1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Метод составных разхоэсениа Решение уравнения (4 2.18) при условии (4.2.16) имеет вид Рэ=йе' ". (4.2.24) Следовательно, из (4.2.17) 6,(0) =а †()е, и, таким образом, решение уравнения (4.2.21), стремящееся к нулю при ь — оо, имеет вид 6, =(я — ре) е-~. (4.2,25) Решение уравнения (4.2.19) при краевом условии (4.2.16) в случае о =1 имеет вид г, = 8 (1 — х) е'-", (4.2.26) что вместе с условием (4.2.17) дает 6, (О) = — 8е. Подставляя выражения для Ре и 6, в (4.2.22), получим 6,"+6; = — (я — !)е) е э, Решение этого уравнения, подчиненное условию 6, (О) = — Гге и стремящееся к нулю при г — со, имеет вид 6, =-1(а — ()е) ь — !)е)е-!.
(4.2.27) Переходя ко второму порядку, получим, что решение уравнения (4.2.19) при условии (4.2.!6) имеет вид Р.= 2 ()(1 — х)(5 — х)е' ". ! (4.2.28) Поэтому из (4.2.17) получим 6,(0) = — 5ре/2, и уравнение (4,2.23) примет вид 6;-1- 6; = — [(я — ре) ь — ре] е- с. Решение этого уравнения при условии 6, (О) = — 58е72, стремящееся к нулю при ь- оо, имеет вид 6 =!Г2 (" ()е)Р+(' 2!!е)ь 28 1е с (4229) Г! 6 Таким образом, первые два члена результирующего равномерно пригодного разложения в точности совпадают с решением (4.1.81), полученным ранее с помощью метода сращивания асимптотических разложений. 4.2.2. Уравнение второго порвана с переменными коэффициентами В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу, которая является частным случаем задачи, рассмотренной в п. 4,1.3: ау" +(2х+ 1) у'+ 2у =О, 0 ц!.:х(1, (4.2.30) у (О) = и, у (1) =~.
(4.2.31) 464 Гл. 4. Метиз сртииопния асимитптиоссяах разложений У == ~ ео)о (х) -~-е-о гоно ~л еоЬ„(х), =о =о (4.2,32) где функция й(х), которая определит я при анализе, эквива- лентна х при х- О. Подставляя (4.2.32) в (4.2.30) н (4.2.31) н приравнивая нулю коэффициенты при е" и е е-и<и' при всех и, получим уравнения для определения у, (и и Ьи.
Первые три уравнения и краевые условия имеют вид Ьой' (д' — (2х+ 1)1 — — О, (2х+ 1) )о+ 2~о — Оо ( 2иа +2х+ 1)Ьо+(2 й )Ьо 0 (.(1) =-=(), (о(0)+Ьо(0) = . (4.2.33) (4.2.34) (4.2.35) (4.2.36) Чтобы существовало нетривиальное решение для Ь„в силу (4.2.33) требуется, чтобы у' --. 0 или д' = 2х+ 1. (4.2.37) Первый случай (4.2.37) приводит к у=-сопз1 и должен быть отброшен, так как д(х)/х 1 при х — О. Следовательно, у =хо+к. (4.2.38) Решение уравнения (4.2.34), подчиненное условию (о (1) =(1, имеет вид (4.2.39) Подставив (4.2.38) в (4.2.35) и решив полученное уравнение при условии (4.2.36)„получим Ьо =со Ж. (4.2.40) Поэтому у " + (ох щ е-око+кис+ О (е) 2к+ 1 (4.2.41) Рассмотрим далее применение второго варианта метода составных разложений в этой задаче. В этом случае можно применить (4,2.13) — (4.2.17).
Подставляя (4.2.14) в (4.2,30), прнрав- Поскольку коэффициент при у' положителен, неравномерность будет иметь место в окрестности х= — О. Чтобы описать поведение у в области неоднородности, необходимо ввести преобразование растяжения о.=-хе ' и внутреннее разложение описывать с помощью функции е о=-е-""":. Поскольку задача содержит переменные коэффиппенты, то у имеет равномерно пригодное разложение вида о.2. Метод еоетооноох раэлтхенно! пиная коэффициенты при равных степенях е к нулю и полагая х фиксированным, получим (2х+ 1) по+ 2Ро =0 (4.2.42) (2х+1)Е;+2Р, =- — го. (4.2.43) Чтобы получить уравнение для 6„, выразим (4.2.30) через внутреннюю переменную Ь = — х/е.
Имеем — Ео + (1 + 2еь) ф+ 2у = О. (4.2.44) Подставляя (4.2.15) в это уравнение, приравнивая коэффициенты прн равных степенях е и считан Ь фиксированным, получим Со '1 Со (4.2.45) 6 + 6; =- — 2~6; — 26,— 2Е, (О) — Р„" (О). (4.2.46) Решение уравнения (4.2.42), подчиненное условию (4.2. !6), имеет вид о о 311 о =ах)1. (4.2.47а) Подставляя выражение для го в (4.2.43) н решая получен- ное уравнение при условии (4.2.16), придем к ар (1 — х) 12+ х) 311+ эх)о Тогда (4.2.17) дает 6, (0) = — 16()!3, а (4.2.46) принимает внд 6 +6; — 2(а — 3))) (Ц вЂ” 1) е-о. Решение этого уравнен1гя, стремящееся к нулю при ь" — ср, имеет внд ( 3()) Р1 е'. 116 (4,2.49) Поэтому зр + 6511 — х)(~ "х) -1-(а — 3!)) е о— =2,+1 З(1+Я )о ~165 + ( 3р) р~ е-с+6 (во), (4.2.50) Это выражение вместе с (4.2.17) дает С,(0) ..=а — 3!1. Следовательно, решение уравнення (4.2.45), стремящееся к нулю прн — оо, имеет внд Со = (а — 35) е 1.
(4.2.47б) 166 Гл. 4. йлвнод сращивания асилнталоэоескик разложений 4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для уравнения теплопроводности В качестве третьего примера применения метода составных разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями для уравнения теплопроводностн, поставленную Келлером [1968). Предположим, что температура и(х, 1; е) зависит от одной пространственной переменной х, которая нзменяется от 0 до Ь(е(), где Ь вЂ” известная функция, а е — малый параметр. Таким образом, Ь вЂ” слабо меняющаяся функция 1.
Математически задача записывается в виде и, —.-и„„, 0<х<Ь(е(), (4.2.51) и (О, 1) = ор (еЕ), и [Ь (е1), 1) = О, (4.2.52) и(х, 0) =ту(х), О<х<Ь(0). (4.2.53) Заменив переменную 1 на т=И, уравнение (4.2.51) н краевые условия (4.2.52) перепишем в виде еи,=и„, 0<х<Ь(т), (4.2.54) и (О, т) = ор (т), и [Ь (т), т) = О, (4.2.55) Поскольку е умножается на и„то прямое разложение метода возмущеннй прн малом е н фиксированном т не может, вообще говоря, удовлетворять начальному условию (4.2.53) н неравномерно вблизи т =0 всюду, за исключением окрестности концов.
Чтобы описать поведение функции и в окрестности 1 =О, необходнмо применить преобразование растяжения 1 = т1е. Как подтвердятся ниже, функция, опнсывающая поведение в этой области, имеет внд ехр [ — д(т)/е), где д(т)/т — 1 прн т О. Поэтому предположим, что равномерно пригодное асимптотическое разложение для и имеет внд и = ~л е" Г (х т) +е-л'™ ~~Р ~елй (х, т).
(4.2.56) л=о л=о Подставляя зто разложение в (4.2.53) — (4,2.55) н приравнивая К НУЛЮ КОЭффнцИЕНтЫ Прп Ел Н Елс-Л1тре дЛя ВСЕХ и, ПОЛУЧИМ Ро, кк =О. Ро (0» 'т) =Ф [т)э Ро [Ь(т) т) =О. (4.2 5У) Ьо.кк+Ы'Ьо=О» Ьо(0 т)=0 йо[Ь(т), т) =О, (4258) [о(х, 0)+Ь,(х, 0) =ф(х), 0<х<Ь(0) (4.2.59) н прн п>1 Г„(0, т) =1„[Ь(т), т) =О, (4.2.60) Йл, кк+Д Ьл=йл4ы тэ йл (0» т)= Ьл [Ь (т), т) =О» (4.2.60) И„„„+р'Ь„=Ь„, „Ь„(0, т) =й„[Ь т), т)=0, (4.2.61) [„(х, 0]+Ь„(х, 0)=0, (4.2.62) где через и' обозначено о(дуг(т.
4.2. Метод составных раохожениа 167 Решение задачи (4.2.57) имеет вид (4.2.63) Поскольку краевые условия для 6, однородны, то уравнение для 6, имеет нетривиальное решение, только если а' равно одному из собственных значений 8»= Я1, 6=1,2, ... (4.2.64) Следовательно, 6.= .()Х.( ° ), (4.2.66) где а„— неизвестная пока функция, которая определится прн исследовании уравнения для 6,. При известном 6, уравнение (4.2.61) в случае а =-1 примет внд 6,, „„+ а~6! = а»)(»+а»)(»„, 6 (О, т) =6 16 (х), ) =О.
(4.2.67) Предположим, что 6, может быть разложено по собственным функциям т», т. е. 6, = ~~.", св (х) )(в (х, т). 3=1 (4.2.68) Подставляя (4.2.68) в (4.2.67) и используя тот факт, что )(, „,= = — а,')(„получим Х (а' — а')с,Ь= 'Х»+а.Ь . (4.2.69) 5=! Если мы теперь умножим это уравнение на )(» и проинтегрируем от х=О до Ь(х), то правая часть обратится в нуль, так как )(» ортогональна )!, при 6~а, а 8',=д» при 6=з. Позтому Их! ) (а~)(»+а )( у ) е( =О. (4.2.70) о Это является условием разрешимости задачи (4.2.67). Поскольку »!х! ) 7»е(х= 1 о Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид 2 )Че . »НХ у,=) — ~ з)п —.
1»(х) ~ Ь(х)' (4.2.65) )й Гл е. Метод сращивания агиинтатинеских разложений мт) Ит) — ') ))» )1х= О =Ь' (т) 7» (Ь (т), т1+2 ) у»2», в(х = О. (4 2 72) о Так как )(»[Ь(т), т) =О, то и г) ~ 2»Х», тв(х= — О. "о Следовательно, (4.2,70) и (4.2.71) приводят к аз = сонэ(. (4.2.74) Поэтому решение нулевого порядка имеет вид и (х, т; е) = )р (т) ~1 — „~ ~ + 2 1Ч* . »их Г»еие -)- э а» ) — ) з)п — ехр — — ) Ь е(5)с$ +0(а), (4,2,75) )~ь() ) о() »=! о где о» вЂ” постоянная, определяемая равенством ») о) и»= ~Ь О 1 ~ ~ф(х) 4) (0) ~1 Ь(О 1 ~з(пЬ(О)с(». (4.2.76) о 4.2.4. Ограниченна метода составных разложений При попытке применить метод Латты к нелинейным задачам могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции во внутренней области необходимо использовать большое число специальных функций.
Несмотря на эти ограничения, этот метод является отправной точкой для развития метода многих масштабов, описанного в гл. б. Чодифицированный метод составных разложений Бромберга, Ви)пика и Люстерника преодолевает эти осложнения, как будет показано на примере применения этого метода к нелинейному уравнению (4.2.77) описывающему одномерную задачу о космическом корабле Земля— Луна, которая изучалась в и. 4.1.7 с помощью метода сращивания асимптотнческих разложений. а.2. Метод аостпвиых разложений Предположим, что составное разложение имеет вид 1(Х! Р) — 7'а(х)+6а (аь)+Р а!аоа (х) +6а (аь))+..., (4 2 78) где ~ =(1 — х)/р — внутренняя переменная, найденная в п. 4.1.7, н 6„-0 при $- оо.
Начальное условие 1(0) = — 0 дает г„(о) =-г, (о) =о. (4.2.79) Из (4.2.78) имеем 1'=-Ра(х)+рЕ, (х)+ .. (4.2,80) Это разложение, будучи подставленным в (4.2.77), дает 2г а=х, (4.2.81) л,' + ~ а а Решения этих уравнений, подчиненные условиям (4.2.79), имеют вид 2 'аа 2га = 3 х" — 2 „ — 1 ! -1- г' х )~ 2г, = — х'д+ ~/ х — — 1и 3 2 ! — 3/х (4.2.82) Из (4.2,78) н (4.2.82) следует )' 2а' = 3 + 1' 26а (з) + Р [ — $ + 3 + 2 1п 4 + 1' 26Я) ~ + .... (4.2.83) (4.2.84) Подставляя (4.2.83) в это уравнение н приравнивая коэффициенты при равных степенях !а, получим 6; =-О, (4.2.85) [)' 26а+ 2 1пз — ~~ = — (1+ ~ ) . (4.2.86) Решение уравнения (4.2.85), стремящееся к нулю при 5 оо, есть 6,= — О, в то время как решение уравнения (4.2.86), стремящееся к нулю прн $ о, имеет вид 'г' 26, = з — )'' з(э+1)+ Ага)! | $ — 1п $+ — — 1п2.
(4,2.87) Чтобы определить 6, и 6„ перейдем в уравнении (4.2.77) к внут- ренней переменной $. Имеем )то Гл. 4. А(впод срещиеония осимплштичеашх разложений Подставляя в (4.2.78) выражения для р, и Г", из (4.2.82) и используя найденные значения бе и бы получим разложение, в точности совпадающее с (4.1.202), которое было получено с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Упражнения 4Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
