971[ получили приближенное решение уравнения (7.4.54) в виде <6 (г; г,)> = 6, (г; гь) е"а*~э, (7.4.55) где 6е=йв )6ь(г; гь) 6ь(гб г,) 6,(г,; г,)Й(г,; г,)е[г,в[ге. (7.4 55) Это решение равным образом годно как для однородных, так и для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению, записав выражение <6> =-6,+е'6, в экспоненциальном виде. С помощью диаграммной техники Татарский П9541 н Фриш [19581 получили следующее уравнение Беге — Салпетера для случая, когда показатель преломления является гауссовским центрированным процессом или имеет общий внд (6 Ои 6 > (7.4,57) Здесь оператор интенсивности ~Я состоит из всех связных диаграмм без концов, входящих в разложение для <6(36>, т е.
7.4. Волновые уравненна имеем е (7.4.58) в Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [195![ при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием. 7.4.3. Метод Рытова Для получения приближенного решения уравнения 'Ри+Ат [1+ет(г)) и =0 (7.4.59) положим, следуя Рытову [!937[ (см.
также Татарский [1959, стр. 121 — 128[; Чернов [1960, стр. 58 — 67[), и =ее (7.4.60) и преобразуем (7.4.59) к виду 17'вР+ т$ РР+А'(1+ед) =О. (7.4.61) Предположим теперь, что тР допускает следующее асимптотическое разложение: вр = ~~.", е" Фп (г).
(7.4. 62) Подставив (7.4.62) в (7.4.61) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уЪ+И' рвр = — йа, р'врв+2ртр, рврп= — й'Х, и р'Ф + Х 7тр„рвр„„=О, п)2, т о Эти уравнения могут быть решены последовательно. Получающееся прн этом разложение в точности соответствует разло- Ф жению Бориа и = ~'., е"ип для уравнения (7.4.59).
Действительно, п=о разложение Рытова может быть получено из ряда Бориа, если последнему придать экспоненциальный вид. Полагая и / и ~~р ~епип=ехр~ ~~~, е вр„ п=о , =о (7.4.66) т 1 1 + ~ + 1 1 (7.4.63) (7.4.64) [7.4.65) 400 Гл. 7, Аеинншавии«ление решения лннейння уравнений разлагая экспоненту при малых а и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, можно получить для первых членов «,=е' у„«е=е ~ф,+2 ф]), ив =- ез ~ в]ве + вр,вр, + — вр', ) . (7.4.67) Таким образом, разложение Рытова представляет собой результат перенормировки разложения Бориа и, следовательно, должно иметь более широкую область равномерной пригодности, чем разложение Берна. Однако этот вывод представляется спорным (Хафнагель и Стэнли [1964); де Вольф [1965],[1967]; Браун [1966], [1967), Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор ]1967]; Стробен [1968); Сансер и Варватсис [1969), [1970]). 7.4.4.
Прибиииеиии геометрической оптики Целью нашего рассмотрения является получение асимптотического решения уравнения рви+ йене (г) и = 0 (7.4.68) и ешзиз ~иР ((й)-н и (г) и=о (7.4.69) Подставляя (7.4.69) в (7.4.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А, получаем уо «3 — — пе(г), (уравнение эйконала) (7.4.70) 2ЧЬ. «ив+иву'о'=О, (уравнения переноса) (7.4.71) 2рБ рй„+и у«5= — рви„, для т'э].
(7.4.72) Уравнение (7.4.70) может быть решено методом характеристик, т. е. с помощью уравнений йе йп — = 2Л«о, — = 2Лп* йо Ж (7.4.73) й — (у8) = Лр (п'), для больших волновых чисел й (т. е. для малых длин волн Л =2я/А). Для больших А решение уравнения (7.4.68) допускает асимптотическое разложение вида (Келлер [1958]) 7.4.
Волновая цравнвиая 40! где о — параметр, а Х вЂ” множитель пропорциональности. Исклю- чив то из первого и третьего уравнений, получим — ( — — ') = 2Хп уп. (7.4.74) Тогда решение второго уравнения в (7.4.73) имеет вид З=Яа+) 2).п'[г(туг(т, (7.4.75) а. где г(о) — решение уравнения (7.4.74) при начальных условиях г(о,) =г„г( (о,)/г(о=-г„. Положив 2Х=п ' н считая о длиной дуги вдоль лучей, можем переписать (7.4.74) и (7.4.75) в виде 4 ~ ""(')1 да ( — Г и (г (о)) — 1 = рп, Й~ (7.4.76) о =За +) п(г(т))дт. а„ Вдоль лучей уравнение (7.4.71) принимает вид 2п'(г(о)1 — „""+и,тяЯ(г(о)) =О. Решением этого уравнения является функция а .- .~ ан-~~ — 1 Г тгт(г(т)1 (7.4.78) Аналогично, решением уравнения (7.4.72) будет функция и а 1г(ой (' т'и — (г(тй иа (г(а)1,~ (7 4 78 '" иа (г (оа)1,) да [г (гй йа(г (гй где о — постоянная, определяемая из начальных условий.
Разложение, полученное в этом пункте, является непригодным на каустике (т. е. на поверхности, огибающей лучи), на границах тени, в фокусах лучей и в окрестности источников. В таких областях соседние лучи пересекаются, и площадь поперечного сечения трубки лучей обращается в нуль. Поскольку в трубке лучей энергия сохраняется, амплитуда поля в этих областях должна быть бесконечной. Ниже будет показано, что на каустике поле является неограниченным; в следующем пункте будет получено разложение, пригодное всюду, в том числе и на каустике.
АОЗ Гл. 7. Аеимятотинеснае решения линейнмл уравнений Для того чтобы показать, что разложение этого пункта нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный случай п(г)=1. Из (7.4.76) имеем, что в этом случае лучи являются прямыми линиями, а из (7.4.77) следует, что 5==-Зев — о,+о. Выразим теперь ревпения уравнений (7.4.71) и (7.4.72) науетии Рис. 7А. в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем предполагать гладкой и выпуклой.
На рис. 7.1 изображена точка Р, расположенная вне каустики, и два луча, проходящие через нее. Выбрав на каустике некоторое направление, мы тем самым введем направление на каждом луче, который обязательно касается каустики в некоторой ее точке. Таким образом, каждая точка Р, лежащая вне каустики, располагается на двух лучах, один из которых направлен от каустики, другой направлен к ней. Для двумерного случая обозначим через э длину дуги вдоль каустики и через о †дли отрезка луча от точки касания до точки Р. Таким образом, местоположение точки Р определяется числами з, и о, или з, и о,.
В этих координатах радиус-вектор г точки Р задается равенством г=г,(з)+пег. где г=г,(з) — уравнение каустики, а е, =с(га(сЬ вЂ” единичный вектор, касательный к каустике. Поскольку бе,Яэ =р 'е„где р '— кривизна в соответствующей точке каустики, то, дифференцируя (7.4.80), будем иметь с(г=е, дз+е, с(о+ — е, аэ. Р Заменив переменные о и а на (7.4.81) й=а, е)=а+о, 7.4.
Волновые уроаненил получим «(г=е, «(з)+ ч е, «(5. Р (7.4.82) Следовательно, имеем р(= — е + — — е, д) р д7 дЧ ' «1 — а д$ (7.4.83) (,) Р 1 + Г -1 . (7.4.84) «д Г д71 р дГ р д71 ' =ч — ~ дч ~ дч! ч — ~ ж Ь вЂ” ы1 ' С помошью равенств, получаемых из (7.4.81), д д д д д дЧ до ' да дз да можно переписать (7.4.83) и (7.4.84) в виде р7"= — е + —,~ —,— — ~ е, д1 р7д7 д(т д о '(дз дну' " Рассмотрев частный случай Я(з, ов)=-з+о„будем иметь Я(з, о)=а+а. (7.4.86) Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен ли луч от каустики или к ней. Используя в (7.4.78) и (7.4.79) с«ютиошения (7.4.85) и (7.4.86), получим ие(з1 О) ««е(з~ оз) ф' и„(з, о) =им(з, оа) )г —" — — ') ~l — '«7«им «(з, т)«(т.
(7.4.88) о, 7.4.5. Равномерное разложение на ааустнае Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы должны в первую очередь определить размеры области неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой целью в (7.4.68) и = зр (г, й) е«зз «о (7 4.89) Эти функции не ограничены при о- О (т. е.
на каустике). Модифицированное разложение, пригодное всюду, включая и окрестность каустики, получено в следующем пункте. чвл гл. 7. Аеимнеиренинеение реиеенин линейных уравнений и, полагая п(г)=-1, получим яехр[1 — (75)х)+й(27х 7ф+хррх5)+шеф=-О (7 4 90) Предполагая, что главным является член, пропорциональный йх, получим ГЯ.%5 = 1 (уравнение эйконала), (7.4.91) й (2рз рхр+фр'5) + 7'ф = — О. (7.4.92) Возьмем в качестве решения уравнения (7.4.91) функцию 5 = э+ о. Тогда (7.4.92) примет вид ~й(2 —, + — ) + — — (и — ) + и ( — — ) [Р ( — — — „)1 ф-=О. (7.4,93) Чтобы выявить характер решения уравнения (7.4.93) в окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию рас- тяжения и получим йхех(2 — + — ) ф+ ( а) ~— '( —" — ~ — ') ~'~ (а — ~' — ")1 Р-О. (7,4.94) 1+Л=4Л, Л= з .
1 (7.4.95) Тогда при )е- ио уравнение (7.4.94) стремится к виду 1(2 — + ~~)+ Р ~,-( — — )=О. (7.4.96) Полагая в нем е' а ° Ре 4Р хр е-мнзр )е(з) (7.4.97) придем к уравнению ихр лхх — +г)е=О, (7.4.98) Параметр Л определяется из требования, чтобы наибольшая степень я в выражении в фигурных скобках (в том выражении, которым мы пренебрегли в главном члене прямого разложения в предыдущем пункте) была бы равна степени и в первом члене (т.
е. в главном члене при разложении по лучу). Это означает, что мы полагаем 7.4. Вавнавеяе уравнения решениями которого являются функции Эйрн А(( — г) и В! ( — г) (см. п. 7.3.1). Если бы мы проанализировали поведение решения в окрестности границы тени, мы бы нашли, что решение должно быть выражено в функциях Вебера или функциях параболического цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
