1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 25
Текст из файла (страница 25)
при Т вЂ” — оо, (4.1.180) К 22Т гак как выражение (4.1,177) непригодно для больших отрицагельных Т. Поскольку (4.1.178) и (4,1.179) равны, то внешнее разложение (4.1.169) фактически уже сращено с внутренним разложением, представленным (4.1.176). Поэтому составное разложение, пригодное для всех 0 ( т (ти, дается выражением ге =х'-1-хг — (х')г =- гхе! (! — ) =х 11 — в (! — тля! ! ! + О' (хл)1 + — т — о~~.~-а! '). (4.!дю) [)/'Т Заметим, что это разложение регулярно при т=тл, так как вклад в сингулярность члена порядка в в точности уничтожается !левом еегеКД~/ — Т. Разложение лри т) тл.
В этом случае Т положительно. :растим внешнее разложение (4.1.170) с внутренним, положив, гак же как н в предыдущем случае, ел =и =2. Имеем При Т < — 3 г/'УР/4 существуют три действительных корня для ~. В этом случае мы выберем тот, который определяется выражением (4.1.177), если в нем изменить знак при 1/. Срастнм это внутреннее разложение с внешними разложениями (4.1.169) н (4.1.170) и затем построим равномерно пригодные составные разложения. Разложение для 0(т(тл. Срастим внутреннее разложение с внешним разложением (4.1.169), положив в (4.1.66) и = п =-.
2. Имеем ЕП. Метод срощиаанил асиматотических разложений )5! двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего разложения) = = хл (1 — ееееТ), (4. 1. 182) двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего разложения) = =ха [1 — +О н1. (4.1.183) Так как выражения (4.1.182) и (4.1.183) равны, то эти разложения фактически уже сращены. Составное разложение, равномерно пригодное при т) ти, имеет вид х =-х'+хе — (х')с = = — — — — весах,де + О (н').
(4.1.184) Найфэ и Неммат-Нассер [197Ц первыми исследовали эту задачу с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Результаты этого пункта показывают, что внешнее и внутреннее разложения, вообще говоря, не могут быть представлены в виде одинаковых асимптотических последовательностей, скажем, по степеням а.
В этом примере внешние разложения строились по целым степеням е, в то время как внутреннее разложение по дробным степеням н. Кроме того, этот пример служит демонстрацией того, что неоднородность может возникать внутри области, а не только на границе, как это было в ранее рассмотренных примерах. 4.!.7. Задача о космическом корабле Земля — Луна ') В примерах, обсуждавшихся до сих пор, асимптотическис последовательности содержали либо целые степени н", либо дробные степени е'т" малого параметра. В некоторых случаях эти асимптотические последовательности могут оказаться неспособными представить решение. Тогда их приходится дополнять членами, содержащими !оя(17н), которые, будучи умноженными на л|обую дробную степень а, стремятся к нулю. Из настоящего примера видно, что следует иметь в виду тот факт, что может оказаться необходимым дополнить эти последовательности членами, содержащими такие логарифмы, как !оя(1/н), )оп[!ой(1/е)), !оя [!од [!оп (17н)Ц, или им эквивалентные.
Рассматриваемая задача математически представлена уравнениями (2.4.7) — (2.4.9) в п. 2.4.2. Одномерная задача исследовалась в п. 3.2.2 с помощью метода растянутых координат. В п. 3.5.3 показано, что в двумерном случае метод растянутых координат приводит к ошибочным результатам. ') См. нрнмечанне к н. 2.4.2.— Прим. ред. 1эх рл. 4. Метсд сраи1иланин асинититичесних равложений Если вместо 1 в качестве независимой переменной выбрать х, то прямое разложение (полученное с использованием внешнего предельного перехода )с 0 при фиксированном х) дается выражениями (2.4.17) — (2.4.19). Было отмечено, что вблизи точки х:=-1 это разложение становится непригодным, так как второй член в разложении (2.4.18) имеет логарифмическую, а третий— алгебраическую особенность вблизи х.= 1.
Величину неравномерности, а значит, и соответствующее преобразование растяжения, можно оценить, рассматривая отношение наиболее сингулярной части члена 0((х') к наиболее сингулярной части члена 0((х). Эта оценка наводит на мысль, что областью неоднородности является 1 — к=О(!х). Если бы мы взяли отношение сингулярной части члена 0(!с) к первому члену, то пришли бы к выводу, что областью неравномерности является ! — х=О(е-'еи), что неверно.
Лучшим способом оценки величины неоднородности и определения преобразования растяжения является исследование порядка величины разных членов в уравнениях, как мы это делали в более ранних примерах. Введем преобразование — — Ч = — , а и р > О, (4.1.185) Р и где т — время, необходимое для достижения к=1. Преобразуем (2.4.7) к виду '1 (1 — !и~ (1 — иэ) р л э э ( 1 8) е +Р)" (4. .! 6) Левая часть этого уравнения представляет собой ускорение космического корабля; первый член правой части равен вкладу притяжения Земли в ускорение космического корабля, последний член представляет собой вклад притяжения Луны в это ускорение.
Если мы пренебрежем силой притяжения Луны в сравнении с силой притяжения Земли, то мы получим внешнее разложение (2.4.12), которое непригодно в окрестности точки х=1. Таким образом, чтобы получить разложение, пригодное вблизи Луны, (т.е. х=1), надо считать, что вклад в ускорение космического корабля от притяжения Луны имеет тот же порядок, что и само ускорение, т. е. Зсх — 218 = 1. (4.1.187) Этому условию могут удовлетворить бесконечно много значений а и !). Поскольку внутреннее разложение должно быть сращено с внешним, то скорость с($1с(е! в окрестности Луны должна иметь тот же порядок, что и скорость с(х/Ж=О(1) вдали от Луны; 4./.
Яеиюд сращивания асимптотичетих разложений !Зэ следовательно, (4.1.188) (4.1.189) Поэтому и исходное уравнение может быть переписано с использованием внутренней переменной $ =(1 — х)Н-! в виде д~ ° К 1(! ~)~+ ~)а.к ( ~Р+ з)мЯ ° лР ( ) 1(! — ~Ц"-~-У )з ~ '!но~ 1-У~) Внешнее разложение (полученное с использованием внешнего предела р, — О при х фиксированном) имеет вид (упражнение 2.12): $' 21' == — хм'+р ~ — хм'+$' х — — 1п ~+0(Н'). (4,1.193) 2 22 1 !+1 хт 3 ( 3 2 ! У~у При х — 1 оно становится непригодным. Чтобы описать решение вблизи х=-1, положим $=(1 — х)р '. Тогда уравнение (4,1.192) примет вид )!а — — + — .
гл!г ! — н ! 2 1а1) 1 — 14 (4. 1. 194) Используя внутренний предельный переход Н вЂ” 0 при рованном, будем искать внутреннее разложение в виде 1! = т, + НТ, (я) + 0 (Р'). с фикси- (4.1.196) Приравнивая коэффициенты при равных степенях р, получим (4.1.196) Общее решение этого уравнения имеет вид Р 2Т,= — Р Ц3+ц+Л й|/'й+ „ (4.1.197) Ниже мы рассмотрим одномерный случай.
Лагерстром и Кеворкян [1963Ь1 рассмотрели двумерный случай, а Лагерстром и Кеворкян 11963а) и Брекуэлл и Перко 11966) исследовали случай вращающихся центров масс. Положим у =О и проинтегрируем уравнение (2.4.7) с начальными условиями (2.4.10) при Ь ==р=-О. Имеем — ( —,.! ) = „+ „, ~(О) =О. (4.1.192) 154 Га.
4. Метпд сращивания асимататиевских ранважсиий где т, и т,— постоянные, которые должны определиться при сращивании, так как зто разложение непригодно вблизи х - 0 и мы не можем использовать начальное условие !(х=О) =-О. Чтобы произвести сращивание, положим гпГ и=-2 в (4.1.86) и получим двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего разложения) =-- 2 Г 5 = 3 + !с [ — ь+ 3 — ! и 2+ 2 !П !с+ — 1П 5~, (4 ! . 198) ! ! двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего разложения) = Г! 1 ! — ят =)'"2т — 1+х — р [ — 1п 2 — т — !п:~.
а 12 2 (4.1.199) Приравняв (4,1.198) и (4.1.199) в соответствии с условием сращивания, получим )/'2.„= —,', т, = б — 21п 2+ — (п р. (4.1 200) !3 1 2 Это разложение кроме членов О(!с) содержит член !с!пр. Составное разложение, равномерно пригодное на интервале [О, !1, может быть получено в соответствии с в 1 +!! (Гв)! откуда 2 Г! г )' 2!в = — хе!в + р [ — — 1п 2+ — !п !з+ — хвм + 1 х— 3 !2 2 3 — (п(1+)/х)+Ь вЂ” )/Ц~+ Ц+Д ) )'~~ — 0(р ). (4.1.202) 43на. Обтекание сферы прн малых чнслнк Реанельнсе В качестве последнего примера рассмотрим задачу обтекания сферы при малых числах Рес!нольдса, которая обсуждалась в и. 2.1.4.
Этот пример отличается от предыдущих тем, что он описывается дифференциальным уравнением в частных производных. Кроме того, он показывает, что иногда необходимо преобразование сжатия, а не растяжения. Функция тока удовлет- Откуда )/ 2!! = 3 + Р [ б — 21п 2+ 2 1и !с — )/ $ ($+ 1) + Агз)! )Г~~ + О(!св). (4.1.201) й.д Метод срижиъиния исимититичесяия рияяиясений !зз воряет уравнению в частных производных четвертого порядка (2.1.37) и граничным условиям (2.1.39) и (2.1.40). Разложение Стокса.
В п. 2.1.4 было получено прямое разложение (2.1.59), которое Лагерстром и Коул [1955) назвали разложением Стокса. Оно было получено с помо~пью так называемого предельного перехода Стокса: Р 0 при фиксированном г. Как было отмечено в п. 2.1.4, разложение Стокса удовлетворяет условию (2.1.39) на поверхности сферы, но не удовлетворяет условию на бесконечности (2.1.40). Таким образом, разложение Стокса становится непригодным при г — оо (парадокс Уайтхеда). Разложение Озеена. Чтобы выяснить причину этой неравномерности„ Озеен [19101 исследовал относительную величину „конвективных" членов, которыми Стокс пренебрег, и „вязких" членов, которые были Стоксом оставлены. Правая часть уравнения (2.1.45) показывает, что пРенебРегаемые члены =0 ( †„~, (4.1,203а) /!1~ в то время как перекрестные члены, оставляемые в (2.1А2), равны дгъ [ с" дз(ыиВДО)1 ъйъ =0(гъ ~ ' (4.1.203б) Следовательно, =О (!тг) при г- оо, (4.1.203в) н разложение Стокса становится непригодным при г, возрастающем до 0(ес ').
К этому выводу можно прийти также, заметив, что причиной неравномерности является член — (Зг16) Ргъз!пяОсоз0 в частном решении, который не ведет себя надлежащим образом при г — оо. Следовательно, разложение Стокса пригодно, пока этот член мал в сравнении с членом — (3/4) гз)пъО в ф„и разложение Стокса становится непригодным, если эти члены имеют одинаковый порядок, т. е. если г!т =0(1). Эти соображения позволили Озеену [19101 получить приближение к потоку, пригодное везде.
Это два первых члена того, что Лагерстром и Коул [1955! назвали разложением Озеена. Разложение Озеена получается с помощью предельного перехода (Узеенаь !с — 0 при фиксированном р= — Ю. Отметим, что переход х р является преобразованием сжатия„а не растяжения. В но- !86 Гл. о. Метод сраи!иаанип осимптотинеских разложений вых переменных уравнение (2.1.37) примет вид В'з) = —. ~зрэ — — зр — +2 с1пОзро — 2 — ') Вхф, (4.1.204) !!* Г д д Фе ! р'Мп 8 ~, др од8 где (4.1. 205) одночленное разложение Стокса (двучленного разложения Озеена) =-двучленному разложению Озеена (одночленного разложения Стокса) = ! ! 3 ! = — — р' з!п' 6 — — р з)п' О.
(4.1.206) с !!а 4 !! Таким образом, разложение Озеена (обозначаемое через зр') должно иметь вид ф'= ~ ур'з!п'О+ !., Чс,(р, О)+Чс,(р, 6). (4Л,207) Первый член соответствует решению Стокса. Подставив это разложение в (4.1.204) и приравняв коэффициенты при Я, получим ( В' — сов Π— + — — ) В'Чс = О. д Мпв д! др р дв/ (4.1. 208) Это уравнение называется уравнением Озеена. Оно было получено Озееном из физических соображений. Чтобы решить уравнение Озеена, мы, следуя Голдстейну (1929), положим ВзЧс, = сре!ыз! о в (4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
