1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Легра [195Ц, [1953] и Ли и Шеппард [1966] применили этот метод к исследованию стационарного сверхзвукового обтекания тонкого крыла; Рао [1956] применил его к звуковым хлопкам"). Холы и Шварц [1963], Сакураи [1965], Холы [!967] и Акиисет и Ли [!969] исследовали эффекты при схлопывании сферической каверны; Джасмен [1968] рассмотрел схлопывание сферической каверны, наполненной газом. Сириньяно и Крокко [1964] проанализировали неустойчивость горения, обусловленную химической кинетикой.
Сэведж и Хасегава [1967] изучили затухание импульсов в металлах; Сакураи [1968] рассмотрел эффект импеданса плазмы в задаче обратного пинч-эффекта. Эйнауди [1969, 1970] применил тот же метод для описания распространения акустических гравитационных волн. Левак [1969] и Завадский и Левак [197Ц решили уравнение Власова. Эспедал [197Ц использовал сочетание этого метода с методом х) В работе Ф. Л. Черноусько 1!96!! при помощи метода Пуанкаре — Лайт- хилла — Го было исследовано отражение ог центра, сои нли плоскости симметрии сходящнхсв ударных волн, распространяющихся в газе переменной плотности.
— Прим. ред. Гя д. Метод растякуяоях коордонат сращивания асимптотическнх разложений для определения эффекта ион-ионных столкновений в ионно-акустических импульсах в плазме. Асано и Таниути [1969, 1970] и Асано [1970] перенесли этот метод на распространение волн в слабо неоднородной среде без дисперсии. Мельник [1965] применил его к энтропийному слою в окрестности конически симметричного крыла. Мак-Интайр [1966] исследовал задачу оптимального управления с разрывными управляющими функциями. Росс [1970] применил его к кинетике биохимических реакций при диффузии. Баруа [1954] проанализировал вторичные потоки, вызванные вращением в ненагреваемой трубе; Мортон [1959] изучил ламинарную конвекцию в нагреваемой трубе; Моррис [1965] исследовал случай ламннарной конвекции в вертикальной трубе.
Чан, Акинс и Банкофф [1966] проанализировали свободную конвекцию жидкого металла от однородно нагреваемой пластины. Крейн [1959] сделал асимптотическое разложение для пограничных слоев равномерно пригодным. Гольдбург и Чен [1961] обсуждали аномалии, возникающие при применении этого метода и параболических координат к исследованию пограничного слоя на задней кромке. Окендон [1966] исследовал точки отрыва в ньютоновской теории гиперзвукового потока.
Поскольку метод Лайтхилла является обобщением метода растянутых параметров, то первый метод дает результаты, совпадающие с результатами, полученными при использовании второго метода, всегда, когда последний может быть применен. Поэтому ниже рассматриваются задачи, которые не могут быть исследованы методом растянутых параметров. ЗЛЛ.
дифференциааьиое уравнение первого иориааа Первым примером, который исследовал Лайтхилл, было дифференциальное уравнение первого порядка (х+еу) — "+д(х)у=к(х), у(1)=Ь)0, (3.2.4) где д(х) и г(х) — регулярные функции при всех рассматриваемых значениях х. Вазов [1955] нашел необходимые условия сходимости разложений Лайтхилла для этой задачи. Ашер [1971] исследовал необходимые условия применимости этого метода к уравнениям вида у' 7(х, у)+ед(х, у)+.... Камсток [1968] показал, что метод Лайтхилла может привести к ошибочным разложениям (см. упр. 3.28) для уравнения (х" +еу)у'+пх" 'у=игл ' у(1)=а) 1. д2.
Метод Лайтхааеа Бернсайд (1970) исследовал равномерность разложения, полученного растяжением переменной г =х" вместо х. Ясно, что областью неравномерности является окрестность точки х=О. Для е 0 уравнение (3.2.4) имеет решение вида р [ р ( ~рйрр/ (('рр(*р»."ррр)ррр ~ ррррр Положим р» (0) д„тогда е ехр ) — Ж = хорК (х), ге(0 (3.2.6) где через К(х) обозначена функция, регулярная при х О. Поскольку г(х) регулярна при х=О, то у=)7(х)+(7(х ор) при х- О, (3.2.7) кроме тех случаев, когда (рр †цел отрицательное число. В этом случае где А — постоянная. Следуя Лайтхиллу, мы предположим, что у~ ~чр[ ету (з) (3.2,10) рр х е+ ~~.", етх„(е). (3.2.!1) т=! Тогда рр Д'~ ету„(е» т=о (3.2.12) ах 1+ ~~Р~ е"х„, (е» ра 1 Чтобы учесть граничное условие, необходимо определить значение е, соответствунхцее х=1. Обозначим его через е.
Таким у»7(х)+0(х ер1пх) при х- О. (3.2.8) Из равенств (3.2.7) и (3.2.8) мы видим, что для нулевого приближения решение уравнения (3.2.4) ограничено нли неограничено в зависимости от того, имеет ли место р7„( 0 или д,) О. Чтобы продемонстрировать детали описываемого метода, мы применим его для частного случая 4,=2. Для этого рассмотрим следующую задачу, исследованную Лайтхиллом (1949а) и Цянь Сюэ-сэнем (19561: (х+еу) ~ +(2+х)У=О, у(1) Ае ', (3.2.9) р(у Гт д. Метод раетннутах координат образом, мы пришли к уравнению \О э=1 — ~ е"х„(з). (3.233) Разложим е по степеням е э = 1+ еэ, + е'е, + (3.2.14) нли у,(1) =Ае ', (3.2.
17) у, (1) =у,'(1)х,(1). (3.2.18) Подставив (3.2.10) — (3.2.12) в (3.2.9), разложив и приравняв коэффициенты при е' и е к нулю, получим эу,'+(2+э) у,=О, (3.2.19) ау[+(2+э)уо — — — (2+э)уохо (уо+уо)хо уоуо (3,2.20) Решение для у, имеет вид у,=Ае 'з '. (3.2.21) Поэтому (3.2.20) преобразуется к виду ;( уо) =- ~ — (2+е)х,'+ — х,+ Ае оз-о( — + 1)1. (3.2.22) Если х, =О, то уравнение (3.2.22) приведется к уравнению для членов первого порядка в прямом разложении, где у, более сингулярно прн х=О, чем уо. Действительно, у,=О(х '), в то время как у, =0(х ') при х — О.
Чтобы сделать это разложение равномерно пригодным, х, можно выбрать так, чтобы у, было ие более сингулярно, чем у„обратив для этого в нуль правую часть уравнения (3.2.22). Однако Лайтхилл нашел, что равномерно пригодное разложение можно получить, выбрав х, так, чтобы устранить главную особенность. Поэтому мы положим хо — — = ~ (3.2.23) или Я хо= о ° зо (3.2.24) Подставив (3.2.14) в (3.2.13), разложив и приравняв коэффициенты при равных степенях е, придем к равенству е =-1 — ех, (1) — е' [х, (1) — х, (1) х,' (1)1+,... (3.2.15) Граничное условие теперь может быть записано в виде Ае-' =-у,(1)+ а [у, (1) — у,'(1) х, (1))+... (3.2.16) З.2.
Метод Лайтхаава Тогда (3.2.22) примет вид [ев~ — + Ае- ( — + — ), (3.2.25) следовательно, 1 н =А'е 'е '~,—.в +а,.— ~ е-1(р —,+р~ 31 . (3226) 2 1 Г /2 Растягивающая функция х, может быть найдена из условия устранения главной особенности в у, и будет в этом случае иметь вид 1вв ' ЗА (3.2.27) Поэтому ! у=-Ае 'з ' 1+Аз~ — + —,, — ~ е-4~ —,+ — в)в(5 +О( —, ), (3.2.28) где вА Зввлв 76в 1 Хг а — — — +0 11 — ~. Звв 10$" + (,вв ) (3.2.29) Самое грубое приближение, равномерно пригодное вблизи нуля, имеет вид у=Ае 'а (3.2.30) где з †коре уравнения (3.2.31) который приближенно равен х, когда х)0 и е(~1.
Предполагается, что это разложение начинается прн положительном значении х, и требуется его продолжить в сторону уменьшения х через точку х =О. Для физических задач это продолжение прекратится, если до нуля найдется действительная точка ветвления з как функция от х. Точка ветвления дается условием в(х/в(е =О, что эквивалентно х+ер =О, а это является особенностью исходного уравнения (3.2.9). В этом случае точка ветвления дается выражением аж( — 2Ае73)в~в, которое положительно тогда и только тогда,- когда А < О. Поэтому вышеприведенное разложение будет пригодным вплоть до нуля, если А > О, и пригодно лишь до точки хж(3/2)( — 2Ае/3)в", если А < О.
Гл. 3. Мыяод растянутых координат Если А =1, то х = 0 соответствует значению -®"'+Ь®" + (3.2.32) Следовательно, прн х=0 =® -4(-.')'+ (3.2.33) 3.2 2. Одномерная закаев о космическом корабле Земля — Луна Одномерная задача о космическом корабле Земля — Луна (см. п.2.4.2)' изучена Кайфа 11965а] и приведена к уравнению: , ~ — „„) = — + —,, ЦО)-О. ! ~длеко ! — р (3.2.34) Предположим, что с =1,(з)+р1,(з)+0(р'), х=з+рх, (з)-1-0(р'). (3.2.35) (3.2.36) Подставив (3.2.35) и (3.2.36) в (3.2.34) и приравняв коэффициенты при равных степенях р, получим 21 =з, 1о(0) =О, (3.2.371 Фо †,о +-~. + — — ! , 1, (О) =Ф;(0) х, (О).
(3.2.38) со "о Решение уравнения (3.2.37) имеет вид 1Г21, =-3- Зоl*. (3.3.39) Решение этого уравнения имеет вид !+о! 2 х, = — 1+ — з-"'!и —,,— 3-з. 2 ! оно (3.2.41) Поэтому для первого приближения Р"й--5 з *+0(р), 2 (3.2.42) к) См. пркмсчанне ка стр. 54.— Прим. род. Если х,=.О,то 1,=0[1п(1 — х)! прих- 1. Особенность в!, может быть устранена, если правая часть уравнения (3.2.38) обратится в нуль, т. е. о+ко+ ю !— хс хо 1 1 (3.2.40) со 97 где а †коре уравнения ! е 1+зе1е 2 ) х =а — )х 1 — — а ы'1и -1- — а +О()!з). (3.2.43) 2 ! зпз 3 ) 3.2.3. Твердый цилиндр.
рввномерно рвсширииицнйси в неподвижном воздухе Рассмотрим далее решение задачи о цилиндрической ударной волне, вызванной цилиндрическим твердым телом, расширяющимся равномерно из нуля в невязком, нетеплопроводном и неподвижном воздухе. Эта задача также была рассмотрена Лайтхиллом. Предположим, что радиальная скорость расширения равна аа„ где а„— скорость звука в неподвижном воздухе и е — малый параметр. Скачок распространяется с постоянной скоростью Ма„, где М вЂ” число Маха для скачка. Поток между цилиндром и ударной волной †адиабатическ и изэнтропический, следовательно, он может быть описан с помо!пью потенциала !р(г, г) (радиальная скорость !)=гр,), удовлетворяющего уравнению ДР+ о)ага! + 1 Др) Д з (3.2.44) где а †местн скорость звука, связанная с а, уравнением Бернулли, т.
е. а'+(у — 1) ~ — „+ — ( — ) ~ =а,'„(3.2.45) где у — отношение удельной теплоемкости газа при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Газ предполагается совершенным с постоянными удельными тепло- емкостями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
