1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот метод был вновь открыт Ашером (1968). Метод, предложенный Притуло, примыкает к методу, описанному в п. 7.4.2, который впервые был применен в работе Рэлея что согласуется с выражением (3.2.33), полученным методом Лайтхилла. Гл. 3. Мепгод росгпипутыл коордиппгп 11О Згйд. УраВНЕНИЕ ДюфрННГа Задача, которая будет сейчас рассмотрена, была сформулирована в п. 2.1.1, там же было построено прямое разложение, имеющее вид 3 . 1 и=псов!+за ~ — — !в)п1+ — (соя31 — соя1)+О(я )~ . (3.4.1) 8 32 Равномерно пригодное разложение было получено в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре. Чтобы сделать разложение (3 4.1) равномерно пригодным, введем преобразование (3.1.2) в этот ряд.
Разложив и собрав коэффициенты при равных степенях е, получим 3 Х . 1 и=-асовя — з !а! о! + — ааааа(па — — а'(сояЗв — сова)~ +0(е'). 11' 8 ол (3.4.2) Вековые члены исчезнут, если 3 от = — — а'. 3 (3.4.3) Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид 1 и =-а сова+ — еа' (соя Зв — сов з)+0 (з'), (ЗА.4) где 1=я ~1 — — еаа) +0(е'), 3 8 (3.4.5) что соответствует соотношениям (3.1.15) и (3.1.16), полученным при использовании лгетода Линдштедта — Пуанкаре.
3.4.2, Модель слабо нелинейной неустойчивости В качестве второго примера сделаем равномерно пригодным следующее примое разложение: г' 9 и=есояо,1совзх+е'~ — гя!па,1сояйх+члены, ограниченные Лот при 1 — оо), (3.4.6) полученное в п, 2.1.2 для модельной задачи (2.1.10), (2.1.11). по рассеянию. Определив рассеяние в тонком слое, он придал ему вид экспоненты, чтобы сделать его пригодным для многих слоев.
Мы применим этот метод к некоторым примерам, рассмотренным ранее в этой книге, и сделаем полученные выше разложения равномерно пригодными. 3.4. Мклюд лергнорлировки Положим (=з(1+езтов+...). (3.4.7) Подставив зто выражение в (ЗА.6) и разложив при малых е, получим в и =в соя а,з созях+ е' ~» — — и,озв) аз!п о,е соевых+члены, ог ограниченные при 1 — со~ . Вековые члены уничтожатся, если оз, 9~32о',. Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид и = е соз а4 соз Ах+ 0 (ев), (3.4.8) где а= — )вяз — 1 [1 —,, ~+0(е'). (3.4.9) Если А ) 1, то и — действительное число, и разложение (3.4.8) пригодно до времен порядка 0(е-').
В этом случае оно имеет вид стоячих волн с частотой, зависящей от амплитуды. Однако если й(1„то о — мнимое число, и (3.4.8) имеет вид растущих волн. Поскольку через короткий промежуток времени функпия сЬ Заг, где о — действительное число, будет преобладать над сЬ иг, то разложение (3.4.8) будет пригодным лишь для коротких промежутков времени. Из равенства (3.4.9) следует, что а — оо при А 1, и если к — 1 = 0 (е'), то второй член в правой части (3.4.9) имеет тот же порядок, что и первый. Поэтому, хотя это разложение пригодно для широкого диапазона значений й, пригодность нарушается, как только А — 1 =-0(е').
В п. 3.5.1 показано, что применение метода растянутых параметров к построению разложения вблизи А=-1 приводит к ошибочным результатам. Разложение, пригодное вблизи й = 1, получено с использованием метода кратных масштабов в п. 6.2.8. 3.4.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла В качестве третьего примера применения метода перенормировки сделаем равномерно пригодным прямое разложение для продольной компоненты скорости, полученное в п. 2.1.3 в случае сверхзвукового потока, обтекающего тонкое крыло. Согласно (2.1.36), прямое разложение имеет вид ~=1 — е — +е' ~ — »1 — ) Т' (я)— в т'(й) 1 1 г м'<у+11~ В ~Вз» 4Вв — ~ — — уТ' Д) Т Д) — Т Д) Т" ($)~ +0(ез). (3.4.10) Гя.
д. Ма~иод раетяиутих иоордииат 112 Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим $ =а+е$, (з, у)+0(е'). (3А. П) Подставив это выражение в (3.4.10), разложив и собрав коэффициенты при равных степенях а, получим — = 1 — — + е' ~ — ( 1 — ) Т' (а)— и ет'(е) Г ! l Л(4(т+1)т В [В (, 4 — Т (э) Т" (з) — (Ц, (з у) +~ — Л4~уТ' (з) ) — 9~ + О (е'). (3.4.12) Разложение может быть сделано равномерно пригодны для всех у, если выбрать к'(э' У) 2вг "4 аТ (а) (3.4.13) Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид — =1 — е — +О(е'), и Т' (е) и= в (3.4.14) где ь= — е Ммеут (э)+0(е) (3.4.15) что полностью совпадает с формулами (3.2.94) и (3.2.97), полу- ченными путем использования метода Лайтхилла.
а.4,4. Сдвиг особенности В качестве четвертого примера рассмотрим задачу нз п. 2А.1. Прямое разложение, полученное в этом пункте, имеет вид Х г-, -я-*[1.- 1 -В-га.ггг )а)-гои). (34.!Б! ! Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим в (3.4.16) х = а+ах, (а)+.... (3.4.17) Собрав коэффициенты при равных степенях е, получим у=а-е ~1 — — ~х,+ — з ')~+0(е') при а- О. (3.4.18) 1 Это разложение будет равномерно пригодным, если выбрать х,= — за ' 1 (ЗА.19) 8.5.
Ограниненио метода раеотнртгт координат 1!3 и удалить таким образом главную особенность. Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид у=з 'е '+0(е), (3.4. 20) где х=з — ез '+0(ее), 1 з (3.4.21) что полностью совпадает с (3.2.30) и (3.2.31), полученными ме- тодом Лайтхилла. 3.5. Ограничения метода растянутых координат В предыдущих параграфах было показано, что метод растянутых координат является мощным средством для построения равномерно пригодных разложений в различных физических задачах.
Однако, несмотря на успех при исследовании гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может быть применен для построения равномерно пригодных разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайт- хилл [195Ц н получил равномерно пригодное разложение до второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого кругового крыла, Фокс [19531 нашла высшие приближения, которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также, что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может быть получено равномерно пригодного разложения даже второго порядка. В связи с этим Лайтхилл [196Ц в более поздней статье рекомендовал применять его метод только для гиперболических дифференциальных уравнений.
Несмотря на это, Вальо-Лорен [1962) успешно применил этот метод в сочетании с методом интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная краевая задача). Более того, Эмануэль [19661 н Куйкен [19701 успешно применили этот метод к параболическим задачам, связанным с исследованием нестационарного турбулентного потока при диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости. Следует упомянуть, что Хугстратен [1967] модифицировал этот метод применительно к задачам о дозвуковом обтекании тонкого крыла.
Он ввел функцию, равномерно приближающую отображение физической плоскости на плоскость, в которой крыло представлено своей хордой. Цянь Сюэ-сань [1956) высказал предположение, что ограниченность применения метода растянутых координат к исследованию задачи о тонком крыле объясняется тем, что разложения для функций выписываются вблизи нерегулярной точки. К счастью„ Гл. а. 1Иеотд ростянутьи координат можно заметить, что особенности переносятся с зависимых переменных иа растягивающие функции, и таким образом можно обнаружить неоднородность в результирующем разложении.
Юнь 11968] разложил функцию вблизи нерегулярной особой точки, чтобы получить разложение, пригодное вблизи критического волнового числа, соответствующего разрыву струи, для нелинейной устойчивости жидкой цилиндрической струи. Однако результирующее разложение не имело особенности, хотя, как показал Найфэ 11970с), оно нарушалось при критическом волновом числе. Мы покажем трудности, с которыми столкнулся Юнь, на примере модельной задачи о слабо нелинейной неустойчивости стоячих волн (п.
3.5.1). Как показал Леви 119591, метод растянутых координат непригоден для класса задач с сингулярными возмущениями, в которых малый параметр стоит при высших производных (п. 3.5.2). Он показал, что этот метод приводит к ошибочным результатам в задаче о цилиндрических ударных волнах. Тем не менее можно показать, что растяжение зависимых вместо независимых переменных приводит к равномерно пригодному разложению (упражнение 3.33). Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные разложения для периодических решений в слабо нелинейных колебательных системах, Найфэ 119661 показал, что этн разложения не содержат никакой информации, кроме предельных циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяется, то метод растянутых координат неприменим. Мы покажем трудности метода растянутых координат на следующих примерах. Ззь!.
Пример слабо нелинейной неустойчивости Как было показано в п. 3.4.2, разложение (3.4.9) для о становится непригодным, если А — 1=0(ев). Чтобы применить метод растянутых параметров к этому разложению, положим в (3.4.9) й .= сс -1- и вн,. (3.5.1) Тогда, раскладывая (3.4.9) для малых е и собирая коэффициенты при равных степенях е, получим 9 — .Д о = у'сс' — 1 1 — е', ~+0(е'). (3.5.2) Чтобы коэффициент при е' был не более сингулярным, чем первый член при сс — 1, положим й, =9/32. Тогда(3.5.2) примет вид 1 [ 1 + зз ~ + ' ', (3.5.3) 3.5.
Ограничения иепвда растянутых координат Чтобы показать непригодность разложения (3.5.3), достаточно показать непригодность условия нейтральной устойчивости(3.5.4). Конфигурация системы при нейтральной устойчивости по определению не зависит от времени, следовательно, она определяется уравнением (3.5.5) и,„+ и = — Ив. Положим и=есозйх+ Х А„созпйх, А„=О(е').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
