1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Чтобы 6 имела порядок О(1), функция д должна быть регулярной н не обращаться в нуль на рассматриваемом интервале. Следовательно, функция Ь должна быть выбрана такой, чтобы порядок и местоположение нулей и' особенностей функции ~' были такими же, как у функции ар(х), и чтобы Этн формулы согласуются с результатами предыдущего пункта. Олвер [1954] обобщил преобразование Лангера, записав его в виде Заа Гл.
7. Асимнтотические решения линейных уравнений 1' и й,(х) были одновременно положительны или отрицательны. Кроме того, желательно ь' выбрать и таким, чтобы присоединенное уравнение (7.3.47) решалось в известных функциях. Общее преобразование такого типа было вновь открыто Моригути [19591. Положив й(х) =(х — р)1(х), 7(х) > О, ь' =-Ьг, (7.3.48) придем к преобразованию Лангера. 7.3.3. Задачи е двуми точками возврата Рассмотрим случай, при котором й,(х)=(х — (л,)(р,— х)) (х), )ез > р„[(х) > О, (7.3.49) где 3ер, =) )~( р)( — )е()е( пр х>(з, 2 о ои 2 3 х (7.3.51) При х- й„однако, ф, =О [(х — )е,)ме1. Поэтому разложение (7.3.50) нарушается в окрестности точки х=р, и пригодно для значений р,— х > б„где б,— положительная малая величина.
Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата х=р„получим у =-, (п,А( [ — Х'lеер,(х))+ЬеВ! [ — Хызыр,(х)Ц г' Ч4(х) при х — р, > 6„(7.3.52) так что уравнение (7.3.29) имеет две простые точки возврата в точках х=р, и х=р,. Подобные задачи с двумя точками возврата возникают, напрймер, прн решении уравнения Шредингера (см., например, Джеффрис [1962); Пайк [1964]) для туннельного перехода или в задачах с классическим осциллятором, а также при определении переноса тепла в трубе (см., например, Джейкоб [1949], стр.
451 †4), Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата х=р„ получим У = (аз А( [ — М/зеР, (Х)) +Ь,В( [ — Лз~зеР, (х)1), (7 3 50) )7в(л) 7.8. Эадази с таз«ай заэзрата где 6, †мал положительное число и ак к 2 3 ( — зрэ)за= ) $ ( рз~)(~ рз)>(з)с(э при «>р~ (7.3.53) Аналогично, разложив (7.3.52) для больших значений аргумента и для «< р„получим а((х — >зз) (и, — х> (х>! + Ь, соз ( — Хф,'~' +-~-)1 . (7.3.55) Приравняв (7.3.54) и (7.3.55), придем к уравнению (3 + 4)+ (3 4) /2 з>з а1 !2 з/з а~ =аз з>п ( — Лф, -(- — ) ->-Ь, сов( — Ъф, -(--) .
(7.3.56) Введя обозначение д «„(фэ/з ! фэ/з) ! э' )~)/(т )(,)э(.)( +а (7.3.57) получим 2 — дфз> -)- =д — ( р,ф> + ). а /2 пХ 3 з 4 ~3 з 4)' Тогда из (7.3.56) следует аз =Ь, з!и Д вЂ” а, соз д, Ь, =а, згп д+Ь, сов д.
(7.3.58) Поскольку оба разложения (7.3.50) и (7.3.52) пригодны в ин- тервале рз, +6, <«< р,— бз, то их можно срастить. Разложив (7.3.50) для больших значений аргумента и для «> р„получим, используя (7.3.(7) и (7.3.И), д-з>з 2 эсз а р а((х — >з,>(р — хП(х>!'Уз !. ( 3 4) +Ьэ СОЗ ( 3 )сф + 4 ) ) . (7.3.54) заз Гл. 7.
Яеиммтотичеоте ранения еинейни.е уравнений Если теперь у — ограниченная функция х, как это имеет место для решений уравнения Шредингера, то в силу предельного соотношения В((г) и-ыег-ов ехр((2/3) ге/е) при г ии будем иметь Ь„Ь,=О. Следовательно, второе нз уравнений (7.3.59) дает (7.3.59) з)пА=-О, Л=ап, где и — целое число. Тогда в силу (7.3.57) (7.3.60) ) 1(т — щ)(не — т) Р(е))м'йт Н~ Чтобы не представлять решение в виде двух разложений, Миллер и Гуд 11953], Казаринов 119581 и Лангер 11959в) предложили выразить решение с помощью одного равномерно пригодного разложения в терминах функций параболического цилиндра.
Обращаясь к преобразованию (7.3.44), выберем функцию Ь' такой, чтобы она имела два простых нуля. Будем считать, что они расположены в точках г = ~ 1, причем точка г= — 1 соответствует точке х=ро и положим (Пайк 119641) Ь' = 4а'(1 — г'). (7.3.61) Выберем а таким образом. чтобы г = 1 соответствовало бы точке х †- р,. Тогда из (7.3.44) получаем е Х Г=2а ~ Ье1 — тес(т= ~ )'е),(т)е(т. (7.3.62) -1 и1 Здесь ветви квадратного корня должны быть выбраны таким образом, чтобы г была бы регулярной функцией х и чтобы области д,(х) > О и д,(х) < О отображались бы ссютветственно в области г' с 1 и г' > 1.
Выбрав точку г = 1, соответствукяцую точке х=9„мы получили следующее уравнение для а: 1 Р* 2а ~ )е'! — тейт= ~ )'е)е(т)е(т. Следовательно, а= — „~ )/де(т) е(т. С учетом (7.3.61) присоединенное уравнение запишется в виде — ", + 4аеХв(1 — ее) и = О. (7.3.64) 7.д Задача с мочкой возврата Решениями этого уравнения будут функции о=Ига(2)lа).г), и+--а-=ай, (7.3.65) где %',— функция Вебера порядка т. Если у ограничена на бес- конечности, то и функция а должна быть ограниченной. Следо- вательно, т=п. где и — целое число.
А тогда (7.3.661 что согласуется с (7.3.60). Задачи с двумя точками возврата изучались также Олвером [1959) и Моригути [19591. В числе других авторов задачами с несколькими точками возврата занимались Евграфов и Федорюк [19661, Хзи и Сибуя [19661, Сибуя [19671, Линн и Келлер [19?01. 7.3.4. Зааачи с точками возврата высших иорвиков В этом пункте положим д, = (х — р)" 7 (х), 7 (х) > О, (7.3 67) где а — положительное действительное число. Для нахождения одного равномерно пригодного разложения положим ~' = г", так, чтобы функция ь' имела бы такое же число нулей, что и й,(х).
Следовательно, — г1о+з1а ~)/т (т)г(т 2 2+а о (7.3.68) — „;+),зг о= О. (7.3.69) Решение уравнения (7.3.69) имеет вид и=гыи гс 7 (с — „г«"+з>~з1+с',7 (ь — г«~+зиз~ ~, (7.3.70) где ветви квадратного корня выбраны таким образом, чтобы области д,(х) >0 и д,(х) <0 отображались в области г" >0 и г < 0 соответственно. Это преобразование приводит к присоединенному уравнению вида (Лангер [19311) зто Гл. т. Аеимнтатичеение реииния линейнык уравнений где т=(2+сс) '. Следовательно, в первом приближении к 1/е ~ ((т — р) 1(т)] ' йт ( г к е -'" . „' (.,~.(51».— »е!ие" в.]-» Цк — я) 1 (к))кге и ~.,г,(»1г — »еи яц'е 1).
~7.»7П Маккелви (Л955] выразил асимптотические решения задачи с точкой возврата второго порядка (т. е. при «я= 2) через функции Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентриситетом (Гудрич н Казарннов (1953]) и при решении уравнения Шредингера (Фосс 11933]).
Первое исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических разложений, как это сделано в п. 7.3.1. 7.айн Высшие приблшиении До сих пор в наших рассмотрениях мы получали только первый член асимптотического разложения. Существуют четыре разных подхода к определению членов высшего порядка. Подход Дангера. Суть этого подхода состоит в том, что всякий раз решение того уравнения, которое надо решить, связывается с решением некоторой более простой задачи со сходной структурой, которая может быть явно решена в трансцендентных функциях (Лангер 11949]). Недостатком этого подхода является то, что он не пригоден для численных расчетов, так как коэффициенты аснмптотических разложений являются функциями как независимой переменной, так и параметра возмущения.
Кроме того, разложения определяются путем нескольких преобразований, Ниже мы увидим, что, используя подход Олвера, можно получить эквивалентные разложения более простым путем. )7одход Черри. В 1949 и 1950 гг. Черри развил методику получения членов высшего порядка в задаче с простой точкой возврата.
С помощью преобразования Лангера (п. 7.3.2) эта задача приводилась к виду -~+( — Лег+Лх(г, Л)]о=О, (7.3.72) где (7.3.73) 7Х Задачи с точюй вазврата В рассмотрениях Черри отсутствуют все п„с четными индексами и. Будем искать формальное разложение вида о = А (г; Л) ~( (Лм~ ф т, Л)], ( = 1, 2, где ь", и ь,— функции Эйри первого и второго родов соответственно. Поскольку справедливы равенства — „, = А "~~+ (2А'<р'+ А(р") — „' + Ач" — „,' (7.3.74) — =Л р~ч ~Р~у фр2 то уравнение (7.3.22) принимает вид (А"-(-Л~ ~р~р" А — Л'гА+ЛпА)ь(+(2А'~р'+А~р") — '=О.
(7.3.75) Приравнивая нулю коэффициенты при Ь) и йЬ;Щ, получим 2А р +Ар"=О, (7.3.76) А" Л'(~р~р' — г)+ Лэ + — „= О. (7.3.77) В силу (7.3.76) (7.3.78) Уравнение (7.3.77), следовательно, запишется в виде Л'(ср~р' — г)+Ля+ — ~ —,~ —,=О. (7.3.79) м 4 ~ (р',) 2<р' Чтобы решить это уравнение, положим в нем (р =г+Л-'ср,(г)+Л-'(р,(г)+... (7 3 80) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим уравнения для последовательного определения ~р„. Первые даа из этих уравнений имеют вид 2г<р', + ~р, + д, = — О„ 2г~р,'+ ф, =- — у, — гор„'* — 2ср,~р,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
