1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Получающееся разложение пригодно только на коротких расстояниях, а область его равномерности может быть расширена с помощью метода 330 Гж 1. Асимнншншеегкие решения линейных уравнений перенормировок. Затем описаны приближение геометрической оптики и метод сглаживания. Поскольку рассматриваемые задачи являются линейными, то существует обширная литература, посвященная их асимптотическому решению н математическому обоснованию этих решений.
В этой главе мы даем описание методов получения формальных асимптотнческих разложений для решений уравнений, не вдаваясь в математическое обоснование их. Кроме того, процитировано ограниченное число статей. Читателя, интересующегося более обширными ссылками и математической строгостью, отсылаем к Эрдейи [1956), Джеффрису [1962), Чезари [197Ц, Беллману [1964), Унлкоксу [1964), Вазову [1965), Фещенко, Шкилеву и Николенко [1967), Вазову [1968) и Фришу [1968).
Сначала, в 3 7.1, рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка; системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка рассмотрены в 3 7.2, Задачи с точками возврата исследуются в 9 7.3, приведенное волновое уравнение изучается в 9 7.4. 7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка В этом параграфе мы будем иметь дело с асимптотическим разложением решения уравнения — т +,О (х; е) й— '+ г7 (х; е) Д = Г (х; е), (7.1.1) где е — параметр, который может быть малым илн большим.
Будем предполагать, что функции р и д не обращаются одновременно в нуль на интересующем нас интервале. Сначала исследуем асимптотические решения этого уравнения в окрестности нерегулярной особой точки. Затем опишем методику отыскания асимптотического решения уравнения (7.1.1) для случая, когда оно содержит большой параметр. Затем рассмотрим особые задачи возмущений с малым параметром при старшей производной. Наконец, опишем методы получения асимптотическнх разложений для случаев, когда р, г7 и г являются медленно меняющимися функциями х. 7ЛЛ. Разложения я окрестности нерегулярной особенности Исследуем асимптотическое поведение решений уравнения — „", +р(х)ф+г)(х)у =0 (7.1.2) при х оо и при условии, что бесконечно удаленная точка является нерегулярной особой точкой.
Прежде чем взяться за 7Д. Ди4в)еренциивепне уравнения вепоуого порядка зз( намеченное, дадим определения регулярной особой точки и иррегулярной особой точки. Предположим, что р (х) и д (х) допускают разложения по возрастаюшнм степеням (х — х,), х, ( оо, вида р(х)=р,(х — х,) 11+р,(х — х,)+...), р,~О, д (х) = дв (х — хв)а 11+ е), (х — х,) +...1, де чь О. (7.1.3) Бесконечно удаленная точка является обыкновенной точкой исходного уравнения, если начало координат является обыкновенной точкой преобразованного уравнения, т.
е. если выполнено при г- О. Этим соотношениям соответствуют в исходном уравнении соотно- шения р(х) =-2х-'+0(х-'), при х - оо. (7.1.5) е)(х) =0(х 4). Для того чтобы бесконечно удаленная точка была регулярной особой точкой (7.1.2), начала координат должно быть регулярной особой точкой преобразованного уравнения; т. е. при г — О. Этим уравнениям соответствуют соотношения: р(х) =0(х-') при х- оо. д(х)=0(х-г). (7.1.6) Точка х„называется обыкновенной точкой, если а) О и )) „» О, в противном случае она называется особой точкой.
Особая точка называется регулярной особой точкой, если гг) — 1 и ()> — 2; в противном случае она называется иррегулярной особой точкой. Приведенные выше определения таковы, что природа конечной тачки х, определяется почти с одного взгляда. Природа бесконечно удаленной точки может быть определена преобразованием ее в начало координат. Итак, положив в (7.1.2) х =г ', получим — + (à — — ~ — + — у=о.
агу Г 2 р(г г)1 Фу у(г-е) игг г г ~ иг ге (7.1.4) ззз Гя. 7. Аеимнтотиоеские решения яинейнои уравнений Таким образом, если р(х) и д(х) разлагаются в ряд по убывающим степеням х вида Р (х) = Рох" + . Ч (х) = Чоха + ° ° Ро. Чо Ф ()* то бесконечно удаленная точка будет обыкновенной точкой при () < — 4 и при и= — 1, до=2 либо при а( — 2. В этом случае уравнение (7.1.2) имеет два решения в виде сходящихся рядов по степеням х '.
Если указанные условия не выполнены н а( — 1, () ( — 2, то бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой. В этом случае уравнение имеет два решения, представимых сходящимся рядом по степеням х ' вида (Фробениус 118751): у=х" (1+а,х '+а,х *+...), (7.1.7) где о удовлетворяет так называемому показательному уравнению о'+(р,— 1)и+до=0, если ее= — 1, ))= — 2.
Исключение составляют частные случаи„когда корни этого уравнения совпадают либо отличаются на целое число; в этих случаях решения могут содержать 1оях. Если из неравенств а> — 1, ()> — 2 выполнено одно или оба, то бесконечно удаленная точка является иррегулярной особой точкой. Это и есть случай, интересующий нас в данном параграфе. В этом случае уравнению (7.1.2) удовлетворяют решения вида у (х) ел ичхва (х) (7.1.8а) Здесь а(х) 0(1) при х — со, причем а(х) не обязательно сходится; Л(х) — полипом относительно х т. Обозначив через )хо старший член в Л (х), подставив вышеприведенное решение в (7.1.2) и выделив в каждом члене главную часть, получим ).отохо -' + р,),тх +и- ' +е)оха = О. (7.
1.86) Тогда т определяется одним из равенств ч =а+1, 2т=1)+2, (7.1,8в) а именно тем, которое доставляет большее значение т. Если о— натуральное число, то приведенное выше решение называется иорлеальним решением [Томе (18831) и имеет вид у=ехр(Лохе+Хо,х" '+... +Л,х)х (1+а,х-о+...), (7.1.8г) 7.1.
Диффгрвнциагвнмв уравнении второго нарядна 333 Если же т не является натуральным числом, то зто решение называется субнормальным решением; в этом случае Л представляет собой полинам относительно х'/в, а и является рядом по возрастающим степеням х-ыв. До сих пор мы предполагали, что р и д представляются в виде степенных рядов по х с натуральными а и р. Если а и р не являются натуральными числами, то т — рациональное число, которое может быть представлено в виде несократимой дроби т=-и/й. Тогда субнормальные решения имеют следующий общий вид: у =ехр(Х„х"'+...
+).,хвв+ йхл)хо(!+ах-'+ах-во+...), т=й '. (7 18д) Для нахождения нормального или субнормального решения следует подставить в (7.!.2) решение соответствующего вида, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х и получить уравнения, которые в свою очередь могут быть последовательно решены относительно г.„, о и а„.
Рассмотрим в качестве примера частный случай Ф Ф р(х)= ~ рох ", д(х)=,Я~ длх " при х- со, (7.1.9) л=о л О где рл и д„не зависят от х. Из равенств (7.1.8в) имеем для рассматриваемого случая: о =1. В соответствии с (7.1.8г) уравнение (7.1.2) при условии (7.1.9) имеет формальное асимптотическое решение вида у евхо~с„х ", (7.1.10а) где ), согласно (7.1.86), является корнем уравнения Л +р,) +д,=о. (7.1.10б) Подставив (7.1.10а) в (7.1.2) с учетом (7.1.9), приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем, что лРг+ Ог (7.1.10в) и получим рекуррентные соотношения относительно сл.
Якоби (1849] получил разложения в виде нормальных решений для функций Бесселя первого порядка при больших значениях аргумента. Аналогичные результаты для уравнения Эйри получил Стокс 11857]. Хорн [19031 дал обоснование асимптотическим решениям в виде произведения экспонент и рядов по убывающим степеням х. 334 Гт 7. Асимлтолиемские решсних хинейиих уравнений 7.1.2. Раалшяенне фуннцнн Бесселя нулевого порвана хля вольтах значений аргумента Функция Бесселя нулевого порядка задается с помощью уравнения '+ Ж+(/ йеу 1 йу (7.1.1 1) Здесь р, =1, р =О для /пФ1, /)е = 1.
!)м = () для Следовательно, из (7.1.10) получаем у=с/."х-г/е ~ч,", с„х " при х сю, (7.1.12) т=о Подставив это разложение в (7.1.11] и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим следующее рекуррентное соотношение: (т+ — ) ш+1 2 (/и+ !) м (7.1.13) Поэтому, взяв с, = 1, будем иметь 1 — Е~хл- г/е ] 1 1 зе 1 3'5е . 1.Зе.5е 7е 4.2х 4х,2е.21хе+4е,2е.з! хе + 4ч 2е.4)х'+ ' " при х оо.
(7.1.14) Поскольку отношение двух последовательных членов 1 (2т+ 1)е оо При т — оо, 8(т+!) х -/ — /е /1 1 1'зе 1'Зе 5' 1'Зе'5е'7е +42х 4е.2е.2(хе 4е.х-.з)хе +4'2е.41хч+ ' ' ) (7.1.15) то правая часть в (7.1.14) расходится при всех значениях х. Однако для больших значений х имеем асимптотическое разложение, так как с возрастанием т последующие члены убывают очень быстро. Заменив в (7.1.14)г' на — г, можно получить другое линейно независимое разложение )/ вида 7.1.
Лоффгренцигяаныг уравнения второго нарядна 335 Действительные решения могут быть получены с помощью линейных комбинаций рядов (7.1.!4) и (7.1.16): у, — =х-ы'(исовх+ояпх), У+У 2 у — . =Х-'гк(и яПХ вЂ” ОСОВХ). р — к 21 (7.1.16) Здесь 1 З 1.В'В'7 4к.2к.21хк 4г,2г. 41 ха + (7. 1. 17б) Поэтому функция Бесселя 1, задается асимптотическим соотно- шением (7.1.23) к) См. также, например, И. С. Градогтейи н И. И.
Рыжик, „Таблицы интегралов сумм, радов и произведений", М., кНаукак, 1971.— Прим. ргд. Ун Аут+Вин при х — оо, (7.1.18) где А и  †постоянн. Из (7.1.16) †(7.1.18) следует, что 1!шхикг,(х) =Асовх+Вяпх, (7.1.19) 1пп хкМ;(х) = — А в!п х+ В сов х. (7.1.20) Имеем, следовательно, А =!пп хит !г', (х) сов х — 7; (х) япх), (7.1.21) В =:=1пп хкгк 1l, (х) в!их+ У;(х) сов х1. (7.1.22) к Однако 1г имеет интегральное представление вида (см., например, Айне !19261, раздел 8.22) ') н Уа= — ~ сов(хсовО)г(О.
1Г о Подставив это выражение в (7.!.21), получим к7к А =- Бпт — ') !сов х сов(х сов О)+ в!п х сов О в!п (х совО)1 гЮ= к к о = Бп1 — "~ сов ~2хяп' — ) сов' — гЮ+ к-кн 'т ~ ~ 27' 2 о х'~а г в . е + !цп — сов~2хсов )в)пк,(О к н н 2 2 Заб Гл. Г. Аеиилеииничиииее ранение линейны» уравнений Положив )'2хз)п872=ер в первом интеграле и ) 2хсозб/2=а во втором, получим А = — ') соз ~ребр+ ') соэсс'е(ее ре2 Аналогично находим, что Н =11 и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
