1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 32
Текст из файла (страница 32)
дН чс=- — ° Р = —— др; ' дщ (5.5.17) Тогда с помощью метода усреднения и метода вариации произ- вольных постоянных может быть получено приближенное реше- ние уравнений (5.5.17). Рассмотрим в качестве производящей функции 5 = 5е (Р„..., Рн, д„..., дн, «), (5.5.19) где вектор Р не постоянен, а меняется во времени. Тогда Р но определяются уравнениями дК дк Р;= — —, дЦ«' ' дРг' (5.5.20) где с учетом (5.5.18) ак„ (5.5.21) Пусть решение й,(Р, 4), «)„р,(Р, 4), «) системы (5.5.!7) при Н=-.Н, периодично по «с периодом Т. Тогда приближенное решение системы (5.5.17) опять-таки задается величинами с«о и р,„ в которых, однако, Р и к) меняются согласно (5.5.20), причем в последних уравнениях функция К заменена своим средним значением по периоду Т, т.
е. значением г <КУ = — ') К (Р, (1, «) с««. (5.5.22) о В (5.5.22) векторы Р и (1 предполагаются постоянными. Далее мы проиллюстрируем эту технику на трех частных примерах. Для функции Н общего вида невозможно получить полный интеграл уравнения (5.5.16). Пусть, однако, Н=Н,+Й, где Й мало по сравнению с Н, и найден полный интеграл Бо(Р„... ..., Рн, д„, ..., с«„, «) для уравнения Н ~ а дсо „, «) ~ ~О~ 0 (5518) 1ВВ Гя. д. Вариация проиэеолоиых постоянных и метод иередиеиия З.БЛ. е'рааненне дюффннга Вновь рассмотрим уравнение д+ соод + ед' = О. (5.5.23) Этому уравнению соответствует гамильтониан е е Н = В (Р*+ ~,'Ч')+ 4 ~с) (5.5.24) Уравнение Гамильтона — Якоби при в=О имеет вид М кд5) +ОЛЧ~З+ М О (5.5.25) получи .
вместо (5.5.25) а= — а, или о=- — Ы, (5.5.27) — ') +соод' =2а, или 3, =) )с 2и — сооде с(с). (5.5.28) Следовательно, 3= — ссГ+ ~ Р 2се — со,'7Мд, (5.5.29) где сс — новый импульс. Соответственно новая координата (1 задается равенством 5 = — = — г+ ) (2а — со,"де)-О' с(д = — 1+ — агсз1п — еч (5.5.30) откуда получаем д = з! и со„((+ р). )с 2и ыо (5.5.31) Это решение ьюжно было бы написать сразу по виду уравнения (5.5.23) при в=О. Однако канонические переменные сс и () были найдены естественным путем при решении уравнения Гамильтона— Якоби (5.5.25). Поскольку Й=(1/4)вс)'=(ессе/о4)з)песне(1+р)„то уравнения в вариациях (5.5.20) записывакпся в виде дй дй а= — —, дй' =да' Это уравнение может быть решено разделением переменных.
Полагая 3=5, (с))+о ((), (5.5.26) 6.6. 64оиод исреднония с исполосованном канонические норемснних 199 Кз вида еао ГЗ 1 1 Н = —, ф — — соз2соо(1+())+ — соз4ыо((+~)1 получаем Зеао <Н>= —. асиоо (5.5.32б) Следовательно, имеем из (5.5.32а) Зесс со=сонэ(, () = — 1+ро.
4ю4 (5.5.33) где ()о — постоянная. Поэтому в первом приближении будем иметь д з(п ~соо ~) + 4 ) (+соо1о1 о (5.5.34) 6,6.2. Уравнение Матье В качестве второго примера рассмотрим уравнение д+(сов+а соз21) д =0 (5.5. 35) при положительном со.
Положив 4=Р получим из (5.5.35) р = — (сот+а соз 2() д. (5.5. 35) (5.5.37) Эти уравнения могут быть записаны в виде дН дН ч= др до (5.5.38) где Н = — (р'+ своде) + — еде соз 24. ! 1 2 2 Действуя как в и. 5.5.1, получим для (5,5.38) при а=0 решение д =- — соз со (1+ ()). у'ьх (5.5.40) что согласуется с разложениями, полученными в п. 5.4.1 и 9 5.3 с помощью методик Крылова — Боголюбова — Митропольского и Страбла, если отождествить У'2оадо, с а,. 200 Гл. д. Вариация нроиясальннх яостаянннх и яняад усреднения Следовательно, Н = (1!2) ядя соз 2! =(еа!в') сов 2! созя в (!-!-()), и уравнения в вариациях (5.5.20) запишутся в виде дй „И сс = —— др' ' да' (5.5.41) (5.5.43) Тогда д5» а= — = всс", дР дзе (3'= —,=(в — 1) !+вр.
(5.5.44) (5.5.45) Следовательно, сс' и р" являются каноническими переменными относительно гамильтониана дЯ" ах* К вЂ” — <Н>+ —,= 4 сов 2!)*+(в — 1) а'. (5.5е46) Позтому да еал й= — — = — з(п 2р', дР* 2в ()* = — „з =в — 1+ — соз2()'. дД я 4в (5.5.48) Исключив 1 из (5.5.47) и (5.5.58), получим — д !соя 2РЯ! Я е в — 1+ — соя 2РЯ 4в Следовательно, !п оя = — ! и ~в — 1+ — соз 2!)'~ + сопз1. 4в (5.5.49) Из представления Н = '~, ( соз 2! -!- — сов 2 ((в + 1) ! + вЩ + — соз 2 ((в — 1) ! + вЯ ~ получаем О, если в далеко от 1 1.
<Н> = яа —,соз2 1(в — 1) !+вЯ, если в — 1=0(е)) ' (5.5.42) Если в (5.5.42) имеет место первый случай, то а и р в первом приближении являются постоянными. Если имеет место второй случай, введем новые канонические переменные к' и (!' с помощью производящей функции о'*=а* [(в — 1) !+вр]. б.б. Мпяод исредненыя с исяользоепнием канонические переяенннх 201 Таким образом, движение неустойчиво (са' не ограничено), если — >~в — 1!. 4со В первом приближении имеем 1 1 в<1+ — е или в) 1 — — е.
4 4 (5.5.50) Кривые в=! ~ — е или в'=1~ — а 1 1 4 2 (5.5,5!) отделяют на плоскости в — в области устойчивости от областей неустойчивости. Эти кривые согласуются с кривыми, полученными в п. 3.1.2 с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре и в п.3.!.3 с помощью метода Уитгекера. Рис. 5.1.
Горелик !19331 для иллюстрации внутреннего резонанса. Кинетическая и потенциальная энергии массы т равны соответственно т= —,' (р +(!+ ре), (5.5.52) е'= — йхя+ тд(1 +х) (1 — соз О), (5.5.53) где х — удлинение пружины относительно длины в положении равновесия. Отсюда Е.=-Т вЂ” р'= — т(хе-(-(!+х)'0') — тд(!+х)(! — созй) — йхя. 1 1 2 2 (5.5.54) б.б.з. Качающаяся пружина Следуя Кейну и Кану !19531, рассмотрим нелинейные колебания пружины, качающейся в вертикальной плоскости, как показано иа рис. 5.1. Эту задачу ввели в рассмотрение Витт и 202 Гл. д.
Вориоция нроиэяольноос ностсякных и метод усреднения Для импульсов и гамильтониана имеем следующие выражения: р„= —, = тх, рз= —.= т (1+х)*О, (5.5.55) дЬ да дх ' дО Н =- хря + Ор„— 5 = = — ~ — + ~+та(1+х)(1 — созО)лн — йх'. (5.5.56) ! 2 ~ т т!!Ох)е~ 2 Для малых х и 0 и при х.=.О(О) можно записать следующее разложение для Н: Н = — ~ — + — ~ + — тд)0'+ — Ахе + — тухОЯ— ! Рл РЬ 2)ен е!Я) 2 2 2 —,. — д а(0 +, „+ О(0').
(5.5.57) Зхярз л ~ — ( — ) +!ех'1+ ~ 1 —,( — ) +тФО'1+ — =О, (5.5. 8) где 5=-5(х, О, 1). Положив Я = — (сс, + а,) г+ Цг, (х) + К, (0), (5.5.59) придем к уравнениям ! ~д!Ря )Я т!Я~ дв / — ~ —" ~ + тр)Оя =- 2а . я' (5.5.60) (5.5.61) Имеем поэтому ~; х- изТн;=е — "!, дБ рз= — = )/т)я(2а — т510я), (5.5.63) Я= — (а,+а,) !+ ) )/т(2а,— !ех')Ых+.) у тР(2а,— ти(О )с(0, (5.5.64) Следовательно, до !' ни!х /~п .
/ я () = — = — г+~ = — 1+ )/ — агсз)пх !/ д ч ) )/,„(2„, р;) )/ (5.5.65) Р. = — = — ~ .~. !" н " н,! ..Ф = — !+ !/ — агсяпО "у 2 о. ! е(н,-ещ Гу 2ие (5.5.66) Если сохранить в Н квадратичные члены, то полный интеграл соответствующего уравнсния Гамильтона — Якоби можно получить так. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид 5.5. Молод усреднения с ислольэхониен нононичесних переменных 203 н, далее, х= )/ — „' з)пВ„ г та? р„.— )~ 2та, соз В„ ро = ? $7 2та» соз В„ (5.5.67) (5.5.68) (5.5. 69) (5.5.70) где приняты обозначения В;=со?(?+р?), со, = ф/ —, со, = )/ф. В первом приближении уравнения в вариациях записываются с помощью') ) хе Й вЂ” тпх8' — — = 2 " тм з — ~ ~з)п В, + — з)п(В,+2В»)+ + 2 з?п((в1 — 2в») т+вгр,— 2в,ре]~.
з Чтобы исключить явную зависимость <Й> от ?, сделаем еще одно каноническое преобразование переменных а, н 5, к переменным сс', и р; с помощью производящей функции (5.5.73) Таким образом, дз» ои дб, 2в» дз» е в, Я= — '. = — '?+ — '1с, 2ве 2ва ?<=<Й>+ — =„— ' — 4— , $l — ',а, $ а,'з)п2соеф; — ре). (5.5.75) ') Выражение (5.5.7Ц содержит члены третьего порядка малости по каноническим переменным иа гамильтониана (5.5.57).— ??риис ред.
Таким образом, Й вЂ быст меняющаяся величина, если только не выполнено в, — 2в, =е, где е †мал величина. В последнем случае медленно меняющаяся часть Й имеет вид <Й>=- — а )'сс, з)п(е?+софг — 2со () ). (5.5.72) 2? 3/м ! 1» е 204 Гя. д. Ворнання ярснэаоаанмс ностояннмс и метод рсреднення в вариациях (5.5.79) где з г,, С = 41 1< г 2 (н — г<е).
(5.5.80) О)ай ' Меттлер 11959) и Сетиа 119651 с помощью метода усреднения получили уравнения, сходные с (5.5.76) — (5.5.80). Сложив уравнения (5.5.76) и (5.5.77) и проинтегрировав, получим с<,'+а, = Е =сонэ(. (5.5.81) Следовательно, движение полностью ограничено '). Исключая у из (5.5.75) и (5.5.77), получим (~ ) =С'аа(Š— иа) — ~ ~~ — К~*=- =- С' (Ра (аа) — б* (и,)1, (5.5.82) где — $'Š— 6= с Гж ' — К1 ( . 83) Функции Р(а,) и 6(а,) схематически показаны на рис. 5.2. Для реального движения величина 6' не должна превосходить Р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
