1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Опустить условие р(1)=1 и вь1- числить два члена. 2ЛУ, Рассмотреть задачу с(а [1 ~фз — =аз) юп (и+[)), — з = соа (9+ [)), по) =[)(о)=) ®=[) ®=о, возникающую при научении изгиба цилиндрических труб (Рейсспер н Вайвнчке [!968[). Определить разложение с точностью О (и') при малом а н обсудить вопрос о его равномерности. 2.18. Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стен. каин различной проницаемости может быть приведена к виду (Праудман[!960[; Террил н Шреста [1965[) !н'+ А' (Д" — 1") =с, 1[О) = 1, ! (О) =О, [(1)=1 — а, г'(1)=0. Поиазть.
что прн малан и справедливы соотношения 1=1+аА [2(е-их+Да — 1) — )с(! — е-Л) хз)+ О(из), с=2ийзА (е-!1 — 1)+О (аз), и определить А. 2.19. Определить разложение первого порядка в задаче иы — иле+и=за, з(<1, и(х, 0)=асозйх. иг(х, О)=0, и обсудить вопрос о его равномерности. 2.Ю. Определить примас разложение первого парадна прн маломьвзадаче ггм с ихх=еиих и (х, О) = Х (х) + д (х), и! (х, О) = с [й' (х) — Г (х) [.
Здесь [(х), 2(х) — ограниченные функции х. Обсудить вопрос о его равпалгерности. ГЛАВА 3 Метод растянутых координат Зта глава посвящена методике сведения приближенных решений некоторых дифференциальных уравнений, описанных в предыдущих главах, к равномерно пригодным. Зта методика основана на введении почти тождественных преобразований независимых переменных и восходит к девятнадцатому столетию, когда астрономы, такие, как Линдштедт [1882), Бохлин [1889) и Гюльден [1893), разработали способ, позволявший избежать появления вековых членов в возмущенных решениях уравнений вида и+в",и=е[(и, и), е ф1.
В основе метода Линдштедта лежит идея, почерпнутая из следующего наблюдения: нелинейность изменяет частоту системы от значения в„отвечакхцего линейной системе, до в(е). Чтобы учесть это изменение частоты, Линдштедт ввел новую переменную т= — Ы и разложил в и и по степеням е: и=и„(т)+си,(т)+е'и,(т)+..., в = в,+ев, +еэв, +... Затем он выбрал параметры в„г) 1, так, чтобы предотвратить появление вековых членов. Пуанкаре [1892)доказал, что разложение, полученное Линдштедтом, является асимптатйческим.
Различные формы этого метода используются для получения приближенных решений задач физики и техники. Идея заключается в том, чтобы найти параметр задачи, изменяющийся при возмущении (например, частота, волновое число, нолновая скорость, собственное значение или энергетические уровни), и разложить зависимые переменные вместе с этим параметром, скажем, по степеням интенсивности возмущений. Возмущения параметра выбирают так, чтобы получить равномерна пригодное разложение. Зют метод мы называем методом растянутых параметров.
Зта идея лежит в основе метода Рэлея — Шредингера — метода получения приближенного стационарного решения уравнения Шредингера, прн котором раскладывается не только волновая функция, но также и энергетический уровень (Шредингер [19281). Зту же идею применил Стокер [1957) при исследовании волн конеч- Гл.
8. Метод раегкяяцглегл координат ной амплитуды на воде, разложив функцию тока и волновую скорость по степеням коэффициента крутизны волн. Если разложение параметра интерпретировать как почти тождественное преобразование, то метод Лайтхилла сведения приближенных решений к равномерно пригодным будет обобщением метода растянутых параметров. Идея метода Лайтхнлла (1949а), [1961) заключается в следующем.
Пусть разложение функции и(х„х„...,х„; в) по степеням е неравномерно по одной из независимых переменных, скажем, по х,. В этом случае мы будем раскладывать по степеням е не только функцию и, но также и независимую переменную х„используя новую независимую переменную, т.
е. я-1 и = ~ч~ в'"и„(в, х„х„..., х„)+ 0(е~), гл= 0 х, = в+ ~ в™$„(в, х„х„..., х„) + О (вге+'). Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной х, к переменной в. Функции з,„называются растягивающими фуияииями и выбираются так, чтобы разложение для и было равномерно пригодным. Другимн словами, должно выполняться условие и„/и„, (со для всех рассматриваемых значений х„или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если $„=е» в с постоянными го„, то метод Лайт- хилла переходит в метод Линдштедта — Пуанкаре.
Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат. Для гиперболических уравнений метод Лайтхилла эквивалентен разложению зависимых и независимых переменных по некоторым или всем точным характеристикам уравнения (Уизэм 11952), )1953); Линь (1954]; Фокс (!955)). Вместо того чтобы вводить преобразование в дифференциальное уравнение, а затем выписывать разложение по новым переменным, Прнтуло 11952) предложил вводить преобразование в неоднородное прямое разложение. Преобразование затем может быть найдено непосредственно решением алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Это является другой формой метода перенормировки (п.
7.4.2), введенного Рэлеем при анализе рассеяния. Рэлей получил разложение и=и,+еи, для рассеяния в тонком слое и затем представил разложенйе в форме и= =и,ехр(ви,/и,), чтобы сделать его верным для многих слоев. В следующем параграфе дано описание метода растянутых параметров на примере нескольких физических задач. В $ 3.2 метод Лайтхилла применен сначала к обыкновенным дифферен- эм. З1вшод Ооствоашввв оарввевшдов циальным уравнениям, а затем к уравнениям в частных производных. Далее следует описание метода линеарнзации Темпла. Метод перенормировки рассмотрен в й 3.4, в то время как ограничения метода растянутых координат обсуждены в ф 3,5.
3.1. Метод растянутых параметров Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины всвмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды.
3.1.1. Метод Лондштедта — Пуемвере Простые примеры из п. 1.1.2 и 2.1.1 показывают, что усеченные прямые разложения по степеням е уравнения вида и+сова ег(и, и) (3.1.1) пригодны лишь для короткого интервала времени из-за наличия вековых членов. Сущность метода Лнндштедта — Пуанкаре заключается в том, чтобы предотвратить появление вековых членов введением новой переменной 1=э(1+аш +авш + ) (3.1.2) Тогда (3.1.1) примет вид (1+~~, +а'~,+...) '-„--~-+~,'и е( ~ и, (1+ешв+евгов+...)-в-3. ~ .
(3 1,3) Положим в (3.1.3) ~ч~~~ ева (3.1.4) -о Приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим уравнения для последовательного определения и„. Решения для и не содержат вековых членов только при определенных значениях ш Этот метод применялся для широкого круга физических и математических задач. Например, Келлер (1968] модифицировал этот метод для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Гт д. Метод ростянотик координат 70 Сочетание этого метода с методомРитца — Галеркяначастоиспользуется при исследовании динамической реакции упругого тела (например, Хан [19651; Бауэр [1968[; Свит [1971[).
Рассмотрим в качестве примера уравнение Й1оффинга: Ф+ и + ви' = О. (3.!.5) Применив преобразование (3.1.2), получим — ", +(1+вы, +восо,+...)к(и+оно) =-О. (3.1.6) Подставив (3.1.4) в (3.1.6) н приравняв коэффициенты при равных степенях в, получим доно о +ио Оэ дои~ -3;т-+ и, = — ио — 2ко,и„ (3.1.8) дон — ",' +и, = — Зи,'и, — 2т, (и, + и'„) — (в,'+ 2а,) и,. (3.1.9) (3.1.7) Общее решение уравнения (3.1.7) имеет вид и, = а соз (э+ <р), (3.1.[О) где а и ~р — постоянные интегрировании.
Тогда (3.1.8) с учетом (3.1.10) преобразуется к виду: д'ио 1 /3 — „,+и, — 4 аосовЗ(э+~р) — ~4 а'+2со„)асов(з+1р). (3.1.11) 3 1О ао в (3. 1. 12а) Тогда решением уравнения (3.1.11) будет и, = — а' сов 3 (э+ ~р). 1 (3.1.126) Подставляя выражения для и„и, и а, в (3.1.9), получаем а —,'+и, = ~ — а' — 2т,) асов(э+~р)+л)ЪТ, (3.1.13) Если использовать прямое возмущенное разложение, то в„= — О и уравнение (3.!.11) перейдет в (2.1.7), частное решение которого содержит вековые члены. Чтобы избежать появления этих вековых членов, оо, выбирается так, чтобы коэффициент при сов(э+ср) в правой части уравнения (3.1.11) исчез.
Из этого условия определяем оо,: о.1. 1наиод растянутых парамннрсе 71 где через 17БТ обозначены слагаемые, не порождающие вековых членов. Вековые члены уничтожатся, если 51 се = — а'. 256 (3.1.14) Поэтому иг асоз(са1+О)+ — авсозЗ(са1+О)+0(ев), (3.1.13) где а и Π— постоянные интегрирования, и 3 51 сн = ~ 1 — — аве -1- — пеев+... )~ Т 256 1 +-й- а'е — — а'ее+ О (е'). 3 !5 256 (3.1.16) 5.1.2. Переходные кривые аяи уравнения Матьа Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами.
Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке; об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем; о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой; о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. Качественную природу уравнения (3.1.17) можно описать, используя теорию Флоке (см., например, Коддинггон и Левинсон (19бб, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
