1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 12
Текст из файла (страница 12)
31). Это уравнение имеет нормальное решение вида и Ф'ф (1), (3.1.18) где ф †периодическ функция 1 с периодом и или 2п, у †действительное нли комплексное число, зависящее от б и е. В теории Флоке показано, что переходная кривая в плоскости б — и, разделяющая устойчивые и неустойчивые решения, соответствует периодическим решениям уравнения (3.1.17). Некоторые из этих кривых будут найдены ниже с помощью разложений б и и как В качестве второго примера найдем переходную кривую, разделяющую устойчивые и неустойчивые решения уравнения Матье: и+(б+есоз2г) и=О.
(3.!.17) Гт 8. Метод раетянутеех еоордяоот функций от в. Положим Ь=п'+еб,+ь 6,+..., и(Е) =ие+еи, +е'и,+..., (3.1.19) (3.1.20) и,+п'и,=О, и, + п'и, = — (6, -1- сов 2Е) и„ ие+ пепе = — (6, + сов 2Е) и, — беие. (3,1.21) (3.1.22) (3.1.23) Решение уравнения нулевого порядка имеет вид (совпЕ, ие=~ . п=О, 1, 2, .... '=1в1 Найдем высшие приближения в случаях п О, 1 и 2.
(3.1.24) Случай п 0 В этом случае и,=1 и (3.1.22) примет вид й,= — 6,— сов2Е. (3.1.25) Для того чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением, 6, должно обратиться в нуль, поэтому "з = 4 сов 2Е +о 1 (3.1.26) где с — постоянная. При известных ие и и, уравнение (3.1.23) примет вид 1 1 ие — б, — — с соь 2Š— сов 4Е. (3.1.27) Для того чтобы отношение и,Еие было ограниченным, необходимо„ чтобы 6, = — 'Е„следовательно, 6= — — ее+О(е'). 1 8 Случай п=1 В этом случае ие=совЕ или в)пЕ.
Положим ие=*соьЕ, тогда (3.1.22) примет вид и, +и, = — ~6, + — ) сов Š— -сов ЗЕ. (3.1.29) где п — целое число или нуль, а отношение и„/и, ограничено для всех еп. Последнее требование необходимо для того, чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением. Подставляя (3.1.19) и (3.1.20) в (3.1.17), раскладывая (3.1.17) в ряд по е и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим 8.1. Метод раотяяатот параяаялоо тз и, = — сов 31. 1 18 (3.1,30) Уравнение (3.1.23) тогда примет вид и, + и, = — '( — + 6, ) сов ! + 2 сов 31 — 82 сов 51. (3.1.31) /! 1 1 Условие ограниченности отношения и,ги, приводит к равенству 6. = — Ч...
откуда получим 6=1 — е — 51(во+О (ео). 1 ! 2 (3.1.32) Если бы мы использовали в качестве нулевого приближения и,==в!и!, мы получили бы переходную кривую 6=1+ ! — — '+0(е'). (3.1.33) Случай п=2 В этом случае по =сов 2! или в)п2!. В первом случае уравнение (3.1.22) предстанет в виде и, +4и, = — — — 6, сов 2! — — сов 41. 1 1 (3.1.34) Поскольку отношение и,!и, должно быть ограниченным, 6, должно эбратиться в нуль. Поэтому 1 1 и! = — -+ — сов 4!. 8 224 (3.1.35) Подставляя выражения для и„и и, в (3.1.23), получаем й,+4и,= — ~6,— ) сов 21 — — совб!. (3.1.36) вт Из условия ограниченности и,/и, следует, что бо=!)оо, поэтому 6 =4+-е'+0(е').
8 48 Положив и, з(п21, придем к равенству (3.1.37) 6=4 — е'+0(е'). 48 (3 1.36) Для ограниченности отношения и,!и, величина 6, должна быть равна 6,= — '(„и поэтому Гл. 3. Ммпод росюянуо«ьи координат 3.1.3. Характеристические показатели ддя ураанення Матьв (нетод уиттекера) В теории Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон (1955), гл. 3) показано, что уравнение (3.1.17) имеет решение вида (3.1.18), где «р — периодическая функция с периодом и или 2п, а у — действительная или комплексная постоянная.
После подстановки (3.1.18) в (3.1.17) и соответствующих преобразований получим «р + 27«р -1-(6-1-у'+е сов 2!) «р = О. (3.1.39) Поскольку переходная кривая соответствует у О, то вблизи нее можно получить приближение для «р (Унттекер [1914!), введя следующие разложения для «р, 6 и у: «р =«р,+е«р, +е'«р,+..., 6-6, + еб, +ееб,+..., у=ау«+е'у«+. Ниже будет получено решение в случае 6,=1. Подставив (3,1.40) — (3. !.42) в (3.1.39) н приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим ч.+ р.=О, (3.1.43) «р, -1- «р, = — 27,«р,— (6, + сов 2!) «р„(З,!.44) ф,+«р, = — 27««р« — 27,«р,— (у',+6,) «р,— (6,+сов 2!) «р«.
(3,1,45) Общее решение уравнения (3.1.43) имеет вид «р, = а сов ! + Ь в!и 1, (3.1.45) где а н Ь вЂ” постоянные. Таким образом, уравнение (3.1.44) пре- образуется к виду «р«+ «р, = ~27«а+( — — 6«) Ь~ в!и ! — ~27«Ь+ ~ — +6«) а~ со⠫— — а сов 31 — Ь в)п 31. (3.1.47) 1 1 2 2 Так как «р — периодическая функция„то слагаемые, которые по- рождают вековые члены, должны исчезнуть, т. е. 2у,а+ ~ — 6,) Ь =О, / 1 (-й.+6«) а+ 27,6 =О. (3.1.48) (3.1.49) Йля существования нетривиального решения втой системы уравнений относительно а и Ь необходимо, чтобы ее определитель 8.1.
»Не»»»«»д растянутых иаремер»р«в был равен нулю, т. е. (3.1.50) Далее Ь= — а. 2т» ! 6,— 2 (3.1.51) Решение уравнения (3.1.47), подчиненное условиям (3.1.48), (3.!.49), нмеет вид «р, = — а сов 31+ — Ь з(п 31. ! ! (3.1.52) Использовав полученные выше результаты, перепишем (3.1.45) в виде «р,-(-«р,= ~2уа — 1»«6,+ гх»+32)Ь~ з1п1— — ~~6,+у»+ — )а+27»Ь~ соз1+1»1БТ. (3.1.53) Вековые члены исчезнут, если 27еа — (бе + У,'+ 62) Ь = О, (3.1.54) ~6 +4+ 2)а+2ЪЬ=О. (3.1.55) Поэтому для первого приближенна имеем и = ае~«~1~"~)' «~1~! ~» ~~~~соз1+ ! всоз31)+ Г6 + — ~з1п1+ — е з(п 31)~ + 0(ве), 2т» 1 . ! !6 6,—— 2 + '+4 (' 3) (3.1.57) (3.1.58) Обозначим 6, = — сов 2о, ! (3.1.59) Поскольку Ь н а связаны соотношением (3.1.51), то (3.1.54) и (3.1.55) могут быть одновременно удовлетворены тогда н только тогда, когда уеон 62 71 32 ! (3.1.56) Гл.
3. А[вакх) расяглиравст «аарданагл 76 тогда у,= 4 з)п20, 5,= — (соз40 — 2), 1 1 Ь з!п 2а — — — сто о. а соз 2а — ! (3.[.60) где а — постоянная. 3.1А. естейчнвесть треугальиых тачек в вллнптнческай ограниченной задаче трех тел Рассмотрим систему четвертого порядка с периодическими коэффициентами, связанную с устойчивостью треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Математически задача определяется системой уравнений х — 2у'— Ьзх =О, 1+с соз ) р" + 2х' — '" = О, Йну 1+ессз1 где штрихом обозначено дифференцирование по 7" и ь .=-,' )1ь 'т — ззГ1 — г|1. (3.[.65) Уравнения (3.).63) — (3.1.65) описывают движение частицы, линеаризованное около треугольных точек в ограниченной задаче трех тел, Здесь е — эксцентриситег орбиты двух масс, р — отношение меньшей массы к сумме двух масс.
В случае е=О известно, что движение устойчиво при 0(р < и ж0,03852 и неустойчиво при р)р"). Иначе говоря, р определяет точку пересечения переходной кривой, разделяющей устойчивые и неустойчивые движе- т) Зтст результат справедлив лишь в линейном приближении. Анализ устойчивости треугольных точек либрзции в круговой ограниченной задаче трех тел, основанный на точных нелинейных уравнениях и использующий результаты В. И.
Арнольда [1963), был проведен в работах А. М. Леонтовича [1963). г!епри [1962) и Депрн — Бартолсме [1967) и А. П. Яаркеева [1963), [1969). Окончательный результат состоит в том, что точки либрации устойчивы для всех 0 ( и < р, креме двух критических значений р',=0,0136!60 и рз = 0,0242936, для ксторых пни неустойчивы.— Прим. ред. Следовательно, (3.[.57) и (3.1.58) примут вид и =пап!о!нате!а! ~з[п (! — о)+ —.в з)п (3! — 0)1+ 0(е') (3.[.6[) 6 [+ — есоз2о+ — а'(соз40 — 2)+0(е'), (3.1.62) 1 1 2 32 ЗЛ.
Метод раааянутые аарааетаае нив, с осью р в плоскости р — е. Кроме того, как известно из теории Флоке, переходным кривым соответствуют периодические решения с периодами 2п и 4п. В интервале 0()в < р период 2п соответствует р = О, а период 4п соответствует р, = (1 — 2)' 2/3)/2.
Через точку р=0 проходит переходная кривая, совпадающая с осью е. Ниже мы приведем анализ, данный Найфз и Кемелом !1970а1, и определим переходную кривую, пересекающую ось р в точке р . Предположим Подставив (3.1.68) в (3.1.66) и разложив при малых е, получим пв = Хав(рв Ро ° ° ° в ра)Е в а=о в Ь*= ХЬ (р р, ..., р„)е", (3.1.70) где ~з,, з ~ Г!7 Ь,= — а,=3 ь — „рв. / 6 (3.1.72) Подставив затем (3.1.66) — (3.1.70) в (3.1.63) и (3.1.64) и приравняв козффициенты при равных степенях е, получим а х„" — 2У„'- Х ( — 1)вх,Ь, созе!, (3.1.73) е о, о, в о и' в+у+в Ю у + 2«' 2~ ( — 1)'у,а, созе ~. (3.1.74) в о.в о,в=о л Е+в+в Уравнения нулевого порядка допускают следунхцие периодические решения с периодом 4ян Ув = ув=асозт, (3.1.76) (3.1.76) х,=созт, «о =з1п тв О х= Х е.х„й, вв У= ХЕаУ„(7), а=о р= Х "рт (3.1.66) (3.1.67) (3.1.68) Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
