1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(6 2 90) 16(в +1) 16(во — Ц Поскольку значение в, далеко от 1 и от 2, то вековые члены будут исключены при условии 0 А= —, А. 16во (во — 1) Положив А =(172)аехрсср и отдетив действительную и мнимую части, получим — =О, (6.2.92) ат, ' ет', ! („; Отсюда имеем 1 а=сопз1. се= — — —,— Т +сро (6.2.93) !г .( 1 — !) Гм 6. »Ивтод многих моиоошаоо аа ао = оаа —, + 0 (е'). ! оа»»» (а»а — ! ) (6.2.96) Вновь подчеркнем, что полученное разложение справедливо только при условии, что ао, далеко от 1 и от 2.
При аида 1 или 2 имеем и — оо. Разложение, справедливое в окрестности ао,— -1, будет построено ниже. Решение для значений ао„близкик к 1. В этом случае полагаем 6=1+еб, +е'б,+..., (6.2. 97) причем 6, и 6, =О(1). Равенство (6.2.97) преобразует уравнения (6.2.84) — (6.2.86) к виду Вайа + иа = О» (6.2.98) Ваи, + и, = — 2В,В,и,— б,и,— и, соз 2Т„(6.2.99) В',и, +и, = — 2ВаВ»и, — (В;+ 20„В,) и,— б,и,— б,и,— и, соз 2Т,. (6.2.100) Решением уравнения (6.2.98) является функция иа — — А (Т,» Т,) е'та+ А (Т„Т,) е-'га.
Подстановка и, в (6.2.99) дает В;и, +и, =( — 2(В,А — 6,А — А1 е"га — Аеаага+СС. (6.2.102) Вековые члены относительно масштаба времени Т, будут исключены при условии В,А = —,1 ~6»А+ —. А). (6.2. 103) где ара — постоянная. С учетом условия (6.2.91) решение уравнения (6.2.90) имеет вид ! Ае» оаа.»а» г» А Ае» а»а,— а! г» и, = + Ае + Аг +СС. (6.2.94) Суммируя, получим решение для и с точностью до членов порядка 0(е'): и =-исоа(~(+»р,)+ + — [ + сов[(аз+2)а+ар,] — —,сов[(ао — 2)а+~р,]~+ аа! ! ! +-Ша ~( + !)( 1 2) сов[(со+4) (+аРа]+ +, >сов[(ао — 4)Е+ара])+0(еа), (6.2.96) где принято обозначение Гх. б.
Мггнод многих масштабов Чтобы не было вековых членов, нужно, чтобы выполнялось условие 21)0тА + 17(А + ( бе + Е) А = О. (6.2. 113) Вспоминая, что А =А,+(Аг, и отделяя в уравнении (6.2.1!3) де! гвительную и мнимую части, получим следующие уравнения для А,иА;: 2 — "+аА; =О, айг дт, дл; — 2 — '+аА =О, дтт (6.2. 114) (6.2. 115) где (6.2.1!6) Заменим А, и А; на выражения (6.2.108) и (6.2.109) и приравняем нулю коэффициенты при ехр(+-7,7',», поскольку они являются функциями Т,. Получим уравнения 2 —,' + ' аа, =О, — у' — '+аа, =О, (6.2.117) — — б ! — — й 1 — — б — — 6, х Из этих уравнений следует — = — =0 или а, =сонэ(, а,=сонэ(, доз 1 а=О или 6 = — у",— —. зх (6.2.119) (6.2.!20) Таким образом, решение во втором приближении задается соотношениями (3.1.57) †(3.1.62), которые были получены методом Уиттекера.
(6.2. 122) 6.2.5. Осииллитор Ваи-дер-Поли с запаздмиающей амплитудой В качестве следующего примера в отличие от предыдущих примеров второго порядка рассмотрим задачу третьего порядка. В безразмерном виде она задается уравнениями — з+гозо=2рдгЦ! — 2)о)+2д, (6.2.121) 6.л. Приливная мннада разложения лранаваднаа причем То=!, Т,=ц(. (6.2.125) Подставив (6.2.123) — (6.2.125) в уравнения (6.2. !21) и (6.2.122) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получим Ц',иа + ь,'оа = О, (6.2. 126) 7),г, +г,=;, (6.2. 127) 7)ооа + ааоою = 27)а ((1 2а)оо 7)аоо) (6 2 128) т7)цЕл+Ла = — т)7аЕа+2ооо,. (6.2.129) Решение уравнения (6.2.126) имеет вид о,=А(Т,)е'" г +А(Т,)е ""г. (6.2.
130) Подстановка оо в (6.2.127) дает тглЯ,+У„=АА+А'е"" г +СС. (6.2.!31) Решением этого уравнения является функция ало' Поскольку о, и Яа найдены, уравнение (6.2.128) можно записать в виде Оао +оооо = 2!аед (Т,)е'"' — 2АВ (!ааа — — ) е!нм """г'— ! а Ааеааааа" — 6!ааа ' . -1-СС, (6.2.133) где принято обозначение Я = А — 2А'А — —; — — 0,А. ! +21~„~ (6.2.!34) Здесь о — напряжение, ! — время, е — возбуждение, сю,— собственная частота, т — время запаздывания, 2 — выход низкочастотного фильтра, р — характеристика усиления во вспомогательном контуре.
Впервые этот осциллятор был изучен Гоулеем [1964) и затем Скоттом !1966) н Найфэ (!967Ь), 11968). Здесь мы рассмотрим свободные колебания (т. е. примем е=О), отослав читателя, интересующегося случаем вынужденных колебаний, -к Найфэ 11968). Для нахождения первых приближений к решениям приведенных выше уравнений предположим, что о=во(Та.
Т~)+ро~(Та. Т1)+ " (62.!23) 2=2„(Т„, Т,)+ рг, (Т„, Т,)+..., (6.2 Г24) Тк. б. Метод многих масштабов Вековые члены будут исключены при условии Я =О. Тогда решение для о, имеет вид 1 103ат 3г Лагг!мата о, =2АВт:.е!' -1!~'1!г -1- — -1-СС. (6.2 135) 21!сот 4о1а ! + 21соот Чтобы решить уравнение Я=О, положим в нем А=(1/2)аема, где а н ао — действительные величины, н отделим действительную и мнимую части в (6.2.134). Получим уравнения дг ~ 4 ' )' — = — — а па дао 1 ИТг 4 (6.2. 137) где 3+Ягоака 2саат (б.2. 138) Решения уравнений (6.2.136) и (6.2.137) имеют вид 4 во= / 4 ег+ — а сс«е оа тгоа Г 4 ао ',, 1п 11 —, +а,(его' — 1)~+!от 3+ ааааа оа (6.2.139) (6.2.!402 где а, †начальн амплитуда, ао, †постоянн. Для нахождения В подставим выражения для оа, Х, и о, в (6.2.129). Придем к уравнению тРа2, +Е„= [ — тР В+8т , "ААВ~ е-гГа+ЬГЯТ.
(6 2,141) 1+4гоака Для того чтобы отношение Я,ГЕ„было ограниченным для всех Т„коэффициент при ехр( — Т,Гт) должен обратиться в нуль С учетом равенства А = (1/2) а ех р щ получим (6.2.142) 1+4шап' В =Ь ~ — +а (еоиг 1)~ Г4 11 1 аао (6.2.143)! где 4 (1+2сооока) 3+аггее' Подставив выражение для оа из (6.2.139) в (6.2.142) и разрешив полученное уравнение, найдем 6.л. Приложения ноиоди разложения нроимодной Следовательно, имеем в первом приближении о = а соз (гое( + гр) + О (1т). (6.2.144) и В -ггт+ и соз(2ез,(+2гР— агс1к2озет)+ 2 а'+0(1л). 2 $1+ 4езете (6.2. 145) Здесь а, ~р и В задаются соответственно равенствами (6.2.139), (6.2.140) и (6.2.143).
6.2.6. Устойчииость треугольных точек и эллиптической ограниченной аакаче трех тел причем Те=), Т, =е). (6.2. 149) Имеем, следовательно, й д Ф=П.+еП,+.... Ин=,—,. (6.2. 150) Подставим (6.2.146) — (6.2.150) в уравнения (3.1.63) — (3.1.65) и приравняем нулю коэффициенты при е' и е. Получим, прирав- нивая члены: порядка е' В;,— Ю,у,— бр,=о, 1легуе + 20е хе — аеуе = 0; (6.2.151) (6.2.152) В качестве двух следующих примеров рассмотрим задачи четвертого порядка, причем первая из них †линейн, вторая— нелинейная. Рассмотрим сначала устойчивость треугольных точек в ограниченной задаче трех тел, исследованной в п.3.1.4 и 3.1.5 с помощью методов Линдштедта — Пуанкаре и Унттекера.
С помощью метода многих масштабов эта задача впервые была рассмотрена Олфрендом и Рэндом 11969]. Математически задача сводится к исследованию устойчивости решений уравнений (3.1.63)— (3.1.65). В этом пункте с помощью метода многих масштабов определим переходные кривые, пересекающие ось )г в точке 1ь,=-(1 — 2$'2/3)г2, и выявим поведение х н у в окрестности этих кривым, Положим созг=созТе и предположим, что х = х, (Т„Т,) + ех, (Т„Т,) + ., „, (6,2. 146) у = у,(Т„Т,)+еу, (Т„Т,)+..., (6.2.147) )г = )г, +ерч+... „(6.2.148) Гх, 6. Мети3 миогнх масштабов порядка е Пах,— 20,у, — Ь,х,= — 20,0,х,+ 20,у,+Ь,х,— Ь,х„созТ„(6.2.153) 0~ау~ 1 20ох~ оома = 20о0~уо 2Кх~ Ь~у~ — о„у„соз Тя.
(6.2.!54) Здесь а; и Ь! задаются соотношениями (3.1.71) и (3.1.72). Решение системы (6.2.!51) и (6.2.152) имеет вид х, = А (Т,) соз —, Т, +В(Т,) шп — Т„ фо — -- с!В (Т,) соз — ҄— ссА (Т,) з)п з Т„(6.2.156) ! ! где «=! оо+ 4) =-Ьо+ 4 4 (7 — )' 33). (6.2.157) Решение нулевого порядка определяет правые части уравнений (6.2.153) и (6.2.154). Таким образом, они запишутся в виде 0,'х,— 20рф,— Ьпх, = Р, соз ~ То+ Я, 3!и р Та+)уЯТ, (6.2.158) !, . ! 0у, +20х,— оу, =-Р,соз — Т,+ 9,з)п — Т,+ЛгВТ, (Ь2.!59) где приняты обозначения Для нахождения первого приближения не обязательно решать уравнения для х, и у„ достаточно только обеспечить ограниченность отношений х,/х, н у,/у, при всех Т,. Именно по этой причине мы выписываем слагаемые, которые порождают вековые члены.
Для того чтобы исключить вековые члены, можно найти сначала частное вековое решение и определить затем условие его обращения в нуль. Такое частное решение может быть записано в одном из видов х=О, у=)7, соз ~ Т,+В,з)п ~ Та, (6.2.164) ! . ! у=О, х=Я,соз ~ Т,+В,з)п — Тк. (6.2.166) Р, =(2а — 1) В'+ ~Ь,— — Ь,) А, Р, =(а — 2) А' — а(Ь,+ — а,) В, ! й к (), = — (2а — 1) А'+ (Ь, + — Ь,~ В, Я,=(а — 2) В'+а '(Ь,— ~ а,) А. (6.2.160) (6.2.161) (6.2.162) (6.2.163) б.2. Приложения неенодо ричложения нрвсэеодноа эв! Таким образом, задавшись частным решением вида (6.2.164) или (6.2.165), можем получить условия, прн которых вековые члены исключаются. Используя любой из видов решения, получим один и тот же результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
