1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 34
Текст из файла (страница 34)
—,'+ —, —.' ' соз' со (! + [() соз 26 д22 1 д32 (5.6.41) В зависимости от того, находятся ли значения в вблизи от ! (резонанс) или вдали от нее, следует рассмотреть два случая. Начав со второго, мы рассмотрим далее оба случая. Случай, когда со принимает значения вдали от 1. В этом случае все слагаемые в праной части (5.6.40) являются быстро периодическими. Следовательно, К, =0 и ив)(( 2)) ') 2) "о '(2 ( () 2 Г() 4вс ! 2(в+ 11 2(в — 1) Подставляя это значение 5) в (5.6.41), получим дас а* Ас == — — — соз'в((+()) х ! 2[(в+1|1+в[1! "- 2[(в — 1)!+в[)! | хсоз2! ° + + д22 а~ [ ь сов 2[(ь — 2)1+вб! сов 2|(в--2|1+о)д! д! 16аР [вс — 1 в — ! в-(-1 сов 4 Ив+1) !+со||! соэ 4 [(в — !) 1 '; вЩ -' — 2( ' (( — -'- 2(.— )) (С))с 2(.2 '2 ('(-2)) (5.6.43) +в ьс — 1 ) С ..
222, С(.Я2 — 2 . ) ) 2!е Гл. д. Вариация нроиееольных постоянно!х и метод усреднения Если значения в находятся также вдали от 2, то имеем 1 ос* Г6 ве (ве — 1) ' (5.6.44) поскольку остальные слагаемые в правой части (5.6.43) являются быстропериоднческими и в совокупности должны быть приравнены — 33,/д(. В атом случае будем иметь К = — е' +О(ее).
16 сои (оя — 1) Следовательно, дК а'= — =0 или а" =сопя( д!Р д)( 1 е' (5.6А6) (5.6.47) и, далее Таким образом, дЮ' (5.6.52) р' = д,„, = (со — 2) г'+ сор ° (5 6 53) К+(со 2)а' (в 2)ае ее ес [соилу + в 1 ее! !6„Я (ве 1)+()~ (5.6 48) ()= е созв~ ~1 — —... ~ (+(),~+О(е') (5 6 49) Таким образом, в рассматриваемом случае координата с) ограничена и движение устойчиво. Для значений со, близких к 2, величина соз2[(в — 2)(+вр) меняется медленно и должна быть включена в К,; в противном случае в выражении для 3е будут содержаться вековые члены или малая величина в знаменателе в соответствии с тем, равно ли значение в в точности 2 или не равно. Приравняв К, медленно меняющимся членам в правой части (5.6.43), получим ие ) в соя 2 ((в — 2) 1+аД ~ !6в'1сое — ! в — ! С погрешностью О(е') величина (л в (5.6.50) может быть заменена на ()*.
Чтобы изучить движение в рассматриваемом случае, исключим явную зависимость функции К от переменной (, совершив переход от переменных а' и ()* к переменным а' и р' с помощью производящей функции 3' =а' ((в — 2)(+вр'). (5.6.51) 213 д.д. Методика фон Цайпелл Следовательно, дй' и д~' г бах[в Вз!и 2р (5.6.55) (5.6.56) Как и в п. 5.5.2, можно получить, что уравнения (5.6.55) и (5.6.56) допускают интеграл !па' = — 1и ~ ео 2 б,, ' соз 2[3'~ +сопз1. (5.6.57) Отсюда получаем следующие условия неустойчивости: хх ех 1бвх [ее — !) ) ео — 2— 1бв(вх — 1) ~ ' илн иначе бхх хх + 1д2 + (е ) > 2 !з2+0(е ).
(5.6.56) В плоскости (ах, е) переходные кривые, отделяющие область устойчивого движения от области неустойчивого движения, исходят из точки а.=2 и задаются соответственно уравнениями бхх ох ах =4+ +0(е'), а'=-4 — — +0(ех) (5.6.59) в согласии с тем, что было получено в п.3.1.2.
Случай, когда а принилаегп значения, близкие к 1. В этом случае величина соз 2 1(о! — 1) 1+ ар) меняется медленно и поэтому должна быть оставлена в выражении для К,; в противном случае, как это с очевидностью следует из (5.6.42), функция 5, будет иметь особенность в точке а =-1.
Приравняв К, медленно меняющимся членам в (5.6.40), получим К, = —,„соз 2 ((а — 1) 1+ аЯ. (5.6.60) Следовательно, дох а* 1 — — е(соз21+ — сов 2 [(а+1) !+аЯ~. (5.6.61) Решением уравнения (5.6.61) является функция — зхп 21+ х1п 2 [[в+ 1) !+во[ ~ (5 1— - — —,„х 2 (в+ 1) Подстановка о, в (5.6.41) приводит к уравнению К,= д!' — 4вх 1 соз2[(а+1))+аЩсоз'а(!+Р)соз2К (5.6.63) 2!4 Гл. д.
Вариация лраиэеальныя иаииаянния и меисад усреднения Приравняв К, медленно меняюшимся членам в (5.6.63), получим ао Ке Зявз(„!. !1 (5.6.64) Поэтому во втором порядке имеем Э яеао К = —, соз 2 [(си — 1) (+ вЯ вЂ”, ~ + 0(е') (5.6.65) и. кроме того, д3, а =- ао + е — „' +... = = ссо — соз 2 [(в + ! ) с + в[)! + 0 (е'), 1' — [)+ д„~+ [) е, ) . 2(+ Мп 2!(в+ 1) с+сор)~+0 (,о) 4еие ! 2 (в+!) (5.6.66) (5.6.67) Разрешив уравнения (5.6.66), (5.6.67) относительно ас и р, получим для ннх следуюшую зависимость от а' и р'.
и= а* — 4„, соз2 [(со+1) г+вр*[+0(а'), (5.6.68) 4оР ! Ш 2(в+ !) Подставив выражение для 6 в (5.6.65), получим К = —,, соз2[(в — 1) с+в[)') — + яеесо да, + 2 д„',з)п 2[(си — 1)1+ р 1+0(а'). (5.6.70) В присутствии последнего слагаемого в правой части уравнения (5.6.70) проявляется недостаток процедуры фон Цайпеля в ее настоящем виде. в котором для определения быстро и медленно меняющихся членов в (5.6.40) использовались смешанные переменные (новые импульсы и старые координаты). Если бы равенство (5.6.39) было выражено в новых переменных а' н ()*, то функция Яе поглотила бы это последнее слагаемое и сама должна была бы быть отнесена к медленно меняюшейся части Ко.
Действительно, Брекуэлл обнаружил (см. Шехтер [1966)), что подобное представление в смешанных переменных при рассмотрении движения частицы в окрестности треугольной точки в ограниченной задаче трех тел приводит к неверному результату (Брекуэлл и Прингл [19661). Учтя это обстоятельство, Шехтер для определения медленно меняющейся части (членов с большим периодом) выразил гамильтониан в новых переменных до усред- 5.6. Мюидиха фон Цййпеля 215 удовлетворяет уравнению дч дН дч дН [а, Н) =- — ° — — — ° — =О. дя дэ до дЧ Эффективную и мощную методику выполнения преобразований переменных величин и произвольных функций к новым переменным разработали Хори [1966, !9671 — с помощью рядов Ли, Депри [19691 и Кемел [1969, !9671 — с помощью преобразований Ли.
Эта методика изложена в 2 5.7. Выразив равенство (5.6.39) в новых переменных, мы бы полу- чили К = —,, соз2 [(1й — 1) !+ ыб'1 —;(а 0+ 0(е'). (5.6.7!) Исключим явную зависимость К от 1, совершив переход от переменных а* и (1* к переменным а' и 6' с помощью производящей функции о'= а' [(ы — 1) !+оф'!. (5.6.72) Следовательно, имеем д3' а'~ = — = ыа ай э д5' Р'= —.— -( — 1)1+ (1' да' (5.6.73) (5.6.74) пения и пол)чил правильное разложение. Мьюзен [19651 развил алгоритмы, с помощью которых с точностью до любого порядка могут быть выполнены преобразования переменных величин и произвольных функций от старых переменных к новым и обратно.
Лацина [1969а, Ь) и Стерн [!970а, 197!а) получили в общем виде выражения для почти тождественных канонических преобразований старых переменных в новые. С помощью этих преобразований они модифицировали уравнение Гамильтона — Якоби. Получающиеся в итоге схемы метода возмущений могут быть соотнесены с другими схемами, использующими канонические переменные, путем соответствующего выбора некоторых выражений, входящих в эти преобразования. Уиттекер [1916, 19371, с1ерри [19271, Контопулос [!9631, Макнамара и Уайтмен [1967[ и Коффи [19691 разработали методику получения интегралов движения для гамильтоновых систем.
В основе этой методики лежит тот факт, что любой интеграл канонических уравнений движения дН дН ч= — ° р= —— = да = дч 216 Гл. д. Вариация праиееальных паетаянних и менад уереднения и, далее, 7(' =К+ — = —,сое23' —, +(еа — 1) а'. (5.6.75) Пс этому дК' еи' а = — = 2. ° 26', д!)' 2 и Р' = —, = — соз 26' — — + в — 1. (5.6.77) да' 4ю ЗЪР (и+ 1) (5.6.76) Подобно тон!у как это было сделано в п.5.5.2, получаем для системы (5.6.76), (5.6.77) интеграл ге еи 1па'= — !п ~ — сое26'— ~ 4еи ' 32ьР(м+!) +ы — 11+соне!.
(5.6.78) Следовательно, переходные кривые определякггся равенством 4м ! 32ве(и+1) ~ ' откуда получаем еа = 1 ~ — е — — е'+ О (е') 3, 4 64 (5.6.79) или 1 ! еаи = 1 ~ — е — ее+О (Ее). 2 32 (5.6.80) Эти кривые согласуются с кривыми, полученными в п. 3.1.2 с помощью методики Линдштедта — Пуанкаре и в п. 3.1.3 — с по- мощью методики Уиттекера. 5.7, Усреднение с использованием рядов и преобразований Ди Прн изучении колебаний слабо нелинейной системы уравнения, описывакнпие эти колебания, обычно преобразуются к стандартному виду Еи е) = Х т~ (и (х)~ в=а где 1„(х) =- — „~ при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь х и ! — векторы с )11 компонентами.
Вектор х может иметь в ка- 5.7. Усреднение с иснанаованием рядов и преобразований Ли 217 честве своих компонент, например, амплитуды н фазы системы, нли орбитальные параметры в невозмущенной задаче двух тел. Обозначим компоненты вектора 1„ через 1„„. Говорят, что компонента хд вектора х является быстро враща1ощейся фазой, если [„~о. Ранее было установлено (см. п. 5.2.3), что прн изучении системы этого стандартного вида полезно рассмотреть почти тождественное преобразование х = Х (у; е) = у +еХ, (у) + е'Х, (у) +... (5. 7 2а) переменной х в переменную у, такое, что система (5.7.1) приводится к виду у=й(У1 а) =Х вЂ” „', 9.(У) «=о "' (5.7.25) 5761. Ряды я преобразования Лв В этом пункте преобразование (5.7.2а) определяется решение системы )у дифференциальных уравнений ~1х — „=%(х; е), к~в=о=у как (5.7.3) Вектор % называется производящим вектором. На первый взгляд кажется, что мы попали в порочный круг: для упрощения исходной системы дифференциальных уравнений предлагаем решить опять-таки систему И дифференциальных уравнений.
Однако это не так, ибо мы интересуемся решением системы (5.7.1) при больших 1, в то время как решение системы (5.7.3) интересует нас при малых е; последнее обстоятельство существенно упрощает нашу задачу. Уравнение (5.7.3) порождает так называемые преобразования Ли (Кемел [19701), которые, будучи близкими к тождественному преобразованию, являются обратимыми.
Если % не зависит от а, то уравнение (5.7.3) порождает так называемые ряды Ли. При рассмотрении канонической системы Хори [1966, 1967) и Депри [1969) полагали -Я (5.7.4а) в котором функции я„содержат только медленно меняющиеся члены. В п. 5.2.3 функции Х„и д„определялись с помощью подстановки (5.7.2) в (5.7.1), выделения быстро и медленно меняющихся членов и предположения о том, что Хо содержит только медленно меняющиеся члены. 218 Ге. д.
Вариация проиееолоных постоянных и иегоод усреднения где т) — вектор координат системы, р — вектор сопряженных им- пульсов, 1 — время, и определяли вектор 1т' равенством Б = о (г1, р, 1; е), (5,7.4б) где 5 — производящая функция. Для преобразования гамильтониана Н= ~э~ (ен/л1) Н„(т1, р, 1) н=а к виду К = ~~.", (е"/п!) Кн (О, Р, 1) Хори [1966] построил нерекуре=о рентный алгоритм, использующий ряды Ли. Другой алгоритм для рекуррентного построения функции К с помощью преобразований Ли построил Депрн [1969], Кемел [1969а] упростил этот алгоритм. Кемел [1969в], Кэмпбелл и Джеффрис [1970] и й1ерсман [1970] показали, что теории Хори и Депри эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
