1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Потенциал !р должен удовлетворять трем граничным условиям. Первое граничное условие: скорость воздуха на поверхности цилиндра равна скорости его расширения, т. е. — (еа,1) + ва„. (3.2.46) Вторым граничным условием будет условие непрерывности потенциала !р при переходе через ударную волну. Поскольку в покоящемся воздухе !р =О, то ср = (Маеф) = О. (3.2.47) Третьим условием будет соотношение Рэнкина — Гюгонио между скоростью ударной волны и скоростью воздуха за ней: йр( 2ар !Ме — 1) (3.2.48) аг а" н (т+ 11 Ря.
Э. Метод растянутых яаорданат Поскольку задача не имеет характерного линейного размера, все характеристики потока являются функциями лишь от г!а„Г, Положим хр =- а„*1р (х), х = —. ая~ (3.2.49) Тогда задача примет вид 1 — х' + (у + 1) х — — (у — 1) 1 — — (1 + 1) — —,. + а( + — 'Я1+(у — 1) ~ — "~ — 1 —,' ®'1 ~=0.
(3.2.50) Граничные условия примут вид д! „— (е) =а, дх (3.2.51) (3.2.52) (3.2.53) 1(М)=0, яв Мв — (М)=2 Используя приведенные граничные условия, найдем, что к )'=ав~ 1 — — 1с(х, М=1. -я 1 хв 1 (3 2 55) Это приближенное решение не имеет физического смысла для х > 1, а число Маха распространяющейся ударной волны должно быть больше единицы.
Чтобы получить пригодное разложение при к > 1 и определить, насколько М превышает единицу, представляется удобным преобразовать уравнение второго порядка (3.2.50) в два уравнения первого порядка. Положим дх = й'. ф (3.2.56) Поскольку имеются три граничных условия, наложенные на дифференциальное уравнение второго порядка, то должно существовать соотношение между М и е. Так как а мало, то 1 мало, следовательно, члены нулевого порядка в прямом разложении являются решением линейной части уравнения (3.2.50). Она имеет вид (1 — х') — + — — = О. дв) 1 д( дхв х дх д2. метод лаатхамла Предположим, что имеют место следующие разложения: ей~ +е4) + (3.2.57) а= 'ь+ 'й'*+.
(3.2.58) х=а+е'х,(а)+е'х,(з)+..., (3.2.59) М =-1+е'М, + е'М„+... (3.2.60) Члены нулевого порядка опредечяются из уравнения (3.2.54) заменой х на з, т. е. Г! яо= ~/ 1 ° ~/ и 1.=) а.(В %. 1 (3.2.61) Задача первого порядка имеет вид (1 — ')а,'+~ —,' — (1 — а')аХ+( — 2ах, +(7+1)аа„— (у — 1) Иа,'+ +Ко (у — 1) ($80 — У вЂ” аиу =О (3,2,62) ~; =д, +дчх,'. (3.2.63) пр ~ . д. гтп — ~, ~, — 'гтп — >', д тельно, (3.2.62) примет вид д,= "' +2+1+0() 1 — з) при а- 1. (3.2.64) р 26 — а1 Граничное условие (3.2.53) дает е'д'„(1+а'М, +...
) +... = —, е'М, +.... (3.2.66) Подставив выражение для д; из (3.2.61) и приравняв коэффициенты при е', получим М, =О. Следовательно, Б=1+е41М вЂ” х (1))+... (3.2.67) йалее (3.2.52) и (3.2,57) дают У (1) =-О- (3.2.68) Таким образом, д, не будет иметь особенности кри а =1, только если х, =О, и, следовательно, д, (1) =7+!. Чтобы определить М„используем краевое условие иа ударной волне. Если з соответствует положению ударной волны х=М, то до порядка е' будем иметь а=1+а'М, +....
Гл. 3. Метод раппянутык лоординагл Уравнение второго порядка для йг, дает -1-0(1) при а — 1. (3.2.69) 2 г'2(1 — з) Для устранения особенности в дз положим ! х, =- — (у+!)'. (3.2.70) Следовательно, 2=1+к'[М,— (у+!)з/2), и с точностью до четвертого порядка граничное условие (3.2.63) дает г!г -~~ г ~ т ) ' — — 2гнн, ~- (г -г о— Решение этого уравнения имеет вид М,=З(7+1)з78. Следовательно, М =1+ — ', (7+1) а + О ('). (3.2.72) Пэнди [19681 исследовал случай цилиндра, ранномерно расширяющегося в неподвижной воде. 3.2ан Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла В качестве четвертого примера применения метода Лайтхилла рассмотрим построение равномерно пригодного разложения в задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, которая обсуждалась в п.
2.1.3. Прежде чем выписывать разложение, удобно преобразовать исходное уравнение второго порядка в систему двух уравнений первого порядка. Положим Тогда уравнения (2.1.19) †(2.1.21) примут вид и„— Взи„=Мз Иу+!) пил+(у — 1) ио„+ 2пп +кубические члены), (3.2.73) (3.2.74) и =п„, в и+еТи +... — еТ (х) при у — О, и(х, у)г р(х, у)=0 вверх по потоку. (3.2.76) (3.2.76) Прямое разложение для этой задачи было найдено в и. 2.1.3, но оно становится непригодным прн у- ао. Поскольку и и и обращаются в нуль вверх по потоку, равномерно пригодное разложение может быть получено растягиванием исходящих харак- З.2. Метод Лайатхалха 1от теристик (т. е.
х — Ву=сопз1). Положим поэтому и=еи,(ф, т))+е'и,(В, т))+..., (3.2.77) о = ес, ($, т1) + е тот (5, т1) +..., (3.2,78) где х — Ву=$+еб,($, т1)+е'6,Я, т1)+..., (3.2.79) у =и. (3.2.8о) Растягивающие функции 6, можно определить, наложив условие, что разложения (3.2.77) и (3.2.78) должны быть равномерно пригодными для больших расстоиний, т. е.
и,/и, и о,!о, должны быть ограниченными. Показано, что это условие эквивалентно требованию, чтобы $ было исходящей характеристикой нелинейных уравнений (Лайтхилл [1949а]; Уизэм [1952], [1953]; Линь [1954]; Фокс [1955]). Поскольку характеристики уравнения (2.1.19) определяются уравнением [1 — М'(у — 1) тр„+...] (г1х)'+ [2М'тр„+...] т(х Ну— — [В'+М'(7+1) тр„+...](т(у)т =О, (3.2.81) уравнение для исходящих характеристик имеет вид дх ~ =с, ар К =ооотт (3.2.82) где с= В+ ива (у 1)+(7+1)]и 2Вс)+ ' (3283) Уравнение (3.2.82) может быть переписано в виде — =с —. дх др дя дч (3.2.84) где х„=$+Вт) и хт=бт длЯ Р) 1.
(3.2.88) Для устранения произвола в параметризации необходимо задать начальное условие для х. Это условие принимается в виде хЯ, 0)=$. (3.2.87) Задача, таким образом, свелась к разложению зависимых переменных и и с, а также независимой переменной х как функций переменной т1 =-у и исходящей характеристики я по степеням е. Таким образом, (3.2.79) эквивалентно разложению х=х„($, т1)+ех,($, т1)+е'х,($, т))+..., (3.2.85) Гя. д.
Метод раетянутяех координат 102 Это эквивалентно такому выбору 6п при котором они обращаются в нуль при у =О. Чтобы перейти от независимых переменных х и у к ~ и о, заметим, что д д Х=хз— д д д д д — = х — +у — =с — + —. дп " дх ч ду дх ду* Здесь были учтены равенства (3.2.80) и (3.2.84). Следовательно, д1дд дед (3.2.88) дх хедж ' ду оя хада' Подставляя (3.2.77), (3.2.78) и (3.2.85) в (3.2.73) †(3.2.76), (3.2.83), (3.2.84) и (3.2.87), используя (3.2.88) и приравнивая коэффиниенты при равных степенях а, получаем порядок е (3.2.93) Решение уравнений (3.2.89) — (3.2.91), которое обрашается в нуль вверх по потоку, имеет вид о, = Т' ($), и, = — В-'Т' ($), (3.2.94) что совпадаетс линеаризованным решением. Таким образом, (3.2.92) примет вид х — М4 (у+ 1) В Я7"' (Д.
(3.2.95) Решение этого уравнения, подчиненное условию (3.2.93), имеет вид х, = — 2 М'(у+1) В-'11Т'а). ! (3.2.96) Поэтому первый порядок равномерно пригодного разложения дается первыми членами в (3.2.77) и (3.2.78), где х — Ву= 5 — еМ'(у+ 1) В"'уТ'(~) +0(а') (3.2.97) в соответствии с (3.2.85), (3.2.86) и (3.2.96). Это решение показывает, что равномерно пригодное разложение первого порядка х,вотч — (Воы+ В'и,1) = О, х„;и„,— (Ви, я+о,1) = О, о, а, О) = Т (5), х|Я эд (1В'(У вЂ” 1)+(7+1))и,— 2Вое), х, (з, 0) =О. (3.2.89) (3.2.90) (3.2.91) (3.2.92) З.л.
Мепкл Лайтхи.ыа для гиперболических систем уравнений есть просто линеаризованное решение, в котором линеаризованные характеристики заменены на характеристики, вычисленные пря включении нелинейных членов первого порядка. Тем же путем можно построить вксшие приближения. Ли и Шеппард [1966) получили второе приближение. В общей задаче потенциал скоростей ер не обращается в нуль вверх по потоку.
В этом случае равномерно пригодное разложение можно получить разложением зависимой и обеих независимых переменных х и у как функций а и обеих характеристик нелинейного уравнения й и т]. Таким образом мы увеличим систему уравнений (3.2.83), (3.2.84) добавлением уравнений, описывающих приходящие характеристики т], и включением разложения для у, аналогичного (3.2.85).
Ниже такая процедура будет показана на примере более общей системы гиперболических уравнений. а.в.э. Разложении с использованием точных характеристик: нелинейные упругие волны Для рассмотренных выше гиперболических дифференциальных уравнений равномерно пригодное разложение было получено растяжением одной из характеристик линеаризованного уравнения. Результирующая растянутая координата была лучшим приближением к точной характеристике. Линь [1954) и Фокс [1955[ обобщили метод Лайтхилла для задач с гиперболическими дифференциальными уравнениями с двумя независимыми переменными, выбрав характеристические параметры в качестве независимых переменных. Эта процедура сводится к растяжению двух семейств характеристик.
Таким образом они смогли рассмотреть общие волны в потоке жидкости, в котором исходящие и приходящие волны взаимодействуют. Верхаген и Ван Вейнгарден [1965] применили этот метод к задаче о гидравлическом прыжке. Гиро [1965), Осватич [1965) и Циреп и Гейнатц [1965) применили его к газодинамическим волнам конечной амплитуды. Гретлер [1968[ разработал косвенный метод расчета течения при плоском обтекании крыла, а Ван Вейн- гарден [1968] проанализировал колебания в открытой трубе, близкие к резонансу. Чу и Йин [1963[, Рем [1968] и Гендерсен [1967] рассмотрели термически возбуждаемые нелинейные одномерные колебания проводящей жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
