1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Для решения уравнений (7.3.135) — (7.3.137) предположим, что имеют место формальные разложения вида А = ~ Л "Ан(г),  — — ~ Л "В„(г), С= ~ Л "С„, (?.3.138) «=о «=о н=о и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Л, по- лучим н-! Здесь все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю по определению. Положив и М,А„= А"„(г)+ ~ да о+,(г) Аь(г), в=о (7.3.142) ин(г) = А„(г)+ 7)/г В„(г), объединим уравнения (7.3.140) и (7.3.141) в одно уравнение 2 Уг ив — (е)ви„= еМ,А„, — Ь~ г М,В„, (7.3.143) с общим решением (7.3.144) ( ув (е) (7.3.145) 380 Гв.
т. Леимненоеииаесние рнинаие линейных уравнений гСн =-йв='4» -2Вн — 1 Сн-е Х г7п — в-е Сы йао н-1 2гВн + Вн «)вАн = Ан — е+ Х е)„-й '"в, в=о 2А„'+е),Вн= — — В"„,— ~ д„йВй. о=о и„=(ех„+41„)еооа+ — ~евам-еоел[т-ивМ,А„, 1 о + еМ,В„в)е(т, о=О, 1, 2, ... Здесь а„и р„— произвольные постоянные и (7.3.135) (7.3.136) (7.3.137) (7.3.139) (7.3.140) (7.3.141) 7.8. Задами е яочкой 8038/юо!о Поскольку коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, то при п= О формула (7.3.144) принимает вид ~.=(~ +(р.)е".
(7.3.!46) Следовательно, А„=а, соэ Π— й, яп О, (7.3.147) ) гВ,— — аояпО+р,соэО. Поскольку 0(О)=О, то для ограниченности В„при г О необходимо, чтобы р,=О. Далее, уравнение (7,3.139) при п=О записывается в виде гС, =л,— А,. (7.3.148) Для того чтобы С, было ограниченным при г- О, необходимо, чтобы выполнялось А, (О) = в; (О) =.
а,. (7.3. 149) Тогда для о в первом приближении имеем и=~о() го() +РР!'до(О)соэОТ(7)+Р!'д,(О)~-!Уов1~07'я) г (7.3. 150) При !7,=0 (т. е. О=О) эта формула сводится к (7.3.125). Вообще, чтобы В„были регулярными в точке г = О, будем требовать выполнения равенств р„= О, а для регулярности С в точке г =О будем требовать, чтобы а„= Аи(О)=О! (О) 2Ви-!(О) Сп-о(О) л-! — ~.", г(„о „(О)Со(О), п=О, 1, 2, .... (7.3.151) о=о Следовательно, г А„(г) =а„сов О(г) — — ] т-!мяп [0(г) — О(т)] М,А„, г(т 1 Г ! о — ~ ~ сов [0(г) — О(т)] М,В„, с(т, (7.3.152) 1 г Р'г В„(г) =а„Яп 0(г)+ — ~ т-ы' сов [О(г) — 0(г)] М,А„,!(т 1 Г т — г ~ Яп[0(г) — 0(т)]М В„,йт. (7.3.153) 1Г.
382 Гл. Г. Асимптотическое ранения линейных ураенений Это общее решение было получено Тумаркиным 1!959] и обосновано Кларком 11963]. 7.3.а. Неодвороднаа задача с точкой возврата азорото порядка В исследованиях по тороидальным мембранам с внутренним давлением Сандере и Липинс 11963] столкнулись с неоднородной задачей, содержащей точку возврата второго порядка и описываемой уравнением вида азу „— „, + Х'д (х) у = )" б (х), где д(х) имеет двукратный нуль в точке х=р. Чтобы найти первое приближение к частному решению этого уравнения, положим а =ар (х), — тз = ( 1/д(т)е(т, у = — ', (7.3.155) и приведем уравнение (7,3.154) к виду — з + (е заз — 6) 0 = ).зЯ (2), (7.3. 156) в котором 6 и я определены соотношениями (7.3.37) и (7.3.117).
Поскольку 6=0(1), а Х вЂ” большое число, то частное решение уравнеаия (7.3.156) задается приближенно уравнением — „, +дагер=дед(г). йзо (Т.3.157) Для нахождения приближенного частного решения уравнения (Т.3.15?) выразим д(г) в виде суммы трех слагаемых согласно равенству (~) = — а (О)+к'(О) а+ В(г) — й(О) — а'(О) г] (7,3.158) и определим частные решения, соответствукнцие этим трем членам. Если существует р" (О), то частное решение, соответствующее последнему члену, приближенно задается равенством а(х1 — р(О) — а'(О)т 01 ез равномерно для всех г.
Для нахождения частных решений, соответствующих двум другим слагаемым в д(г), положим $ = Хмзг 7.8. Задачи с точкой возврата и преобразуем уравнение (7.3.157) к виду —,+$за=Лй (0)+Лыса'(0) $. (7.3. 160) Сандере и Липине [1963[ определили две функции Т, ($) и Т, ($), удовлетворяющие условиям йтт, 1 —,т+~тТ,=1, Т,= —, при [$[ — оо, йтт, 1 —;+К'Тт=3, Т, = — при ~$[ — оо. (7,3. 161) С помощью этих функций частное решение уравнения (7.3.160) может быть записано в виде от =Лс (О) Т, Д)+Лзl у' (О) Т,(5).
(7.3.162) Поэтому частное решение уравнения (7.3.157) приближенно задается равенством р «(т! — «(О! — «'(~1~ ! Ла(0)Т (ф)+Лз1сд'(0)Т,(Ц, (7.3.163) 7.8.Э. Задачи с осоеснностами а точаад вози«ата Рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения — „«+ [Лтд (х) + г (х)! у = 0 (7.3. 164) для больших Л и при условиях д(х)= 7,(х — р) [! -1-0(х — р,)[, при х — !т, (7.3,165) г (х) = го (х — р)-' [! + О (х — !т)! > Задачи„рассмотренные в предыдущих разделах (в которых г, = 0 и а) 0), являются частными случаями настоящей задачи, в которой г, Ф 0 и а может иметь отрицательные значения.
При х !д уравнение (7.3.164) стремится к виду —,«+ [Иув(х — !с)а+ — га в[у=О. (73.!66) Поэтому в качестве присоединенного мы выберем уравнение ф+(Л "+ — ',,) =О, (7.3.167) Совершив обратный переход к переменным х и у, можем получить равномерно пригодное первое приближение к решению исходного уравнения. 384 Гл.
7. Асинненаенинесние Ениания еинейньи ииаенений решения которого выражаются в виде '' к„(у а), Ру- Л, (1= —, т=- '. (7.3.168) а+ 2 )Г! — 4ге 2 ' 2+а Здесь цилиндрические функции Жн(7) удовлетворяют дифференциальному уравнению — '-1- — — '+ (1 — —, 1 а, = О. (7.3.169) ер)икции Бесселя, Неймана и Санкеля (),(1), Ун(г), Н'„(1) и Н;(е)) являются частными видами цилиндрических функций. Исследование задач с особенностями в точках возврата было начато Лангером [19351.
Значительный вклад в изучение зтик задач внесли также Кэшузлл [19511, Олвер [1954], Свенсон [19561, Казаринов и Маккелви [19561, Эрдейи [19601 и Вазов [19651. Чтобы определить асимптотические разложения решений уравнения (7.3.164), введем в рассмотрение преобразование г = ер (х), в = ф (х) у (х), ф (х) = )/Ч~', (7.3.170) которое приводит уравнение (7.3.164) к виду й й-,'е+( '~„" + — '„~Г(х)+-~ — Я~о 0 (7.3.171) откуда следует, что ф<а+ ене ) )/е) (,е) е(т а -(-2 и Следовательно, уравнение (7.3.171) принимает вид (Леха 1 ее) и(7) (7.3.
173) (7.3. 174) Е = — ' — 1г г (х (г))+ —, — 1. 1 Г 2фн ~" Ч ес <ра!. 41' (7.3.175) Ври х — )е а -1-2 а+2 е ере + н — — )/д (х — )е)еа+еке, Для того чтобы это уравнение приближенно совпадало бы с уравнением (7.3.167), потребуем выполнения равенства Р ~'*=4(х), 17.3. 172) 7.З. Задачи с шичков возврата откуда следует у««« + л(х 1„) Ч, тлл +е ф «7еш«и+ел, (7,3.176) (7,3.1 77) Следовательно, первое приближение к «л задается решением (7.3.168) уравнения (7.3.167). Тогда у приближенно задается равенством (7.3. 1 78) Используя подход Олвера (п.7.3.5) и предположив, что а = А 1а, Х) Ю«(г; 7 ) + В (г, Х) ~; (г; Л), (7.3.
179) где ьл и сз — независимые решения уравнения (7.3.167), можно получить высшие приближения к решению уравнения (7.3.174). 7.330. Задача высшего порвааа с точааыв возврата Интерес к задачам с точкой возврата для дифференциальных уравнений порядка выше двух обусловлен большей частью задачей о гидродинамической устойчивости параллельных течений. Линейная задача об устойчивости параллельного течения может быть сведена к решению так называемого уравнения Орра— Зоммерфельда (см., например, Линь 119551) Чл«ч — 2«ззср" +с«'«р =Ес«1«(1(l (у) — с) («(л" — а'Чл) — (I (у) «р) (7.3.180) относительно амплитуды возмущения Чл (у). В этом уравнении профиль скоростей невозмущенного потока (У (у) — известная функция.
Параметры с«и 7«являются положительными постоянными, представляющими собой волновое число возмущения и число Рейнольдса для потока соответственно. Параметр с — комплексная постоянная, действительная часть которой с, определяет волновую скорость, а мнимая часть с« — скорость затухания или возрастания возмущения. Это уравнение, дополненное четырьмя однородными граничными условиями, прн известных с«и 1«образует задачу на собственные значения с собственной функцией «р и собственными значениями с, н со Система является неустойчивой при с«) О, устойчивой прн с, (О и при с,=О находится в состоянии безразличного равновесия.
Для больших с«г« можно получить два независимых решения этой задачи в виде «р =«рв(у)+(ат«) '«р,(у)+.... МЮ Ге. 7. Асимнеюеиинесние ранения еииейнмх уриенений Два других решения могут быть получены в виде ер =ее 'йнс [((/ — с)-"'+(сс/г')-ие1,(у)+...[, (7 3.182) где ь" = ) $' е ((/ — е) ду. Вышеприведенное решение нарушается в окрестности нулей функции (/ — с, которые являются точками возврата для уравнения (7.3.180).
Толлмин [1947[ и Вазов [19531 получили равномерно пригодные асимптотическне решения первого порядка для уравнения (7.3.180). Полные равномерно пригодные разложения были получены Лангером [1957[, [1959а[, Рабенстайном [1959[, Линем и Рабенстайном [1960), [19691. К. Там получил для уравнения (7.3.180) равномерно пригодные разложения с помощью мегода многих масштабов. Задачи с точкой возврата для уравнений и-го порядка изучал Сибуя [1963а[, [1963Ь]. 7.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
