1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д. Мвтод раотлнитнл координат где — а=Ь + 4 =(а + — ) = — (7 — 3к33). (3.1.77) 47 4 Существуют две переходные кривые, пересекающие ось р при р =-р„соответствующие указанным двум независимым решениям. Взяв решение (3.1.75), мы получим следующую задачу для перного приближения: ! х,— 2у,' — Ь х, =(Ь,— — Ь,) сов т — Ь, совЗт, (3.1.78) ! у,"+2х,'— а,у, =- — а(а,+ — а,) в!п т+-ааов)п Зт. (3.1.79) 2 Члены, пропорциональные совт и в!пт, приводят к появлению вековых членов в частном решении для х, и у,. Чтобы определить необходимые условия уничтожения вековых членов, рассмотрим частное решение вида хр — О, ур — — сейп т.
(3. 1.80) Подставив (3.!.80) в (3.1.78) и (3.1.79) н приравняв коэффициенты при совт и в!пт, получим с= — (Ь,— 2-), с(а,+ 4 ) =а(а, + 2 ) . (3.1.81) Условие обращения с в нуль приводит к равенству ! г ! Ь вЂ” Ь = — а' (а -1- — а ! 2 о ( 1 2 о). (3.1,82) Так как Ь,= — а„то (3.1.83) Поэтому из (3 1.72) получаем !л, ж — 0,05641„ (3.1.84) Таким образом, переходная кривая с точностью до первого порядка имеет вид и = 0,02859 — 0,05641е+ О (е').
(3.1.85) Если бы мы использовали решение (3.1.76) для задачи нулевого порядка, мы бы получили вторую ветвь р = 0,02859 -1-0,0564 1е+ О (е'). (3.1.86) Приведенное выше исследование можно непосредственно продолжить до высших порядков. Оно было выполнено Найфэ и Кемалом 11970а] вплоть до четвертого порядка. дЛН Мопгод роопялутых лоролопроо 3.!.В. Характеркстнческне показателн длн треугольных точек а эллнптнческой огракнченной задаче трех тел Из теории Флоке известно, что уравнения (3.1.63) и (3.1.64) имеют нормальные решения вида х, у = етг [гр (1), о) (Д1, (3.1.87) где гр и гр — периодические функции с периодом 2п и 4п, у— действительное илн комплексное число. Подстановка (3.1.87) в (3.1.63) и (3.1.64) приводит к 1р" + 2угр' — 21(у + узгр — 2уф — р = О, (3.1.88) ор" + 2уф'+ 21р'+у'ор+ 2угр — ', = О.
(3.1.89) Переходная кривая соответствует у = О, следовательно, вблизи этой переходной кривой у мало. Поэтому для того, чтобы получить разложения для гр и ор, пригодные вблизи переходной кривой, пересекающей ось р в точке р„положим гр = гр, + егр, +..., (3.1.90) $=-фо+еф1+..., (3.1.9 1) у=еу,+ (3.1.92) р=-ро+ер1+.... (3.1.93) Подставляя (3.1,90) — (3.!.93) в (3.1.88), (3.1.89) и (3.1.65) н приравнивая члены с равными степенями е, получим Нулевой порядок (ео) гр," — 21Р,' — Ь,гр, = О, (3.1.94) (3.1.95) Первый порядок (е) гР",— 21); — ЬогР, = — 2У,гРо+ 2711Ро+ Ь! 1Ро — ЬогР, Соз 1', (3.1.96) гр, + 2Ч1,' — а,гр, = — 2угтр; — 2у, 1р, + агзр, — а,зр, сов р. (3.1. 97) Обгцее решение уравнений (3.1.94) и (3,!.95) имеет вид гр, = А соз т+ В я'п т, (3.1.98) тр, = аВ соз т — сгА яп т.
(3.1.99) Это решение определяет правые части уравнений (3.1.96) и (3.1.97), поэтому гр,— 2ор; — Ь,гр, =Р„сов т+ Я„, яп т— 1 — Ь,А созЗт — Ь,В вш Зт, (3.1.100) 1 гр';+ 2гр,' — аоорг = Р„сов т-1- Яго в!п т— — а,аВ сов Зт+ — а,аА яп Зт, (3.1.101) 1 1 Гл. Л, Метод ростлнуоккл координат где (Ь вЂ” 2 Ь + а* (е~е+ 2 ое)1 ~Ь, + 2 ее+ох (ае — 2 о~ )1 1 (1 — 4а+ае) (3.! . 107) Далее 1 ( 1 В 2 ( 2 о,— — де+во(а, + — ее 1 Л т1 11 — 4а+а'1 Поэтому для первого приближения получим (3. 1. 108] и, у е ми ~сов (-! — о), — азйп ( — !' — о)~ +0(е).
(3.1.109) Рм —— у1 (2а — 1) В+(Ье 2 ) А, д,1 Р„=у,( — 2)А+а(а,— ®В, 2) Я„=-уу (а — 2)  — а(а, + — '1А. 2) Так как функции ер и ф — периодические, то вековые члены в решениях для ер, и Ф, должны исчезнуть. Чтобы уничтожить эти вековые члены, положим ер, =О, ф, =с,созт+с, з!п т.
(3. 1. 102) Подставив (3.1.102) в (3.1.!00) и (3.1.101) и приравняв коэффи- циенты при з!пт и созт в обеих частях уравнений, получим 1 1 13е (3.!.103 — (а,+ — ) с, =Роя — (а,+ — ) с, = Я„. Исключение с, и с, из (3.1.103) дает Рм = атее, Ям = — аРао (3.1.104) После подстановки выражений для Р и Я в (3.1.104) и перегруп- пировки членов получим Ь,— — '+а'(а,+ — ')1А — у,(! — 4а+а') В=О, (3.!.105) Уе (1 — 4а+а') А + ~Ь, + — '+ а' (а, — о — ')~ В = О.
(3.1.106) Для существования нетривиального решения системы уравнений (3.1.105), (3.1.106) относительно А и В ее определитель должен обратиться в нуль. Это условие приводит к равенству Зи. Монад растянутых оарамннроо 81 Зд.б. Простая аннейная аадача на собственные значения Рассмотрим теперь задачу определения собственного значения 1, и собственной функции и, где и" + [) + е)'(х)1 и = О, 7" (х) = 7 ( — х), и(0) =-и (1) =0 и е — малый параметр. Если е=О, то собственные функции н собственные значения соответственно будут равны и„=)Г2 з!п ппх, п = 1, 2, 3, ..., ),„= поп'.
(3.1.1 12) (3.1.!13) Вышеприведенные собственные функции ортонормированы, т. е. 1 ~ и„(х) и„(х) с(х = 6„„, о (3. 1. 114) где 6 „— символ Кронекера, определяемый следующим образом: О, т чьи, 6 „= 1, т=п. Для малых ненулевых е получим приближенное значение для и, и Х„, положив и„= и'2з!пппх+еи„, +е'и„,-!- ..., ).„=п'и'+еХ„, +ет),„, +... (3.1.!!5) (3.1.!16) Подставляя (3.1.115) и (3.1.116) в (3.1.110) и (3.1.111) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим и +понти„, = — 7 (х) и„,— ) „,и„„ ит(О) =и„, (1) =О, и„,(0) = и„, !!) =О.
(3.1.118) Здесь задача нулевого порядка тождественно удовлетворяется и и „=У28!Пппх. Переходная кривая (3.1.85), (3.1.86) соответствует у, О, а (3.1.75) и (3.1.76) можно получить из (3.1.109), положив у, =0 и о — -0 или и/2. Настоящий анализ можно непосредственно продолжить до более высоких порядков, несмотря на сложность алгебраических выкладок. Найфэ [1970а) получил разложение до второго порядка. Гл. 8. Х4етод растянутых ооординат Это решение удовлетворяет граничным условиям для и„,. Подставляя (3.1.119) в (3.1.1!7), получаем О ~ )Г 2 по (п' — и') а„э!п тпх = — ) 2 Г (х) яп япх— — Р 2Х„, а!п ппх. (3.1.120) Умножая (3.1.120) на р'2 з!пяпх, интегрируя от 0 до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.!!4) собственных функций (3.1,112), получаем и'(и' — И') а„„= — Р„х — Х„, б„, (3.1.121) где 1 Р„о = 2 $ ) (х) яп ппх яп Ипх йх.
(3, 1. 122) о Если А=а, то левая часть (3.1,121) обратится в нуль. Следовательно, 1 Х„,= — Р„„= — 2 ~ ~(х)яп'пихтах. (3.1.123) о Однако при А~=я рло ло яо !оо оа) (3.1.124) Условие (3.1.123) эквивалентно уничтожению вековых членов. В этом случае функции и., будут и„, = — ~~~',,"" а, )/2 з!плпх+а„„)'2э!п ппх. (3.1.125) Ф -й л Заметим, что а„„еще не определены, но в окончательном решении они определяются нормировкой и„. Переходя ко второму порядку, предположим, что и„, = — ~~'., Ь„, ~/2 з!пгпх.
о=1 Будем предполагать, что и„, может быть выражено в виде линейной комбинации собствеийых функций нулевого порядка и„„т. е. Ю и„,= ~ а„„)' 2а!п тих. (3.1.119) д.б Меюд расо!лаур!о!х аараметроо вв Подставляя выражения для и„„и„, и и„о в (3.1.118), получаем я' ~~.", (а! — «') )/2 Ь„, з!п глх = — ~~.", а„о )/2 ( (х) з)п Ьпх— г=! А=! — ~~.", а„о).„! )' 2 з!п Ьпх — ) „! )/2 з!п лях. (3. 1.! 27) А! п™М Умножая (3.1.127) на )/2з!явях, интегрируя от О до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.114), получаем О и! (и! — з') Ь„, = — ~~.', а„оРо,— а„,)„! — Х„,б„,. (3 1.128) А=! Если з = а, то левая часть (3.1.128) обращается в нуль, в то время как правая часть дает (3.
1. 130) л! (о! — о!) яо(п' — о!)! ' Здесь Ь„„также еще не определены, ио определятся при нормировке и„. Для нормировки и„потребуем, чтобы ! ) (и о+еи„!+еои„о)ос(х=1. Поскольку и„о нормирована, то Ь„= — — ~ аь 1 пй= я ~' о (3.! 134) Если а~л, то (3.1.128) дает с р«ого! > ° Ф (!!! — Й~)(~~ — !') о~п ! и„ои„! (х =О, о ! ) (2и„ои„! + и„'!) о(х = О, о Условие (3.1.132) дает а„„=О, а условие (3.1.133) дает (3.!.132) (3.1.133) Гл. 3. Метод роппялутыл лооодииот Позгому с точностью до второго порядка имеем ил= Рл2з!пплх — е ~' о(,',о"~,о ! 2гйпйпх+ о*аул , ч (Г ч Рлоры Р Рло о' л. 'л. ( — |(*- о А *л л 1 о ль л р'2з(паях +0(е'), (3.1.136) Х = попо — еРлл+е' ~~~ —; —,~-рг)+ О (е'). (3.!.136) О оь л Метод разложения, описанный в этом пункте, называется методом Рэлея — Шредингера. Он был развит Шредингером [!926) для исследования стационарных решений уравнения Шредингера.
За большей библиографией и более полным изложением мы отсылаем читателя к книге под редакцией Уилкокса 11966! и к статье Хиршфельдера 119691. Ед.т. Каазнаииеаная задача на собстаенные значения Рассмотрим теперь задачу на собственные значения Нф + Ьр = еР (ф) (3.1.137) при однородном граничном условии в(ф)=о, (3.1.138) где Н вЂ” линейный, а Р— нелинейный операторы, действующие на ф. Мы ищем приближенное решение для малых е в виде ф= ср,+еф,+..., (3.1.139) )о = ло+е)оо+ ° ° ° ° (3.1.140) Подставляя (3.1.139) н (3.1,140) в (3.1.137) и (3.1.И8) н приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получаем Нр,+ Х,ф,=О, В (ф,) О, (3.1.141) Нф, + Хоф, =' — Х,фо+ Р(фо)* В (фо) = О. (3.1.142) Необходимо различать два случая в зависимости от того, являются собственные значения задачи (3.1.141) различными или нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
