1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому Старрок и Найфэ назвали этот метод методом разложения производной. Подставляя (6..1.16) и (6.1.!7) в (6.1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения, из которых определяются х„, х„ ..., хм. Решения этих уравнений будут содержать произвольные функции от масштабов времени Т„ Т„ ..., Тм. Для определения этих функций необходимо потребовать выполнения некоторых дополнительных условий. Поскольку равенство (6.1.!6) должно выполняться для времен порядка е- ', то величина а"х„должна быть малой поправкой к з'" 'х,.
Последняя в свою очередь должна быть малой поправкой к е 'х„,. Итак, мы требуем, чтобы — < со для всех Т„Т„..., Тм. тю-~ Это условие не означает, что каждое х„ограничено. На самом деле каждое х может быть неограниченным. Однако, как и в методике Лайтхилла (З 3.2), это условие требует, чтобы особенность высших приближений ие превосходила особенности первого члена. Это условие эквивалентно исключениювековых членов, Вторая разновидность метода многих масштабов была введена Коулом и Кеворкяиом [1963[ и применена Кеворкяном [1966а[ и Коулом [1968[ при решении некоторых примеров.
Моррисон [1966а[ показал, что эта процедура с точностью до второго порядка эквивалентна методу усреднения; Перко [1969[ установил их эквивалентность до и-го порядка. Кеворкян [1966Ь[ показал эквивалентность этой процедуры в первом порядке методу фон Цайпеля. Рассмотрев точное решение (6.1.10), мы заметим, что время ! фигурирует в нем в одной из двух комбинаций: е! или )~1 — е' й Следовательно, для получения разложения, справедливого для больших времен, необходимо ввести два масштаба времени в=а!. т[=1~Т вЂ” е'! (! — и е' — в е'+ ° ") !. (6.1.18) ! 1 Поэтому Коул и Кеворкян [!963[ предположили, что м-~ х(1; е) =х(й, пй е) = ~~~, 'е'"х,„($; Ч)+0(ем), (6.1.19) -о 6.6 Олисание маязда 949 где 9 = в[, и (1+в'в, + е'оз, + .
° ° + емвм) 1, (6.1.20) а в„— постоянные величины. В данном случае $ медленнее, чем т), а производная по времени преобразуется в соответствии с равенством — е — +~!+а'а +езм +... +емв —. (6.1.21) д з 1 д дб '! е з .. м)дЧ Обе этн разновидности можно значительно обобщить. Так, метод многих переменных можно обобщить (Найфэ [1967в[), применив вместо степеней в асимптотическую последовательность б„(в), т.
е., положив Т„= б„(е) 1, (6.1.22) д Уравнения (6.1.22) и (6.!.23) можно далее обобщить, положив Т„= б„(е) й„[р„(е) 1], (6.1.24) м б„(е) р„(е) й'„' (р„(е) г]— л=О (6.1.25) а=9(е)1. Ч- Хб. ( )а. Ь(е) 1], — =р (а) — +~,'Я~ б„(е) и (е)д„'(р (в) 1] —. (6.1.27) ~и=О В таком общем виде эта техника была развита несколькими исследователями, в том числе Кузмаком [1959[, Кокраном [1962[, Махони [1962) н Найфэ [1964[, [1966в[. Клима, Рамнат и Сандри [1970[ исследовали роль преобразований масштабов в получении равномерных асимптотических разложений. Метод многих масштабов столь популярен, что его заново открывают почти каждые полгода. Он применялся к широкому кругу задач физики, техники н прикладной математики.
Коул и Кеворкян[1963[, Найфэ[1965с[,[1967в[,[1968[, Кеворкян [1966а[, Дэвис и Олфренд [1967[, Швертассек [1969[, н где р„(е) — другая аснмптотическая последовательность. Таким образом, (6.1.24) позволяет рассмотреть линейные и нелинейные масштабы времени. Аналогичным образом может быть обобщена процедура разложения по двум переменным.
Так, обобщив (6.1.20) и (6.1.21), можно записать Гз. 6. Л!вяод многих .аии~табов Мьюза [1970[, Расмуссен [1970] и Рейсе [!97![ изучали слабо линейные и нелинейные колебания, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями второго илн третьего порядка. Кузмак [1959] изучал нелинейные колебания, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка со слабо меняющимися коэффициентами, Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965Ь] и Фаукес [1968] использовали обобщенную форму метода для изучения задач с точкой ветвления в линейных дифференциальных уравнениях второго порядка.
Кокран [1962], Найфэ 1!964[, [1965Ь] и Рамнат и Сандри [1969[ использовали обобщенный метод для научения линейных уравнений с переменными коэффициентами, в то время как Чен и Ву [1970] исследовали действенность масштабов в задаче о старении пружины. Ноердлингер й Петросян [1971] рассматривали линейное неоднородное уравнение со слабо меняющимися коэффициентами, которое описывает влияние космологического расширения на систему самогравитирующих частиц. Кеворкян [!971] исследовал задачу прохождения через резонанс для одномерного осцнллятора со слабо меняющейся частотой. Кокран [1962], О'Малли [1968а], [!968Ь] и Серл [1971] применили обобщенный метод к краевым задачам для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, в то время как Кокран ]1962[ и Акерберг и О'Малли [1970] применили этот метод к уравнениям второго порядка с точками ветвления илн пограничным слоем.
Там [1968] использовал обобщенную разновидность для решения уравнения Орра — Зоммерфельда. В механике космического полета Найфэ [1965а[ применил обобщенную разновидность метода при анализе задачи о полете аппарата Земля — Луна. Тнн и Брофман [1964] и Найфэ [1966] проанализировали задачу старта спутника с малой тягой с круговой орбиты, Ши и Экштейн [1966] исследовали старт с эллиптической орбиты а малой тягой, Кеворкян [1966а] и Брофман [1967] изучили движение спутника с малыми тягой или сопротивлением и Экштейн и Ши [1967] рассмотрели движение спутника а переменной массой и малой тягой.
Экштейн, Ши и Кеворкян [1966а] определили движение спутника вокруг основного тела в ограниченной задаче трех тел, в то время как Олфренд и Рэнд [1969] определили устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Экштейн, Ши и Кеворкян [1966с] оценили члены высших порядков в движении спутника, используя интеграл энергии, а также влияние эксцентриситета и наклонения [1966Ь].
Ши и Экштейи [1968] рассмотрели движение искусственного спутника, период обращения которого соизмерим с периодом вращения основного тела. В окрестности коллинеарных точек либрации Олфренд [1970[ и Найфэ [1971Ь] изучили резонансы при отношении частот два ь.1. Олисаюи малода к одному, а Найфэ и Кемел [1970Ь1 и Олфренд [1971Ь[ — при отношении частот три к одному. Для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Олфренд [1971а1 исследовал резонансы при отношении частот два к одному. Для задач механики полета Эшли [19671 обсуждал роль различных масштабов времени; Найфэ и Сарнк [1971Ь1 изучали нелинейные резонансы при движении снаряда со слабой асимметрией.
С помощью обобщенной разновидности метода Найфэ [1969а! изучал движение вращакхцегося снаряда с переменнымн скоростью вращения и динамическим давлением, но с линейными аэродинамическими характеристиками, в то время как Найфэ и Сарик [!972а[ изучали движение с нелинейными динамическими характеристиками и переменными скоростью вращения и динамическим давлением. Рамнат [1970Ь[ изучал динамику переходных процессов для летательного аппарата. В механике твердого тела Амазиго, Будянски и Кэрриер [19701 рассматривали нелинейное выпучивание неидеальной колонны; Рейсс и Матковский [197Ц исследовали нелинейное динамическое выпучиваиие сжатой упругой колонны.
Мортелл [19681 рассматривал задачу о бегущей волне в цилиндрической оболочке и распространение волн по сферической оболочке [19691. Келли [19661 н Морино [1969[ изучали нелинейный флаттер панели, Сприггс, Месситер и Андерсон [Г969[ рассматривали флаттер мембраны.
В теории дифференциальных уравнений в частных производных Кокран [19621, Найфэ [1966Ь[ и Камсток [197Ц изучали эллиптические уравнения. Фаукес [[19681, часть !!) получил равномерно пригодные разложения для задач о каустике. Нойберт [19701 получил решения уравнения Гельмгольца для турбулентной воды. Уингейт и Дэвис [19701 рассматривали распространение волн в неоднородном стержне. Келлер и Когельман [19701 для уравнения в частных производных исследовали задачу с нелинейными начальными условиями.
Люк [!9661 изучал уравнение Клейна — Гордона и общие вариационные уравнения второго порядка; Эмери [!9701 исследовал случай нескольких зависимых переменных и несколько быстро вращающихся фаз. Абловитц и Бенни [19701 для уравнения Клейна †Гордо исследовали эволюцию многофазных колебаний. Найфэ и Хассан [197Ц и Найфэ и Сарик [1972Ь[ исследовали нелинейные диспергнрующие волны на поверхности раздела двух жидкостей и в горячей электронной плазме. Паркер [19691 рассматривал влияние релаксации и диффузионного демпфирования на диспергирующне волны. В теории взаимодействия волн Бенни и Саффмэн [1966~, Бенни [19671, Дейвидсон [1967~, Бенни и Ньюэлл [1967~, Хоулт [19681, Ньюэлл [19681 н Бенни и Ньюэлл !19691 исследовали Га.
о. Мгеод многих маоиииибаа нелинейное взаимодействие случайных волн в среде с дисперсией. Дейвидсон [1969] изучал эволюцию во времени волновых корреляций в равномерно турбулентной совокупности слабо нелинейных систем с дисперсией. В теории волн на воде Кэрриер [1966) рассматривал гравитационные волны в воде переменной глубины, Хугстратен [1968), Фримен и Джонсон [1970) изучали волны в мелкой воде в течениях со сдвигом. Джейкобс [1967) решал уравнения приливов, Меррей [1968) рассматривал поверхностные колебания в баке, возникающие при истечении жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
