1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Первый случай называется нееырождеииым, в то время как второй называется вырожденным, поскольку кратному собственному значению соответствует более одной собственной функцииОба случая излагаются ниже. З.д Мсатд растянутых параметров где х — вектор, изображакхций координаты, и — комплексно сопряженная к и функция, а интегрирование ведется по всей рассматриваемой области О. Чтобы решить (3.1.142), мы, так же как н в двух предыдущих пунктах, разложим функцию ~р, по ортонормированному базису !и„), т. е.
О Ч1 Х ааи ° (3.1. 144) Таким образом, ~р, удовлетворяет краевому условию В(<р,)=0, так как В(и„)=0 для всех и. Полагая ~ря и„иЛ, р„и подставляя (3.1.144) в (3.1.142), получаем ОР „)', (!ха — !х )а и = — Л,и„+Р(и„). т 1 Умножая (3.!.145) на и„интегрируя по области О и используя условие ортонормированностн, придем к равенству (ин — !х,) а, — — Л,б„, +г„„ (3.! .! 46) где Г„,— ) Р(и„) и,дх. о (3.1.147) Если л з, (3.1.146) дает Л, =Р„„.
(3.1.148) ня Р Рн — Рх (3.1.!49) Таким образом, ъ"н с на ~р, = ~~ и„+а„„и„. Ра Ра О|*;й н (3.1. 150) Невырожденный случай. Допустим, что задача (3.1,141) решена н ее решение дает собственные функции и„, соответствующие собственным значениям р„, и=1, 2, .... Предположим далее, что р Ф р.„, если т ~ и, и что собственные функции (и„) образуют ортонормированиое семейство, т. е. ~ и„итрах б„„, (3.1.143) о Гл. д.
Меоюд растхнуехех еюрдинат Коэффициенты а„„можно положить равными нулю, если, так же как и в предыдущем пункте. предположить, что функция ф = = фе+еф,+0(е') нормирована. Поэтому для первого порядка имеем (3.1. 155) 1 = ') (з!и Зппх — 3 в!п ппх) ып еппх е(х = о (3.1.156) Выроохденный случай. В этом случае пусть р„+„— — р„для (=О, 1, 2, ..., М. Тогда м ф =Хдои+*. (3.1.!59) х о Подставив выражения для ф, и ф, из (3.1.144) и (3.1.159) э (3.1.142) и положив Хо=!х„, получим О м Гм Х (Є— Р )а и = — Х, хч', Ьхи„+х+Р ~ ~, Ь„и„+о .
(3.1.160) Ю ! о=о х о ф =и„+е ~~~ Р ию+0(е ) Ип Ию т.ае" Х =!х„+еР„„+0(е'). Рассмотрим в качестве примера задачу дф е — +Хф= — вф, дх' р(о) = р(1) =о. Здесь Π— интервал [О, 11 и и„= $' 2 з1п ппх, р„= и'и'. Поскольку Р(ф)= — фо и и„=и, имеем 1 Р„= — 4 ) з!п' ппх з!п балх ох о Поэтому (3.1,151) и (3.1.152) принимают вид ф = ~/ 2 з1п ппх —,~-; —; з! и Зпях+ 0 (е'), е г'2 Х = л'и' — — е + 0 (е'). а 2 (3.1.151) (3.1.152) (3.1.153) (3.1.154) (3.1.157) (3.1.158) 3.1. Метод раетянутих нараметрое Умножим (3.1.160) на и, и проинтегрируем по области О.
Имеем (р„— )оо)а,= — Л, ~~"., Ьоб, „о+ У,(Ь„Ьо ° °, Ьм), (3 1.!61) о=о где г м е,-!о[в ье„„].,о., р о=о (3.1.162) если э= и-)-А, для А=О, 1, 2, ..., М, то (3.1.161) даст уг +е(Ьо, Ьт Ьм) — Л.Ьо= — О. Ь=-О 1 2. 'М (3 1163) В качестве примера рассмотрим задачу — + бл' — + Лф = еф —, 0хо дхо дх ' р (О) = ро (О) = ф (!) = ф" (1) = О. (3.1.166) (3.1.166) В этом случае решение линеаризованной задачи имеет вид и„=1 2з!пилх, р„= и'(б — и') л'. (3.1.167) Таким образом, !о, =р,=4л', и мы имеем дело с вырождением. Предположим, что функция, соответствующая собственному значенноо р„имеет вид фо=Ь,р' 2з!плх+Ь,) 2яп 2лх.
(3.1.168) Тогда р(ф.) = ф.—,„'= дфо =л [ — ЬоЬ, з! п лх+Ь,', яп 2лх+ЗЬоЬ, яп Злх + 2Ь,' яп 4лх! (3.1 169) Следовательно, Ко = )' 2 ~ Р (фа) яп злх о!х = о ~ $' 2л [ ЬоЬобоо+Ьеобоо+ЗЬоЬобое+2Ьобоо). (3.1.170) Соотношения (3.1.163) образу!от систему нз М+1 однородных алгебраических уравнений относительно М+1, неизвестных Ь и собственного значения Л, Если з~эи+А, А=О, 1, ..., М, то Т~(ао УЯ . ~м) Р 1 164) !оо Ко ав Гт д. Меатд растанутьи координат При известном Г, соотношения (3.1.163) примут вид — 2 )/2лдиЬ~ — Л~Ьи = Оэ — $/2лЬ" — Л,Ь, =О, (3.1.171) (3.1.
172) а выражение (3.1.164) даст зь,ь, ь,' и,==, а,== 40 )/2лк 90 р' Зла (3.1. 173) Поскольку Ь, эь О, из (3.!.171) получим Ь,= — — Л,. р 2 (3.!.174) Подставляя выражение для Ь, в (3.!.172) и разрешая относительно Л„ получаем Л, =~ — 1лЬ,. 1 р' 2 (3.1. 175) Следовательно, Ь, = -ь (Ь..
(3.1.176) Поэтому ~р = Ь, )/2 з(п лх ~ (Ь„)/2 з1п 2лх + е ~а, $/2 збл лх + +а, $/2 яп 2лх~- —,(Ь„'з1п Злх — ~тяп 4лх~+О(е'), (3.1.!77) Л=4.+ = е(Ь +О(е'). р — О Постоянные а, и а, могут быть связаны с Ь, при нормировке ~р,. Решения, соответствующие р„, л~ 1, имеют вид кр =)/2 яп плх +е „, 1, яп 2ллх+ О (е'), (3.1.179) ! Л =и'(5 — и') л'+О(е'). (3. 1. 180) (3.1.178) Следует отметить, что для реализации вышеизложенной процедуры должно существовать разложение функции г" (~р,) по собственным функциям задачи нулевого порядка. Например, если в (3.1.!65) положить г" (~р)=кр', то попытка применить описанную процедуру потерпит неудачу.
Действительно, в этом случае г'(<р,) =5*„+ Ь;+ 2Ь,Ь, соз лх — Ь', соз 2лх— — 2Ь„Ь, сов Злх — Ь® сов 4лх. (3.! .!8! ) Откуда К,=О для всех з, и выражение (3.1.150) для ~р, будет непригодным. 8.1. Метод растянутых параметров Зл.а. Квавилинейное уравнение Клейна — Гордона В этом пункте мы рассмотрим задачу определения периодических распространяющихся волн конечной амплитуды для уравнения (3.1.182) и„— а'и„„+ у'и = ри', Если пренебречь нелинейным членом ри', то мы получим решение в виде линейных распространяющихся периодических волн и =асов(ях — а1), т'=аЧР+у'. (3.1.183) Фазовая скорость этих волн равна со/А и не зависит от амплитуды.
В нелинейной задаче фазовая скорость будет, вообще говоря, функцией амплитуды. Для определения зависимости фазовой скорость с от амплитуды мы предположим, что и=и(О), О=х — сг, тогда (3.1.182) примет вид (с' — а') и" + у'и = ри', (3. 1. 184) где штрих означает дифференцирование по О. Предполагая, что амплитуда и мала„разложим и и с и=аи, +а'и,+..., (3. 1.
185) с=с,+а'с,+... Если бы мы включили в эти разложения члены ас, и а'и„то получили бы, что с,=-О, а и, удовлетворяет тому же уравнейию, что и и,. Поэтому и, не включено в разложение. Подставив (3.1.185) в (3.1.184) и приравняв коэффициенты при равных степенях а, получим (с,'— а*) й, +у'и, =О, (с*,— а') и+ у'и, = — 2с,с,и, + 5ие Для уравнения (3.1.186) возьмем решение нида и,= соз/гО, с1=а'+уей е (3.1. 188) так, чтобы (3.1.185) совпадало с (3.1.183) с точностью до О(а).
Тогда (3.1.187) примет вид (с,— ) и,"+у*и, =(2с~й +ф р) зйО+ —,' ()с зйО. (3.1.188) Вековые члены будут устранены, если с, = — 3~/Осей'. Тогда и = — — соз ЗАО. Р э зете Гл. д. Лытод растянутых координат Поэтому и = а соз йΠ—, соз ЗЛО+... аиан 32т~ ' '1 в( 'ъ е )] + (3.1.190) 3.2. Метод Лайтхилла Сущность метода Лайтхилла заключается в разложении ие только зависимой переменной и(х„х„..., х„; е) по степеням малого параметра е, ио также и в разложении одной из независимых переменных, скажем х„по степеням в. Лайтхилл [1949а], [1961] ввел новую независимую переменную и затем разложил и и х, по степеням е с коэффициентами, зависящими от з.
Для первого приближения он предположил, что х, и з совпадают, Таким образом, Лайтхилл предположил следующие разложения дляиих,: и= ~~.", в'"и (з, х„х„..., х„), т=о х,=з+ ~ а"'Я (з, ха, хв, °, х„). т=! (3.2. 11 (3.2.2) Методика, использованная в этом пункте, была формалнзовапа Стокером [1957] для описания поверхностных волн в жидкости. Эта методика была использована при рассмотрении взаимодействия капиллярных и гравитационных волн на воде бесконечной и конечной глубины Пирсоном и Файфом [1961] и Баракатом и Хаустоном [1968] соответственно. Она использовалась также Мэслоу и Келли [1970] при рассмотрении волн в течении Кельвина— Гельмгольца.
Вместо того чтобы раскладывать фазовую скорость, можно было бы разложить волновое число и определить сдвиг волнового числа, или разложить частоту и определить сдвиг частоты. Разновидности этого метода применялись к целому ряду задач. Так, например, Малкус и Вероннс [1958] рассматривали задачу конвекции Бенара. Педлоиский [1967] определил реакцию ограниченного океана на поверхностный ветер, осциллирующий вблизи одной нз волновых частот Россби. Келлер и Тин [1966] и Миллман и Келлер [1969] получили периодическое решение для различных систем, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных; Келлер и Мнллман [1969] рассматривали распространение нелинейных электромагнитных и акустических волн. Радзяппа [1970] исследовал нелинейную неустойчивость Рэлея — Тэйлора.
9! д.2. Метод Лайтхилла Ясно, что прямое разложение (типа Пуанкаре) состоит только из (3.2.1), в котором з заменено на х,. Поскольку это прямое разложение не является равномерно пригодным, Лайтхилл ввел (3.2.2) и выбрал $„(называемые растягивающими функциями) так, чтобы оба эти разложения стали равномерно пригодными; т. е. он выбрал в„так, чтобы результирующее приближение было равномерно пригодным.
В некоторых случаях это достигается, если потребовать, чтобы — и —" были ограниченными. (3.2.3) им-г ьм-! Другими словами, высшие приближения не должны быть более сингулярными, чем первое. Сравнивая (3.2.1) и (3.2,2) с (3.1.2) и (3.1.4), мы видим, что метод Лайтхилла является обобщением метода растянутых параметров. Го [1953], [1956] модифицировал этот метод, чтобы применить его к потоку вязкой жидкости.
Поэтому Цянь Сюэ-сэиь [1956] назвал его методом ПЛГ, что значит метод Пуанкаре — Лайт- хилла — Го. Этот метод применялся к ряду задач, преимущественно к задачам о распространении волн в средах без дисперсии. Лайтхилл [19496] рассмотрел конические ударные волны в стационарном сверхзвуковом потоке. Уиззм [1952] определил картину ударных волн на осесимметричном снаряде в стационарном сверхзвуковом потоке, он же исследовал распространение сферических ударных волн в звездах [1953].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
