1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 19
Текст из файла (страница 19)
и=я Подставив это выражение в (3.5.5) и приравняв коэффициент при созйх к нулю, получям й'=!+ — е +.... 3 4 Следовательно, +8 + 3 (3.5.6> что отличается от (3.5.4). Поэтому разложения (3.5.3) и (3.5.4) неверны. Верное разложение, пригодное вблизи )г =-1, получено в п. 6.2.8 с помощью метода кратных масштабов. Ззк2.
Малый параметр прп высшей пропзволпой Леви [1959] показал, что применение метода растянутых координат к задаче о цилиндрической ударной волне (приведен- ной в упражнении 2.3) приводит к некорректным рез>льтатам. Толщина ударной волны, которую нашел Ву 119561, не зависела от величины скачка, что противоречило результату, полученном> Леви с помощью топологического анализа. Вместо того чтобы показывать непригодность разложения на примере цилиндрической ударной волны, мы, следуя Леви, обсудим более простую задачу, обладающую теми же особенностями, но имеющую точное решение для сравнения. Уравнение имеет вид е — = — хд — 1, дх (3.5.7) где е — малое положительное число.
Точное решение этого урав- нения, проходящее через точку (х„ у,), имеет вид гг — гг е(~о х )/яв е-хч!яч ) аачяес(г (3.5.8) в что ограничено при гх 1. Нейтральная устойчивость соответствует о=О, т. е. сх=!, нли, согласно (3.5.1), й =1+ — а'+.... 9 32 ' (3.5.4! Гя. а. Метод растянутых каардннят Прямое разложение метода возмущений можно получить, положив Ф у= ~ч; вну„(х) (3.5.0) =О Подставив (3.5.9) в (3.5.7), приравняв коэффициенты при равных степенях е и решив полученные уравнения, придем к решению у= — х ' — ех ' —...— 1.3 5...(2п — 1)е"х '" ' —....
(3.5.10) Можно проверить, что (3.5.10) является асимптотическим разложением точного решения (3.5.8) при больших х. Заметим, что это разложение становится непригодным вблизи х=0, потому что первый член сингулярен, а члены высших порядков все более и более сингулярны. Если х=О(ен'), то все члены этого разложения имеют порядок 0(е-ст). Таким образом, это разложение никогда не будет адекватным разложением в области х =:-0 (е"').
Чтобы применить метод растянутых координат к этой задаче, в разложении (3.5.10) положим х=з+ех, (з)+е'х,(з)+-..., 1 У= —— я (3.5.12) х=з+ —,. ++.. +,—,„",+..., (3.5.13) ! а,„=-(4т — 2) я а,„,,а„, + — ат, т ) 2, ~,-О ~ (3.5.14) т-1 а, +, — — 4т ~~~,' а,„,а„+„т ) 1. на в Йз последних соотношений следует, что а„> 2н ' (и — 1)1, и > 2. (3.5.15) Поэтому разложение (3.5.13) расходится; фактически оно является более" расходящимся, чем (3.5.10), и теряет смысл, когда х подходит к 0(ан'). Все, что достигнуто,— это замена не- разложим полученное равенство по е при малых е и соберем коэффициенты при равных степенях е. Растягивающие функции затем выбираем так, чтобы члены высших порядков были не более сингулярны, чем первый. В данной задаче это приводит к уничтожению всех членов, за исключением первого.
В результате имеем д.д. Ограничения метода растянутых «оординат 117 пригодного разложения по одной переменной на непригодное разложение по другой переменной. Причина непригодности полученного разложения заключается в отбрасывании высшей производной, что мало сказывается при больших х, но становится существенным, когда х приближается к области 0(е' '). З.Б.З.
Задача о коочкческом корабле Земли — Луна в это разложение, получим — 1 ., 1 ~' 2( == -к з!п ' р ) з —, ) з (! — р'з) + РР— 1 + ! ! ~+0(ре) (3517) 2(1 — Р) ' 1 — 5 Растягиваю!дая функция х, выбирается так, чтобы выражение, стоя!пее в квадратных скобках, было не более сингулярно, чем первый член, если з — 1. Таким образом, 1 х, = — 1п (1 — з).
2 (1 — Ре) (3.5.18) Здесь растягивающую функцию можно было бы выбрать так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль. В результате получим разложение первого порядка ~/2! = —,з!п 'рр з — е$~ з(1 — Р з) + 0(р'), (35.19) у = — )сиз+ 0 ()ее), (3.5.20) где х = з — —,! и (1 — з) +. 0 ()! е).
1 и (3.5.2!) Сравнивая это разложение сточным решением, Найфэ (1965а) показал, что оно дает отклоняющуюся траекторию вблизи Луны, хотя разложение, полученное в одномерном случае, достаточно хорошо согласуется с точным решением. В одномерном случае имеет место особенность при х=1+)с!(! — р')+0(р'), которая Ниже мы покажем, что применение метода растянутых координат к двумерной задаче о космическом корабле Земля — Луна (введенной в п. 2 4.2) приводит к непригодным разложениям.
Чтобы сделать разложение (2.4.17) и (2.4.18) равномерно пригодным, применим метод растянутых координат. Подставив х=з+)ех, (з)+... (3.5.16) Гл. 3. Метод ростлнятых координата находится вне интересующей нас области О ~х ( 1. В прямом разложении особенность сдвигается в точку х= 1, и растяжение х перемещает особенность из точки х= 1 в правильное положение.
Однако в двумерном случае имеет место резкое изменение в направлении движения космического корабля в окрестности Луны, и растяжение порядка О (р) не может компенсировать такое резкое изменение. Упражнения 3.1. Рассмотреть задачу и+и=сиз, и(О)=а, й(О)=0. (а) Определить прямое разложение второго порядка (три члена) и исследовать его равноиерность. (б) Сделать зто раздожение равномерно пригодным, используя метод пере- нормировки. (в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка (два члена), используя метод растянутых парамеров, н сравнить результат с и. (6). 3.2. (а) Показать, что свободное движение точечной массы вдоль параболы хз=2ра, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью го, описывается уравнением ~ 1+ — ) х+ — + ~ — — ша) х=О.
(б) Определить двучленное прямое разложение для малых амплитуд и исследовать его равномерность. (в) Сделать то разложение равномерно пригодным, нспольауя метод пере- нормировки. г) Построить одночленное равномерно пригодное рааложенне помощью метода растянутых параметров и сравнять результат с и. (в), 3.3. Определить двучленное равномерно пригодное разложение при малых амплитудах для решения уравнения 0 + — арл О=О, И 1 описывающего колебания маятника. 3.4. Псстроить равномерно пригодное разложение второго порядка для периодического решения уравнения и + и = з (1 — иа) й, заметив, что амплитуда не произвольна. 3.3.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для периодического решения системы уравнений й -) и = в (! — а) и, та+а=из, где г — постоянная. 119 Упражнения 3.6. Рассмотреть уравнение и+вои =еи'+ й соз вй Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если (а) во 2со (указание: положить во=2в+во и и=ио+еи,, где ио= = а соз (2в/+ 6) + (1/3) Ьв — э соз вй затем определить а и б иэ уравнения для ис); (б) соо оз в/2 (а в этом случае проиавольно). 3.7. Рассмотреть уравнение й+вои =оиэ + й соя вт. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если (а) во оэ лсо и (б) во в/3. 3.3.
Определить разложения второго порядка для нечетных решений, состветствующих переходным кривым уравнения и+ (6+ э соз 2!) и = О, где 6 близко к 1 или к 4. 3.9. Рассмотреть уравнение би и+ =О. 1+е соэ 21 (а) Построить разложения второго порядка для переходных кривых нблиэи 6 — — О, 1, 4 (Шень (1959)).
(б) Испольауя метод Уиттекера, построить разложение второго порядка для и вблизи этих кривых. 3.!О. Рассмотреть уравнение б — эссэ с и+ и=О. 1 — э соз' / (а) Определить рааложения второго порядка для первых трех переходных кривых (Рэнд и ))зон, (1969)) (т. е. вблизи 6 =0, 1 и 4). (б) Испольауя метод Уиттекера, найти и вблизи этих кривых. 3.11. Рассмотреть уравнение й+(б+а созо 1) и=О.
Определить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых„ используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера. 3.12. Определить с точностью до 0(э) периодическое решение уравнения (Малхолланд (197!)) и+ и+ й+ и = (1 — ио — сР— йэ) (й+ и). 3.13.
Построить разложение первого порядка для уравнения й() =Шо подчиненное условиям: (а) и (0)=и(п)=0 и (б) и(1): и(1+2п). Гх. 3, Метод расптиртих координат Рйо 3.14. Определить разложение первого пор!шка для системы уравнений й+ки=в(з!п2!+и*) и, и (!) =и (!+2л). 3.15. Построить разложения первого порядка для задач (а) й ирки=зги, и(=и(!+2т!). (б) и+Хи=с(а соз 2!+(! жп 2!) и. и(О = и (!+2л)- 3.16. Определить разложение первого порядка периодического решення при малых амплитудах для снстемь! уравнений й х+ — к+я (1 — соз О) — (!+х) Оз=б, О+ — и — э!и 0-1- — х 0=0, 2 (пвх !+х которая описывает колебания качающейся пружины длиной 1. й — постоянная, ы~ = аут — 4!эх! = 4я/!.
3.17. Свободные колебания шарнирно закрепленной балки на упругом основания описываются краевой задачей ихххх+ уи+ еуи'+ ип = О и(О, !)=-и(л, !) =ихх(О, !) =и х(", !) =О, 'и(х, О)=агйпх, иг(х, О)=О, где у, а и з — постоянные. Построить раэложення до 0(в) для частоты коле- баний (Хан [19бб!). 3 13, Продолжить рзэлогкення нз п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
