1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чу [1963] и Мортелл [1971] изучили автоколебания в трубе. Лик [1969] проанализировал распространение волн в изэнтропических, химически реагирующих сжимаемых жидкостях, а Лессер [1970) изучил распространение волн в неоднородной среде. Паркер и Варлей [1968) рассматривали нелинейное взаимодействие волн растяжения и Го. д. Метод раотянуаык координат изгиба в упругих мембранах и струнах. Портелл и Варлей (1971] исследовали нелинейные свободные колебания упругой панели. Ричмонд и Поррисон (1968! применили этот метод к осесимметричной задаче пластичности. Девисон (1968) получил разложение до второго порядка для нелинейных упругих волн в изотропной среде с использованием характеристик в качестве независимых переменных.
Сейчас мы продемонстрируем этот метод на примере определения первого приближения для нелинейных упругих волн в анизотропной среде. Пусть и н р — перемешения вдоль направлений х и д. Тогда рип — — а„, (3.2.98) роа=т (3.2.99) где р — плотность материала. Положим Р= и„, (;) =рк и предпо- ложим, что напряжения а и т являются полнномамн от Р и (~, такими, что о„— Х+2и, ао О, (3.2.
100) тр — О, то — ~р где А+ер е и с = о— С„=— р ' " р (3.2.103) Здесь ср и с,— скорости распространения продольных и поперечных волн. Полагая (3 2 104) н подставляя (3.2.101) н (3.2.102) в (7.2.98) н (3.2.99), получаем 77,— соР„=аР„+()!) +..., (3.2. Р36) 5,— с (1к= — уР +Й) + .- ° (3 2!06) где (3.2.107) (3.2.108) (3.2.109) а=-а,Р-! аД, 8=а,Р+а,(',1, у=Ь,Р+Ь,!1, Ь=Ь,Р+ЬД. Поскольку Р = и„н !',! = р„, то (3.2.104) дает Р,= )7„, (~,=3„. при Р и 9- О. Здесь ) и р — коэффициенты Лама в линейной теории упругости.
Таким образом, — с,',Р + — а, Р'+ а,Р(1+ — ае1,!'+..., (3.2.101) — =сЯ + ~ Ь,Р'+Ь,РЯ+-ЬД'+..., (3.2.102) 3.2. метод лалтхилла Заметим, что мы представили систему двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.2.98), (3.2.99) как систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которая является более удобной для применения метода растянутых ксюрдпнат. Для окончательной формулировки задачи необходимо установить начальные условия. Мы рассмотрим случай, исследованный Девисоном [1968].
В этом случае в начальный момент времени материал, занимающий полупространство х)0, покоится и находится в ненапряженном состоянии, а возмущение возникает в точке х=-0; т. е. Р(0, Г)=-агр(!), !!(О, !)= — аф(!) при !)О, Р (х, О) = Я (х, О) =- )г (х, О) = 3 (х, О) = — 0 при х ~ О, ср(!) =ф(!) =0 при К(0, (3.2.11 1) где гр и ф †известн функции, а е †мал, но конечная безразмерная величина. Условие (3.2.111) означает, что вдоль приходящих характеристик Р и 9 обращаются в нуль. Чтобы получить равномерно пригодное разложение для этой задачи, мы разложим зависимые и независимые переменные как функции от е и параметров исходящих характеристик в и ть т. е.
Р=еР,(ч, г))+е'Р2($, и)+..., (3.2.1 12) 9 = — еЯ,($, т!)+е'9,($, 11)+..., (3.2.113) Л = а)? (ь. ч) + е')С. (ь т)) + ° . (3.2.114) З=-е3, й, т))+е'Зв(В т))+ (3.2.1!5) х==х,(Ц, и)+ех, (с, и)+е'х,(Ц, т))+..., (3 2 116) ! = 1„(Е, 11)+а(,($, ц) -)-ей!, (Ц, 11) +.... (3.2.! 1?) Для членов первого порядка в разложениях Р н 1;! характеристические волновые скорости могут быть определены из соотношений (3.2.105), (3.2.106) и (3.2.109) и определяются равенством с=~ (ср+~ ) 1 ~ (св ! 2 ) ° (3.2.118) Таким образом, с точностью до 0(Р, Я) исходящие характеристики определяются из хч = с1!чэ (3.2.
119) х! =с,!ы (3.2.120) где с, и с,— положительные скорости, определяемые соотношениями (3.2.118). Чтобы зафиксировать параметризацию, необходимо поставить начальные условия для х и 1. Выберем эти усло- Гл. д. Метод растянутых яоординат вия в виде хй, К)=0 и 1Ц, Ц) =~. (3.2.121) При переходе от независимых переменных х и 1 и $ и т! заметим, что д дх д д! д д! / д д 1 —.=--+ — — = — !' — +С вЂ” ~ оЕ сВ, дк д$ д! д5 ~ д! Я дху ' (3.2. 123) Следовательно, д ! /! д ! д~ к се — с,~ еоЕ !, й!7 д (3.2.124) д — ! с, д се д) д! с,— с,!! д5 !„дч Подставляя (3.2. 112) — (3.2. 117) в (3.2. 105), (3.2.
106), (3.2.100) и (3.2.!18) — (3.2.122), используя (3.2.124) и приравнивая козф!)!ипиенты прн равных степенях е, получим порядок е" х~щ ся(он = 0 Хе» с 10! О х.й, в) =О. 1.й. Б)=Е, (3.2.125) (3.2.126) (3.2.127) порядок е (3.2.128) (3.2.129) (3.2.130) (3.2.13 ) (3.2.132) — 1 (с Р +Я )!+1ея(СР +Д) =О, — 1т (ар!с, +3,)а+!ее(се(~, +3,)„=0, (х, — са(,)н = — са (а,Р, +аА,)1яч, (хя — сфя)%= 2 с, (Ь,Ре+53(с!) !О 1 ! Х1(Е. В) =11(Б, й) =о, Р й й)=Ч й), (2 й, Е) ='ФК), Р,(0, т!)=-Я, й, 0) =К,(0, з)) =3, й, О)=0.
(3.2.133) (3.2.134) (3.2. 135) Начальные условия (3.2.110), выраженные через новые независимые переменные, примут вид Рй, К)=еср($), 1;!(5, в)=ефф), Р(0, з))= 1;! й, О) = И(0, з!)=3й, 0)=0. а.2. Мельад Лайльхььеха Решение задачи (3.2.125) — (3.2.127) имеет вид срс К вЂ” Ч) сл$ — соЧ хо= (о— с сь сл — сь (3.2.136) и является просто линеаризованными характеристиками — — 1 — — = т!.
хо хо о с„ о со Подставив выражение для 1, из (3.2. 138) в уравнения (3 2, 128)— (3.2.131) и решив полученные уравнения при условиях (3,2.!35), получим (3.2.137) (з, Ч) = — Слс(ь(с), оь(ь, о)) = — соь(ь(т!), что является просто решением линеаризованной задачи без множителя а. Подставив это решение в (3.2.132) и (3.2.133), получим (х, — ср1,)ч = 1,а,ьр ($) (- Г,ось~.(т)), (х,— с! )а=ГЬ с!ьД)+ГЬ ь(ь(ь)), где (Г„Г,) = — (1/2) (ср — с,)-ь (с,/се, — с /с,). Решение уравнений (3.2.!38), подчинейное условию (3.2.134), имеет вид о х — сл1 =Г и (о) — Ц с(ь (оь)+Г о ~ ь(ь(Д с(еь, В (3.2.!39) х, — с,(ь = ГоЬ, ~ ср (Г) с(~+ Г.Ь, 6 — т!) ьр (ь)) Поэтому равномерно пригодное разложение первого порядка имеет вид Р=щ ®+0(е'), )ь'= — ес Чьй)+0(е )' 3 2 140 0 =-еь!ь(о))+0(ео), 5 = — есььр(т!)+0(ео) где $ и т) определяются из равенств Как н в описанной в предыдущем разделе задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, равномерно пригодное разложение до первого порядка есть просто линеаризованное решение, в ко- х — с,,г = — с,Д+еГь х — с,! = — с,о)+еГо ч оьо — ь) оььье Д(оьо)а~ ь,)оьоьььоь,ьь — оьо(о)~ + 0(е'), (3.2.141) +0(е').
Гл. я. метод ристянутых еюлдиаат юв 3.3. Метод Темпла Чтобы определить равномерно пригодное разложение для задачи — = г (х, и, е), и (х,) = и„ (3.3.1) Темпл [1958[, подобно тому, как это делал Лайтхилл, ввел новую независимую переменную я и предположил, что иг и(я, я), х=х(я, я). (3.3.2) Лайтхилл предполагал, что и =и,(я)+ац (я)+е'и,(я)+..., х =я+ах,(я)+а'х,(я)+... (3.3.3) (3.3.4) и выбирал х; так, чтобы оба эти разложения были равномерно пригодными. Темпл же заменил исходное уравнение двумя эквивалентными уравнениями —, = [l (х, и, я, я), (3.3.6) такими, чтобы [1 и Х были регулярными по а. Затем он нашел прямое возмущенное разложение для и и х.
Таким образом, метод Темпла систематическим образом определяет хо Аналогичный подход использовали Уизэм, Лайтхилл, Фокс, Линь и Девисон. Он обсуждался ранее в случае гиперболических уравнений, где построение равномерно пригодных разложений достигалось разложением по одному или нескольким параметрам характеристик. В качестве примера рассмотрим задачу (х+ау) — „~+(2+х)у=О, у(1)=е '. ая (3.3.6) Этот пример обсуждался Темплом.
Он является частным случаем задачи (3.2.9). Темпл заменил вышеприведенное уравнение на я — =х+ау, я — = — (2+х)у. дф 4Ь тором линеаризованные характеристики заменены характеристиками, вычисленными с использованием нелинейных членов первого порядка. Решение может быть непосредственно продолжено до высших порядков. В изотропном случае решение до второго порядка получили Девисон [1968) и Напр и Неммат-Нассер [1971[ для однородных и неоднородных материалов соответственно. 3.4. Л1етвд оереиориироеии Эти уравнения аналитичны по а и обладают следующими разло- жениями: (3.3.8) (3.3.9) х = — з (1+ езр (з)) + О (аз), где зр (з) =- )г з 'е ' з(з.
1 (3.3.10) При а — 0 имеем х=э — 3 ез о+О(Я 3 з), 1 (3.3.11) (3.3.12) у = з- ' — — ез-з+ О (а за-з). 1 б Следовательно, при х =0 у=Я +О(е-11з), / 3 аз/з (, з,) (3.3.13) 8.4. Метод перенормировки Притуло (19621 показал, что для определения равномерно пригодного возмущенного разложения для данной задачи нет необходимости вводить в дифференциальные уравнения преобразование (3.2.2) и затем определять $„. Вместо этого можно выписать прямое разложение, выраженное через исходные переменные, и лишь затем ввести преобразование (3.2.2) в полученное прямое разложение.
Чтобы сделать это разложение равномерно пригодным, мы наложим условие Лайтхилла, требующее, чтобы особенность не увеличивалась с ростом порядка приближения. Таким образом, для определения $„мы получим не дифференциальные, а алгебраические уравнения, что упрощает всю процедуру. Однако Притуло предполагал, что коэффициенты ряда (3.2.1), за исключением, быть может, лишь и„удовлетворяют линейным уравнениям, и утверждал, что при этом условии метод становится эффективным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
