1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Соотношение (6.4.32) запишется в виде у = — — -1-(а — 3()) е ох*+к!'в!— 31! 1+2х — а ~ — + !!е- пв*+хов!" +О (а'). (6.4.33) 2Р б!! !б З(1+2х! (1+2х! З Разложив е-!хчв! при малом х'/е, заметим, что разложение (6.4.33) согласуется с разложением (4.2.50), полученным с помощью метода составных разложений. Таким образом, в отличие от метода 30! бнк Обобщенный метод сращивания асимптотических разложений, в котором строятся два разложения, подлежащих сращиванию, метод многих масштабов задает единственное равномерно пригодное разложение.
6.4.2. Общее «равнение второго порвана с переменными коэффициентами В качестие второго примера рассмотрим задачу (Кокран [1962), Найфэ [!9641, [1965Ь1) ау" + а (х) у' + Ь (х) у =- с (х), у(0) =-се, у(1) =р, где на интервале [О, Ц выполнено а(х) > О. Случай, когда а(х) обращается в нуль внутри интервала [О, 1], называется задачей с точкой ветвления.
Задачи с точкой ветвления кратко рассмотрены в п. 6.4.4 и подробно — в п. 7.3.1 — 7.3.9. При с =0 данный пример переходит в пример, рассмотренный в п. 4.1.3 с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Поскольку имеем а(х) > О, то неравномерность имеет место в окрестности точки х=О. В п.
4.1.3 мы ввели в рассмотрение внутреннюю переменную х!е и определили разложение, пригодное в области х=О(е), которое затем было сращено с внешним разложением. Чтобы найти равномерно пригодное первое приближение с помощью метода многих масштабов, предположим, что у допускает асимптотическое разложение вида у=у,($, г))+еу,(в, т1)+..., где 5 =х т) = — , а (х)- х при х О. (6.4.37) «(х) Подставив (6.4.36) н (6.4.37) в уравнение (6.4.34) и приравняв нулю коэффициенты при и' и е', получим ~а' —,'+ а(Ц «' ~ д' =О, (6.4.38) у' —,",,' +а(Ц вЂ” "„' ~ у'+2у' — "' +д" — "' + а Щф+Ь ($) у,=с ($).
(6.4.39) Функции и(х), Ь(х), с(х) и у(х) выражены здесь через переменную в. Поскольку дчегО, то общее решение уравнения (6.4.38) имеет вид у, = А ($) + В (в) е 'г йв и, (6.4.40) Га. о. <<<етод многик мааатабов где у= а а<Э) (6.4.41) к с = ) а (1) <(1. о (6.4.42) Подстановка р, в (6.4.39) приводит к уравнению ( —,+ ~"„' ) к'*= — (аА'+ЬА — с)+(д'В'+(йк — Ь) В) е-'!. (6.4.43) Чтобы отношение у,/<го было ограниченным при всех Ч, потребуем выполнения условий оА'+ЬА =с, (6.4А4) ~ В +(дк — Ь) В=О'. (6.4.45) Решениями этих уравнений являются функции к -) (ь«иа«и<« А=с ' к ( (ь <Ша«им ! (6.4.46) )г (ь << на «Н г« В = — 'ео а (х) (6.4.47) где а„Ьь — постоянные интегрирования.
В первом приближении у задается равенством )'(ь«)га«!) а! д- е ~а,+ ) (ь«на«>)т — е' о (т) <(т ~ а(<) ! ) <ь«ма«на -о -к) а<о ат +О(е) (6.4.48) Пределы интегрирования в (6.4.46) и (6.4.47) выбраны так, чтобы постоянныеаь и Ь, просто выражались через параметры граничных Из рассмотрений предыдущего пункта следует, что у должна быть постоянной; в противном случае производные по $ порождают в (6.4.39) члены, пропорциональные у'!), и как следствие, отношение р</уь становится неограниченным при т) — оо.
Для равномерно пригодного разложения без потери общности можно положить у= — 1. Тогда, учитывая, что при х- 0 выполнено п(х) — х, получим бла Обобщенный метод условий (6.4.35). Так, а, =6, а о -.Г ихван Г Ь,= — а(0) а — е ' ( !опилина (6.4.49) рассмотренного в предыдущем пункте, получим у = ~ +(а — Зр) е-Им+яке! 1 О(е). (6.4.51) ! !-1-хх Здесь учтены равенство по=() и соотношение (6.4.49). Получен- ное разлохгение вполне согласуется с первым членом разложе- ния, выведенного в предыдущем пункте.
ЕА.З. Линейный осциллятор с медленно меняющейся восстанавливающей силой Оба рассмотренных выше примера могли быть исследованы как с помощью метода многих масштабов, так и с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Ниже рассмотрим пример, который не поддается исследованию с помощью последнего из указанных методов; именно, рассмотрим уравнение у" +Ь(ех)у=О, (6.4.52) в котором Ь(ех)~0 и е — малый параметр. Чтобы получить разложение, равномерно пригодное для больших х, предположим, что у допускает асимптотическое разложение вида У =У (В Ч) + еУт (ь* Ч) + ° - ' (6.4.53) где Ч==+ ° ° ° й (В) е (6.4.54) Такой выбор масштаба Ч обусловлен тем, по частота колебаний будет удовлетворять условию: ю =(с(Ч/с(х) =у'(Ч) =0(1).
Подставив (6.4.53) и (6.4.54) в уравнение (6.4.52) и приравняв нулю Разложение (6.4.46) представляет собой составное разложение, которое согласуется с внутренним и внешним разложениями, полученньпзи в п. 4.!.3 для внутренней и внешней областей соответственно. Записав формулу (6.4.48) для частного случая а(х)=1+2х, Ь(х)=2, с(х)=О, (6.4.50) ь'и. 6. Минеи многих маоиииибьье козффипиеиты при е' и а, получим л" ф+Ь(Ц«,=-О, Общее решение уравнения (6.4.55) имеет вид уе =*А Щ ево+ В($) е-ьтч, (6.4.55) (6.4.561 (6.4.57) где (6.4.63) ек ь=, — (н ( ')иьМьь)-ьь,е ( 'ьиььььи))ьоиь, о о (6.4.64) где аь и ܄— постоянные.
При Ь(ех) < 0 имеем ех ~н-ьЬ - (Ь" — ьЬь)ьььь- о -ьь, ьь — -')ь — ьщььь)ьоиь ьььььь о у'=-~г —. о(ц а' 61 (6.4.58) В предыдущих двух пунктах было показано, что для получения разложения с ограниченным при всех и отношением уь/уе следует положить у 1. Таким образом, $ и = ) $'хЬ (1) ь(1.
(6.4.5ь9) о Подставив р, в (6.4.56) и помня, что у=1, получим ( «,' +у,) а" =- — ь (аА+ 2дА') еио + Е (еВ+ 2л В') е-гьь. (6.4.60) ДлЯ огРаниченности «,1«е пРи всех ь) потРебУем обРащениЯ в нуль коэффипиентов при ехр(~ ьь)) в правой части (6.4.60): й А+2«'А'=О, (6.4.61) й"В+ 2а'В' =О. (6.4.62) Решения этих уравнений имеют вид ио Ьь А==, В= —, у"е' ' Ф' а" где а, и Ь,— постоянные интегрирования. Прн Ь(ех) ) 0 имеем для у бнь Обобекенннб метод зоз разложения (6.4.64) и (6.4.65) называются ВКБ-приближениями к решению уравнения (6.4.52) (см.
п. 7.1.3). Очевидно, что эти разложения непригодны в окрестности точки, в которой функция Ь(ех) обращается в нуль. В самом деле, при стремлении х к нулю функции Ь(ех) полученные разложения стремятся к бесконечности. Нули функции Ь(ах) называются точками возврата и подробно рассмотрены в п. 7.3.1 — 7.3.9. Один пример с точкой возврата исследован в следующем пункте с помощью метода многих масштабов. Замена переменной х на переменную $ в уравнении (6.4.52) дает Я+),ЬД)у —.О, ),= ' (6.4.66) Полученная задача содержит большой параметр Х.
Таким обра- зом, приближение, построенное выше, применимо также и к этой задаче. 6.4.4. Промер о точкой возврата рассмотрим задачу у" + ) е (1 — х) ( (х) у = О, (6.4.67) При Х- оо получим следующие предельные уравнения в зави- симости от значения вч дне О прн о~ з 2 2 у.= — О при т ч,—, деу 2 — + ((1) ~у =О прн м = —. атче 3' (6.4.69) Подходящим является последнее уравнение, поскольку его решение имеет экспоненциальный характер при 1, (О (т. е. при х > 1) и колебательный характер при ~) О (т.
е. при х < 1). где Х вЂ больш положительное число, )(х) †регулярн положительная функция. Положив в (6.4.64) и (6.4.65) Ь (е()=(1 — х)7(х) и а =е.-', можно увидеть, что при х- 1 ВКБ-приблнженне стремится к бесконечности. Чтобы построить всюду пригодное разложение с помощью метода многих масштабов, определим сначала степень неравномерности.
Перейдя с этой целью в уравнении (6.4.67) к переменной ~=(1 — х) Х», т > О, получим Я+ ). — 1(1 — ~).-т) ~у =О. (6.4.68) Га. б. Метод маамзх маеттабоо Таким образом, оно может быть использовано для соединения решений (6.4.64) и (6.4.65) при прохождении через точку возврата.
Итак, предположим, что решение уравнения (6.4.67) допускает асимптотическое представление вида (Кокран [19621; Найфэ [1964), [1965Ь); Фаукес [1968, часть 1]) у=у.й, ч)+д "'у.(В,ч)+", (6.4.70) где $ х Ч вЂ” Хозей(х)+ д(х) =(1 — х)й(х), й(х) >О. (6.4.71) (6.4.72) Подставив (6.4.70) в (6.4.73) и приравняв нулю коэффициенты при ).о~з и РР, получим — + — чу 0 зз д'Уо 7 Ю д з а(оо) о О)шее решение уравнения (6.4.74) имеет вид уо = А (оо) Чьн 7мз [у(оо) Ч зз) + В Й) Чзго 7-зто [у(оь) Чозо)з (6.4.76) (6.4.75) где /„„з — функции Бесселя порядка ~1/3, а l (В ) зж ~ 3 [а|)а" (1)Л (6.4.77) Из рассмотрений и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
