1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 20
Текст из файла (страница 20)
3.1.4 и 3.!.5 до второго порядка. 3,19. Рассмотреть решение следующего уравнения в виде однородных распрссграняющихся волн им — и к+и=ела. Решения искать в виде и=аехр!(Фх — ы!)+высшие гармоники. Определить сдвиг частоты и волнового числа. 3.М.
Рассмотреть задачу и! ! + ихх + ихххх и (х, О) = а соз йх, и! (х, О) = О. (а) Построить прямое разложение первого порядка. (б) Сделать зто разложение равномерно пригодным, применив метод перенормировкн. (в) Определить разложение, пригодное для 1=0(а-!), лспользуя метод растянутых параметров. (г) Показать, что частота становится непригодной вблизи й= 1. (д) Удалить особенность, применив метод перенормяровки к втой частоте. (е) Показан*, что в результате получится ошибочное разложение.
12! Улрахснмшя 3.2!. Рассмотреть задачу на собственные значения срхх+ срм,, + )сср = зхэср, ср(х, 0)=ср(х, л)=ср(0, у)=ср(л, у)=0. Построить разложение первого порядка, если )с близко к 2 или к 5. 3.22. Рассмотреть задачу рсфср+?ьр=зг (х, у, 2) ср, где ср обращается в нуль иа поверхности куба со стороной л. Построить разложения первого порядка, если )с гх 3 или 6, если (а) 1=-хз и (б) (=-хау. 3.23.
Поперечные свободные колебания шарнирно закрепленной балки при- водят к краевой задаче Есшхххх Тшхх+ рюсс = 0 ЕБ с" Т= — ) (ш )зс(х, 21,) а ш(0, 1)=ш(1, 1) =шах (О, 1) =ш х(1, 1) =О, лх ш(х, О) =аз|и —, шс(х, 0)=О, 1 где Е, 1, р, Я, а и ! — постоянные. Построить раэлоясение первого порядка для малых амплитуд (Ивенсен (1968)).
3.24. Рассмотреть задачу (х+зу)у'+у=О, у(1)=1, (а) Построить прямое разложение второго порядка. Какова область неоднороднскти? (б) Сделать зто разложение равномерно пригодным. используя метод пере- нормировки. (в) Построить разложение первого порядка (два члена по у и три члена по х), используя метод Лзйтхилла, и сравнить его с разложением, найденным в и. (6). (г) Найти точное решение, поменяв ролями зависимую и независимую переменные, и сравнить с решениями, найденными в и. (6) и (в). 3.25. Показать, что равномерно пригодное разложение для задачи (х+ ау) и'+ ху = Ье-", у (1) = е-с имеет вид у=а"4 (Ь !и $+ !)+ О (в), где х=й — '. (б!п(:,+Ь+1)+0(зз). 3.26.
Рассмотреть задачу 1 (х+зу)у' — у=1+ха, у(1)=!. 2 (а) Построить прямое разложение второго порядка и исследовать его равномерность. (б) Сделать эта разложение равномерно пригодным, используя метод переиормировки. 122 Гл. 8. Л!е»юд р»ге»янутых координат (в) Получить разложение первого порядка, используе метод Лайтхилла, н сравнить результат с п.
(6). 3.27. Используя метод перенормировки, сделать разложение из упражнения 2.12 равномерно пригодным. 3.23. Рассмотреть задачу (к» (-еу) у'+лк"-'у — тки т=-О, у(!) =-о > 1. (з) Показать, что точное решение имеет вид кну-1 — еуз=л"'+!1о+ — еоз — ! ). 2 ' 1 2 (6) Показать, что применение л~етода Лайтхилла дает ,(е»„! о Цй-» ей (уо о ) шО( з) 2 (и — т) $~+п(о — Ц ' (в) Показать, что приближенное решение непригодно вблизи х=О, за исключением некоторых значений т и л (Камсток (1963)), (г) Ввести новую переменную х=-к» в исходную задачу и затем, растянув х, построить приближенное решение для у.
Определить условии, прв которых новое разложение будет пригодным вблизи начала координат(Вернсзйд (1970)2 Исходя иа мого, определить роль аамены независимой переменной в превращении приближенного решения в равномерно пригодное. 3.29. Рассмотреть задачу ди, ди (1+си) — + — =О, и(к, 0)=егр(к). дх ду (а) Опоеделнть прямое разложение первого порядка при е ч(1 и исследовать его равномерность. (6) Сделать зто раалаженне равномерно пригодным, используя метод пере- нормировки. (а) Построить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить результат с п. (6). 3.30. Рассмотреть задачу игг с икх — ихихх 3 и (О, Г)=егр(Е), гр (!) — — 0 при !~О, и (х, О) = 0 при к ) О.
(а) Построить прямое разложение первого порядка и сделать ега .,равномерно пригодным", используя метод перенормировки. (6) Определить разложение первого порядка, используя метод Лайтхнлла, и сравнить с п. (а). Показать, что перенормнровка и вместо и„приводит к неверным результатам. З.З!. Рассмотреть задачу (Лайтхнлл (1949а)): ди и /дзо с!ой — + — и=и ~ — + — ), и=о дх х+ у (дкз ду) ' и(х, 0) =о(х, 0)=0, и(0.
У)=агу(у)у-", О (и ( 1, 023 йгпражнеипя где ф(О) =-. О. Показать, что равномерно пригодное разложение первого порядка имеет Вид и = ар (т!) (х+т[)-ь -1- О (ез), р(Ч) (х+Ч) +О (ьз) 1 — п 3.32. Рассмотреть задачу игг — с и„х=еихи„х, 3 и(х, 0)=[(х)+п(х). иг(х, 0)=-с(д'(х) — !'(х)), где [(х) и я(х) — ограниченные функции х. (а) Опредепить прямое разложение первого порядиа. Можно ли сделать его равномерно пригодным, используя метод перенормировки) (б) Получить разложение первого порядка, используя метод растянутых координат.
3.33. Рассмотреть задачу ер'+и= 1. р(1) = 1. (а) Показать, что метод Лайтхилла не дает равномерно пригодного разложения. (б) Показать, что растяжение и вместо х дает равномерно пригодное разложение (в) Исспедовать, может ли растяжение у' дать равномерно пригодное раздожение для ар" +р'+и=О. р(0)=со р(П=[). 3.34. Рассмотреть задачу и+ и=в/(и. й). (а) Показзтгь что метод растянутых координат (МРК) приводит к п=пз!псу+0(а), ф — "а+с, где ! = + а! (а) +..., 1 Г а(,"=а= — — у [аз!и ~р, асоыр) сов гррр, зп ! Г 2а(;=[)= — „) ![аз!п~р, а созгр] жп~рйгр.
ь (б) Показать, что а=О и р — постоянная, такая, что г, =(!/2) [Ь-г а+ сонэ!. (з) Исходя из этого показаттч что МРК дает только предельные циклы или предельные точки для этой задачи (Найфз [!966[). ГЛАВА 4 Метод сращивания асимптотических разложений и составные разложения Результаты 9 3.5 показывают, что с помощью метода растянутых координат нельзя получить равномерно пригодные разложения в случаях, когда в некоторых областях изменения независимых переменных зависимые переменные испытывают резкие изменения. В таких случаях, как правило, прямые разложения становятся непригодными в указанных областях, и почти тождественные преобразования независимых переменных (растянутые координаты) не могут компенсировать этих резких изменений.
Чтобы получить равномерно пригодные разложения, мы долхсны выяснить и использовать тот факт, что эти резкие изменения характеризуются увеличенными масштабами, отличными от характерных масштабов изменения зависимых переменных вне областей резких изменений. Один из методов, связанных с этой проблемой, заключается в построении прямых разложений (называемых внешними разложениями) с использованием исходных переменных и в построении разложений (называемых внутренними разложениями), описывающих эти резкие изменения и использующих увеличенные масштабы.
Внешние разложения становятся непригодными в областях резких изменений, в то время как пригодность внутренних разложений нарушается при выходе из этих областей. Чтобы связать эти разложения, используют так называемую процедуру сращивания. Этот метод называется методом внешних и внутренних разложений, или, по Брезертону [1962), методом сращивания (сшивки) асимптотических разложений.
Другой метод построения равномерно пригодных разложений основан на предположении, что каждая зависимая переменная является суммой, состоящей из: 1) части, характеризующейся исходными независимыми переменными, и 2) частей„характеризующихся увеличенными независимыми переменными, причем каждой области резких изменений отвечает своя часть в этой сумме. Это является простейшей формой метода составных разложений. В последующем параграфе мы опишем метод сращивания асимптотических разложений. За более подробной библиографией и приложениями этого метода мы отсылаем читателя к следующим работам: Ван Дайк [1964[, Вазов [1965[, Коул [1968[ и 4Л.
Метод сраиссманин асимлтотиееских раэнслтний 1Ж О'Малли (1968б). Кэрриер (1970) сделал обзор применений этого метода в гесхризике, а Жермену (19671 принадлежит обзор его применений в аэродинамике. 4.1. Метод сращивания асимптотическнх разложений 4ЛЛ. Внеденне: метод Прнндтлн Чтобы описать метод сращивания асимптотических разложений, рассмотрим простую краевую задачу ву" +у'+у — О, (4.1.1) у(0)=а, у(1)=р, (4.1.2) введенную в п. 2.2,1. При в 0 уравнение (4.1.1) приводится к виду Определение подходящего преобразования растяжения будет обсуждено ниже в этой главе. После этого преобразования уравнение (4.1.1) примет вид дои ду — + — „+ау=О дР д~ (4.1.6) у'+у=-О. (4.1.3) Это уравнение является уравнением первого порядка н не может, вообще говоря, удовлетворить общим граничным условиям (4.1.2).
Следовательно, одно из этих граничных условий должно быть опущено. В п. 4.1.2 будет показано, что должно быть опущено условие у(0) =а. Это можно видеть также и из точного решения (2.2.7). Если е — О, то при фиксированном хФ 0 у — (1ес ", (4.1.4) что является решением предельного уравнения (4.1.3), подчиненным условию у(1) =(1. Решение предельного уравнения обозначим через у' н будем называть внешним решением. При малых е решение предельного уравнения близко к точному решению (2.2.7) всюду, за исключением малого интервала возле конечной точки х= О, где точное решение быстро изменяется так, чтобы удовлетворить краевому условию у(0) = а, которое было почти потеряно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
