1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 48
Текст из файла (страница 48)
6.4.1 и 6.4.2 следует, что для ограниченности отношения уз/уо при всех Ч следует положить 7=1. Имеем поэтому у'(з) Ь"'(з) = — 3 [я)Рм. (6.4.78) Прн этом знак минус в (6.4.77) выбран для того, чтобы выполнялось й(х) > 0 Помножив обе части уравнения (6.4.78) на (1 — 5)Чо, получим уззза = — [(1 ц) ~(р)чо Функции независимой переменной х, встречающиеся в (6.4.67)„ отнесены к переменной $. Исключение составляет выражение 1 — х, которое обусловливает неравномерность; оно заменено на Ч). зРЬ(х).
С учетом сказанного уравнения (6.4.67) примет внд )озз ззд о 1 друз ~ д у 1 )з~зйз~Уа 1 да 1 доезИ) 0 (6 1 73) б.4. Обтбщемный матюд Поскольку 8(1) =О, имеем дттт = — ) 1(1 — 1) 1 (()Р" т(т. 1 (6.4.79) При известном (т, и у= 1 уравнение (6.4.75) принимает вид = — — [(2д'А'+ ~"А) т1тЮцв (т1ттт)+ (2д'В'+8"В) т1тМ,м(т1ттт)). (6.4.80) Следовательно, а А = —. т а' (6.4.82) где а, Ь вЂ постоянн интегрирования.
Таким образом, в первом приближении имеем где а, и Ь, †постоянн. При х-+ 1 имеем ~4 7 и, следовательно, у (1 — ~Р" (~.~ч, ~ —, Ьт(П(~ — ~)'~'~+ +Ь.У *,, ~ — ).)'7(1) (1 — х)'т'~ ~+..., (6.4.836) Здесь а, и Ь,— постоянные. Поскольку при 1 — т-0 имеем .(,(1) =-1.+О((т), то решение (6.4.836) будет ограниченным прн х-т 1.
Чтобы отношение ттт/Ут было огРаниченным длЯ тсех т1, пРаваЯ часть уравнения (6.4.80) должна обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено 2д'А'+д"А =О, 2л'В'+ и"В =- О. (6.4.81) Гл. б. Метод многих маеиинибое а.фб. Уравнение дщффнига е медленно меиимщимиеи коэффициентами Ниже рассмотрим уравнение деи — „,.+а(ил+~ а) и*=о, (6.4.84) где принято $ = е(, е е~ 1. Здесь т — модуль, К(т) — полный эллиптический инт*грал. Приведенные функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям — =(1 — зп ) (1 — и зп ), ~длн1е дт1 Г'"1' — 1 (1 — сп') (1 — те+ тесн*), Ит 1 [ — "„'~1'=(1 — бп ) (т — 1+бп ), г Дт 1 (6.4.
86а) (6.4.866) (6,4.86в) где т = — КФ. дифференцируя обе части в (6.4.86), получим — „, +(1+и")зп — 2иезп'=О, д и + (1 — 2т') си+ 2ъ е сп' = О, (6А 87б) (6.4.87а) —,,"+ (ъ е — 2) бп+ 2 бп" = О. (6.4.87в) Поскольку рассматриваемые эллиптические функции затабулиронаны для значений О< и < 1, выразим решение через одну из этих табулированиых функций.
Если ге и () — не постоянные, а медленно меняющиеся функции, то будем предполагать, что решение зависит как от медленного масштаба времени с=- ет', так и от быстрого масштаба времени 1. Кроме того, в первом приближении решение может быть выражено в виде(6.4.85), где А =А(я), К=К(ч) и т=т(в). Таким образом, в случае медленно меняющихся коэффициентов будем полагать и = — и, (з, г)) + еи, ($, г)) -1-..., (6.4.88) Кузмак [19591 изучал асимптотические решения этого уравнения с помощью метода многих масштабов.
Если ег и р — постоянные, то решение уравнения (6.4.84) выражается в эллиптических функциях Якоби, т. е. представляется в одном из видов: и=Азп(К(, т), А си(Кг, т), Або(К(, т). (6.4.85) блл Обабиинимэ мета/ где 0 = ~ (~) +... или — и = д' (з) +... и/ Решение этого вида отличается от решения, построенного Кузмаком, в котором предполагалось т) =-л'(э)/. Подставив (Б.4.88) в (6.4.84) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях а, получим й" —,,"+а(х) и„+(1(ца,"= О, (6.4.89) д и д ~~+я($) и +3()($) и)и = — 2д —,о — д — „~. (БА.90) В качестве решении уравнения (6.4.89) возьмем одну из эллиптических функций (6.4.85), скажем, ьп. Таким образом, и,= А (з) ап (т(, ч(э)]. (6.4.91) Следовательно, отношение и,/А должно удовлетворить уравнению (6.4.87а) при 11=т, т. е.
(6.4. 92) Для того чтобы уравнения (6.4.89) и (6.4.92) совпадали, должно быть выполнено (1+ '(эНа" ($)= (э), (6.4.93) 2 '(Б)а" 6)= — Р(ЫА'(В). (6.4.94) Эти равенства представляют собой два соотношения между величинами А($), т(э) и д-($). Третье соотношение определяется из условия ограниченности отношения и,/и, при всех и, которое необходимо для того, чтобы (6.4.88) было равномерно пригодным асимптотическим разложением. Дифференцируя (6.4.89) по ть получим однородную часть уравнения (Б.4.90). Следовательно, ди„/дп является решением однородной части уравнения (6.4.90).
Чтобы отношение и,/и, было ограниченным при всех т), неоднородная часть в (6.4.90) должна быть ортогональной решению однородной части, т. е. должно быть выполнено м+г ~'2 ~ д'и~+ дии~ диод О (6 4 95) ч~ причем зп(т(о и);=О, а Т вЂ” период функции зп(т1, ч) по переменной гь Это условие является обобщением условия исключения слагаемых, порождающих вековые члены. Уравнение (6.4.95) зш Гт 6. Метод многих иаототаоо можно переписать. в виде о+г оо(е а ( ф)'е+о.
Ч1 откуда имеем д (З) ~ ( ~ ) е(7) = соп51. (6.4.96) Поскольку и, = А зп (тй о), то т(, можно положить равным нулю, а Т=4К, где К вЂ” следующий полный эллиптический интеграл второго рода ~Ь ио) (( — теА )РЛ а (6А.97) Е =- ~ 'р (1 — (,о) (1 — то(,о) й~„ о нли ((+ ъ'1 Е (о) — (1 — оо) К (о) 3 (6.4.100) Здесь Е(о) — следуюший полный эллиптический интеграл первого рода ! Е (о) = ) ~/ ( о " о(л (6.4.101) о Условия (6.4.93), (6.4.94) и (6,4.98) дают три соотношения для определения А($), о($) н й'(5). Разрешая (6.4.93) относительно й', получим 8 (о) ~г (+ой(о)' / а$) Подставляя в (6.4.96) выражение для и, из (6.4.91), получим и'(5) А'($) Е (то Я1 =о, (6.4.98) где с †постоянн, а ~~а~) „р (6.4.99) о о причем Ь =зп (о), о). Используя (6.4.86а), можно выразить Ь в виде 3)2 Гх. б.
Ментд многих масштабов Исключая д' из (6.4.93) (6.4.94) и разрешая относительно А, получаем » ~ ~ (й) ~' (1) Р (В )! + »в(1)) ' (6.4.103) Возведя (6.4.98) в квадрат и подставив значения д' и А из (6.4.102) я (6.4.103), получим 4»в (Д) / в )» (5)) сЦЬ'Я )! ! в(х»))в =Р(ь)= эд~ (6.4.104) 4.4.6. Диииииии ихога Движение тела с переменным вращением вокруг собственной оси, подверженного при входе в атмосферу действию нелинейных аэродинамических сил, имеющего малое смещение центра тяжести и аэродинамическую асимметрию, описывается уравне- Используя последние три соотношения, можем вычислить сначала»($) из (6.4.104) и затем и' и А из соотношений (6.4.102) и (6.4.103).
График решения уравнения (6.4.104) был построен Кузмаком и приведен на рнс. 6.2. В зависимости от знаков а($) и р(5) имеют место три различных случая: (1) а(ь) > О, ()(ь) < О. В этомслучае имеем р > О, а из уравнения (6.4.94) видно, что у=»в($) > О. Следовательно, кривая, соответствующая у, лежит в первом квадранте. Решение для у существует при условии 0 <р < 2/9. В точке $„удовлетворяющей условию р(з,)= 2/9, асимптотическое решение теряет свой колебательный характер. При условии р>2/9 или а($) <О и () (й) < 0 уравнение (6.4.89) периодических решений не имеет. (2) а ($) > О, () ($) > О.
В этом случае имеем р > О, а из (6А,94) следует, что у < О. Следовательно, кривая, соответствующая у, лежит в четвертом квадранте. Решение для у существует при 0<р<-. (3) а (5) < О, р © > О. В этом случае имеем р < О, а из (6.4.94) следует, что у<0. Следовательно, кривая соответствующая у, лежит в третьем крадранте. Решение для у существует при — оо < р < — 4/9.
Поскольку эллиптические функции н интегралы обычно затабулированы для действительных значений» на интервале 0 <» <1, то в случаях (2) и (3) предпочтительнее выразить колебательные решения через функции сп(т), ») и г)п(»), »). б.4. Особ<ченн<<а м««ад з<з пнями (Найфэ и Сарик 11972а)) $ — < —" рВ+ о4В = еКе'<ч+'ь>+у ~ Ц~' $+е'рД+р., ) й !'$+(е*~Д-( + 11<,, ! $ !' В, (6.4. 105) (6.4. 106) (6.4. 107) <Р = Р Р = е,'т, + еъ;а+ е'т,р, с< == 1ш (зе-'ч1 Здесь с = р+ <а, ( 5 ) — синус полного угла атаки, р — угловая скорость вращения, еК вЂ” амплитуда возбуждения с помощью аэродинамической асимметрии, е — малая, но конечная неличина, имеющая порядок синуса начального полного угла атаки.
Величины ы„К, у, р<, у, и т< являются медленно меняющимися функциями времени, ! и /„ †постоянн. При отсутствии затухания и нелинейных членов (т. е. при у=- р< — у, =О) решение уравнения (6.4.105) для постоянных р, К и <э, имеет вид ~ =- А,е'"ю' 1 А,е ю -(- е'<ч+ч < (6 4.108) (м — И( — д где А, и А,— комплексные постоянные и (6.4. 109) Частоты <э< и <э, назынаются частотами нутации и прецессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
