1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Е Е! Ее (7.4.33) г гг ят ге = е~й~Оя(й; $,) бе(г; гя)6е(гя; гя)бе(гя, ге) к Я(г„г!) !Егя !Егя В случае гауссовской случайной функции не обращаются в нуль только двухточечные корреляционные функции; следовательно, и (7.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7, а в (7.4.32) такие, как б, исчезают. Представление формальных рядов возмущения с помощью диаграмм впервые применил Фейнман [19481. Эти диаграммы, называемые диаграммами Фейнмана, широко используются в статистической термодинамике (см., например, Пригожин [19621), в задаче многих тел (см., например, Ван Хов, Гугенхольц и Хауленд [1961[) и в квантовой электродинамике (см., например, Балеску [1963[).
Для решения линейных стохастических уравнений диаграммы Фейнмана первым применил Крайхнаи [19611. При исследовании распространения волн в случайной среде диаграммы Фейнмана были введены в рассмотрение Бурре [1962а1, [1962Ц, Фуруцу [19631 и Татарским [19о41 для случая гауссовых процессов и Фришем [1966[ — в общем случае. 393 7.4.
Волновое уровнвноя Фриш (1968) показал, что разложения, полученные в этом пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также, что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых пригодность этих асимптотических разложений ограничивается малыми значениями аргумента. Поскольку величина (д(г,)х хХ(гв)...11(гв„)> Равна сУмме двУхточечных коРРелЯционных функций в количестве 1 3.5...(2гл — 1), то это число слагаемых быстро растет с увеличением и, и это обстоятельство является еще одной причиной, обусловливающей расходимость разложений (7.4.29) и (7.4.32).
Шкарофский 11971) модифицировал разложение Бориа для случая обратного рассеяния на турбулентной плазме, чтобы исследовать явление насыщения и поперечной поляризации. Радей )19171 разработал метод улучшения равномерной пригодности таких разложений, с тем чтобы разложение, полученное им для однократного рассеяния на тонком слое, сделать пригодным для многих слоев.
Эта методика называется перенормировкой. Она была развита и расширена рядом исследователей (см. следующий пункт). 7А.2. Методы перенормнроенн Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая может возникнуть в разложении Бориа (Неймана), и наметить пути ее устранения, рассмотрим простой пример и" +ив(е)и=О, и(О)=1, где А — постоянная, определяемая равенством й= Хз"й.. (7А.35) в=0 Уходящие волны задаются точным соотношением и и сей(в)л ехр ((х ~зол (7.4.36) н=о Однако разложение Бориа, полученное для (7.4.34), имеет вид -л'" Š— ~'Е "в.)- и ~л=о н=3 г а» ' ~ 1+ 1ей,х + ее ( рй,х — — А;хв ) + +а(Жвх — и,Ивх' — 3 Ивх') +...1.
(7.4.37) Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких расстояний и нарушается, когда значения й,х имеют порядок ззю Ги 7. Апюнлтатнлесние решения линейных рравнешюй 0(е ') или больший. Источник неравномерности можно обнаружить, сравнив это разложение Бориа с точным решением (7.4,36). в ! * е < ' Х '!.) ' е"х л = ! Тейлора по величине юх ~ ел»ю„, разложив, далее, выражение л = ! < ~, ел»ю„ по степеням а и сгруппировав члены с одинаковой л = ! степенью а, можно получить из точного решения разложение Бориа.
Хотя р яд Тейлора, полученный разложением ех р юр по Ч!, сходится равномерно и абсолютно для всех значений юр „ конечным числом членов ряда нельзя приблизить значение ех р юр с заданной точностью для всех значений юр . Следовательно, любое равномерно пригодное для всех юр разложение функции ех р юр должно совпадать с самой функцией ех р юр Таким образом, чтобы из (7.4.37) получить разложение, равномерно пригодное для значений х порядка О (е '), следует просуммировать последовательность 1+юейюх+...
+(абай х)л/и!+., Эта сумма равна ехр(ю»ююх). Тогда (7.4.37) принимает вид Ф / и !л и=ехр[ю'(йе+ей,)х) ~',— фх~~',е"7ю„) лз=е л=2 =ехР[ю(йв+е»юю)х)(1+юе'»ю,х+юв"йех — — а'и;хе» ...) . (7.4.38) Это разложение нарушается при й,х=О(е '). Чтобы увеличить область пригодности этого разложения до значений х=О(е '), следует просуммировать последовательность ~(ювей,х)"(юн». Если т=е не известна явная функциональная зависимость, то эффективным методом суммирования этих последовательностей является метод многих масштабов гл. 6. Суммирование вековых членов можно также произвести другим способом — методом перенормировки.
Метод перенормировки был первоначально разработан Рэлеем 119171 с целью обобшить свои результаты по рассеянию на тонком слое на рассеяние на многих слоях. Для однократного рассеяния на одном слое он получил разложение вида и =еюе '(1+юзрх). (7.4.39) Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде и = ех Р [ю (йв + в»ю) х». (7.4.40) 7.4. Волновьэ уравкения и =и ееи /ие. — о (7.4.41) Если для и, имеем и,=А,ехр!3,(г), то тогда и = Ае'зпч (7.4.42) где А = А, ехр !е )[е (и,/и,)1 и 5 = 3, + е ! ш (и, /и,).
Метод перенормировки был расширен, что позволило получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем (см., например, Ван Хов [1955), [!957); Пригожин [1962); Балеску [1963); йльтшуль и Карпман [1965)). В соответствии с этим методом последовательности вековых членов выделяются и суммируются с применением диаграмм Фейнмана пли без них. Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит к квазилинейным уравнениям. Метод перенормировки широко применялся также прн изучении распространения волн в случайных средах (см., например, Татарский [1959, глава 6); Келлер [!962); Карал и Келлер [1964)). Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности разложения для <6> из (7,4,29), прндадим величине <6> экспоиенциальный вид <6> = б,ее.
(7.4.43) Следовательно, первая перенормировка дает а, ~о (7.4.44) где 6, = е'И ) 6,(г; г,) 6,(г;, г ) 6,(г,; г ) )т (г;, г ) /[г, /)г,. (7 4 45) Бурре [!962а), [1962Ы, Фуруцу [1963), Татарский [1964) и Фриш [1965) использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964) расположил диаграммы для <6> и <б®б> таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль- Таким способом он эффективно вычислил сумму ~~'.,((ерх) //п[ т=! последовательности вековых членов. Процесс суммирования разложений с целью сделать их „более" равномерно пригодными называется переиормировкой. Эта методика была заново открыта Притуло [1962), о чем говорилось в $ 3.4. Чтобы расширить область равномерной пригодности двучленного разложения Бориа и=и,+еи„придадим ему следующий экспоненциальный вид: зза Ге.
7. Ясимитоаитеские йииеиия ттейних уиаеиеиий иых уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для <б> имеет внд 1 2 з 4 5 6 — -сс' ь- -сс~. а .с~- 7 а 3 24 ы 12 1Э гс е гг 15 16 е 1В 1З (7.4.46) Для получения интегрального уравнения для 46у с ядром, состоящим нз бесконечного ряда, рассмотрим топологию диаграмм в (7.4.46). Введем следующие определения. (1) Диаграммой без концов будем называть диаграмму с удаленными внешними отрезками сплошных линий.
Так, например, диаграмма 2 без концов имеет вид е ~, а диаграмма 4 без КОНЦОВ ИМЕЕГ ВНД 4-4'4 1 е 2Г~ (2) Диаграмма без концов называется связной, если ее нельзя разбить на две или более диаграммы, не разрывая ни одной пунктирной линии. Диаграммы 4, 5, !О, 11 и 13 — 20 являются связными, в то время как диаграммы 3, 6, 7, 8, 9 и !2 не являются связными. Несвязные диаграммы могут быть разбиты на множители; например, диаграмма 7на Волновые уравнения может быть записана в виде произведения следующих пятидиаг/ рамм: I в l э 4.— — -в, (3) Массовым оператором 6, обозначаемым через е, называется сумма всевозможных связных диаграмм, входящих в <6>; т.
е. имеем /' в в (7.4.47) Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида в — -в, а все несвязные диаграммы, состоящие из трех связных диаграмм, а Р д .И занного следует, что величина<6>, обозначаемая линией описывается следующим уравнением Дайсона (Татарский [1964[): в.4лв) или в аналитическом виде <6(г; г,)> =6,(г; г,)+ ~ 6,(г; г,) 6 (г,; г,) <6(г;, г,)> е[г, дгв. (7.4.49) Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949[, широко использовалось в квантовой злектродинамике, квантовой теории поля и в задаче многих тел. Если функция т однородна, то массовый оператор () инвариантен по отношению к переносу и представляет собой оператор свертки, преобразование Фурье которого является оператором умножения на обычные функции.
Следовательно, совершив преобразование Фурье в (7.4.49), получим <6 (х)> =- —,, + —,, Я (х) <6 (х)>, (7.4.50) коль скоро 6в(х) = нв и ° 1 (7.4.51) Разрешая уравнение (7.4.50) относительно <6(х)>, получим ! <6(х)'= а — — Е( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
