1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Этот малый интервал, в котором у очень сильно изменяется, называется пограничныл слоем в механике жидкости, областью краевого эфсректа в механике твердого тела и поверхностным слоем в электродинамике. Чтобы определить разложение, пригодное в пограничном слое, мы увеличим этот слой, введя преобразование растяжения (4.1.5) е Гл.
4, кнаяод оращаеаяия асинаанваиенепх раэложаяаа и прн фиксированном ь приводится к аеа лв — +==о ~$к Ж (4.1.7) где е- О. Общее решение этого уравнения имеет вид у = А +Ве-о, (4.1.8) у = А + (се — А ) е- с. (4.1.9) Это выражение содержит одну произвольную постоянную А Обозначим это решение через у' и назовем его внутренним решением нли внутренним разложением. Чтобы определить А, заметим, что 1нп у'=()е. к о (4.1.10) Кроме того, нз (4.1 51 следует, что любое малое фиксированное значение ха соответствует ь — оо при е — О, и 1нп у'=А.
(4.1.!1) Ф Таким образом, эти пределы представляют собой одно и то же значение у прн очень малом значении х=хв~О. Следовательно, А =()е. (4.1.12) Поэтому у' = (1е+(се — Ре) е- С. (4.1.13) Прн определении внешнего н внутреннего разложений мы использовали два различных предельных процесса: внеитий предел, определяемый у'= 1пп у(х; е), (4.1.14) в о к фнненровано и внутренний предел у' = (нп у(в,; е).
е о в фннкнровано (4.1.15) где А и  — постоянные. Так как это решение пригодно в пограничном слое, то оно пригодно в начале координат и, следовательно, должно удовлетворять краевому условию у (х =0) =- а. Поскольку ь =0 соответствует х=О, то у(~=0) =се; следовательно, В=а — А, и выражение (4.1.8) примет внд о.». Метод»ра»ниеииия а»имптотичеоиих равлои»оииа 1»7 Процесс определения А называется сращиванием. Мы использовали следующее условие сращивания: !1гп у'(х; е) = !пп у'(ь„е), к О что эквивалентно равенству внутреннего предела внешнего решения, обозначенного через (у')', внешнему пределу внутреннего решения, обозначенному через (у')'. (4.1.17) Приближенное решение исходной задачи дается (4.!.4) для х вне окрестности нуля и (4,1.13) для х, близких к х=0. Чтобы вычислить у как функцию от х, необходимо при возрастании х переключиться с одного решения на другое при некотором малом значении х, например при таком х, когда оба решения могут пересечься.
Это переключение неудобно, и поэтому из этих двух решений мы построим одно равномерно пригодное решение, называемое составным региение»я и обозначаемое через у'. Оно имеет вид (Эрдейи [1961)) у» .уо ! у» (уо)г' уо ! ф (у()о (4.1.18) Поскольку ((уо)~)о (уо)1 (уи)о ((уо)!)»' (у )о . у»+(у!)» (уо)О (у»)О, (уо)! ! у1 (уо)~ у (4.1.19) Таким образом, составное решение является хорошим приближением во внешней области как внешнее решение и во внутренней области как внутреннее решение.
Это наводит на мысль, что составное решение является равномерным приближением на всем интервале изменения х, включая промежуток между внешней н внутренней областями. Успех сращивания обусловлен наличием общей области, в которой как внешнее, так и внутреннее решение и ригодпо, и, следовательно, между этими областями нет пробела. Сложив (4.1.4) и (4.1,13) и вычтя ре, равное (у')'- — (у')', в силу (4.1.17), получим у» ре» вЂ” к-т-(а — 13е)е — к,е ! 0(в) (4.1.20) Метод, рассматриваемый в этом пункте, был развит Прандтлем (1905] для решения задачи обтекания тела потоком вязкой жидкости прн больших скоростях. Функция тока, описывающая двумерное обтекание тела, должна удовлетворять уравнению в частных производных четвертого порядка. Для вязкой жнд- 128 Г.т.
4. Метод сращзееанил асимитотических разложений кости как нормальная, так и тангенциальная компоненты скорости на поверхности тела должны обратиться в нуль. Последнее условие называется условием прилипания, потому что любая незначительная вязкость заставляет жидкость прилипать к телу. Если вязкость обращается в нуль, то уравнение дпя функции тока приводится к уравнению третьего порядка (п. 2.2.2) и, следовательно, не может удовлетворить всем граничным условиям. Поскольку иевязкая жидкость может проскальзывать, то условие прилипания опускается, и в результате решение будет представлять движение жидкости всюду, кроме малой области вблизи тела, называемой пограничным слоем 7)рандгпля.
В этой области тангенциальные компоненты скорости изменяются очень сильно от значения, полученного из предельного уравнения (с вязкостью, равной нулю), до нуля, чтобы удовлетворить краевому условию прилипания, которое ранее было опущено. Для описания течения в этой области Прандтль увеличил ее, введя преобразование растяжения, оценил порядок величины различных членов исходного дифференциального уравнения и отбросил малые члены. Полученные таким образом уравнения были решены, н их решения были сращены с решением задачи для невязкой жидкости с использованием условия сращивания (4.1.16).
Аналогичную процедуру сращивания использовали Рэлей [1912], Ганс [19151, Джеффри [1924], Вентцель [1926], Крамерс [1926] и Бриллюэн ]1926) для соединения приближенных разложений с различных сторон от точки ветвления (ср. п. 7.3.1). Аналогичные методики применялись в девятнадцатом столетии: 1) Лапласом [1805] для решения задач о большой невесомой капле на плоскости и о широком мениске; 2) Максвеллом [1866] для решения задачи о крутильиых колебаниях круглых дисков, вращающихся между близкими фиксированными дисками; 3) Кирхгофом [1877[ для решения задачи о конденсаторе, состоящем из двух различно заряженных конечных круглых дисков.
4.1.2. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры сращивания Спустя годы многие исследователи расширили и обобщили метод Прандтля. В их числе можно назвать таких ученых, как Вейль ]!942], Фридрихе [1942], Дородницын [1947], Латта ]!951], Каплун [1954], [1957], [1967], Каплун и Лагерстром [1957], Праудман и Пирсон [1957], Вишик н Люстерник [1957], Васильева [1959], [1963] и Ван Дайк [1964]').
Процедуру сращивания фор- т! Обзор работ и библиографию по методу Вишина — Люстернина и его приложениям см. н обзорной статье В. А. Треногина 11970], а по асимптотичесним методам а теорив обынноаенных дифференциальных уравнений — в обзорной статье В. Ф. Бутузова, А. Б. Васильевой и гй. В. Федорюнз [1969!.— Прим. ред. ЕЛ. й!етой арощаеаная аоамавотакеакик раалааенай !кв мализовали Васильева [1959), [1963[, Ван Дайк [1964[ и Каплун и Лагерстром [1957[.
Кэрриер [1953[, [!954[ на частных примерах сравнил метод растянутых координат и метод сращивания асимптотических разложений. В этом пункте мы определим высшие приближения для задачи (4.1.1) и (4.1.2). Начнем с выяснения вопроса, какое краевое условие можно опустить, и попутно найдем соответствующее преобразование растяжения. Затем найдем внешнее и внутреннее разложения и срастим их, используя условие Ван Дайка. В конце мы построим равномерно пригодное составное разложение. Какое краевое условие должно быть опуи[ено2 Как отмечалось в предыдущем пункте, если е обращается в нуль, то (4.1.1) приводизся к уравнению первого порядка (4.1.3), решение которого не может одновременно удовлетворить двум краевым условиям у(О) =п и у(1)=[1, и, следовательно, одно из них должно быть опущено.
В окрестности того конца, где краевое условие опускается, у изменяется очень быстро и выходит на заданное граничное значение. Такое поведение у сильно отличается от поведения решения предельного уравнения. Эта малая область называется пограничным слоем, или областью неоднородности. Чтобы выяснить, должно ли быть опущено краевое условие у(1) =[1, введем следующее преобразование растяжения: ь = (! — х) е-х, Х > О. (4.1.21) Тогда уравнение (4.1.1) преобразуется к виду е' к~.—,— е-~ — +у=О.
йке йе !йк (4.1,22) Поскольку предполагалось, что решение предельного уравнения (4.1.3) пригодно при х=О, то уо=ае ' (внешнее решение). (4.1.24) Условие сращивания (4.1.!6) требует, чтобы [пп (А + Вь) = [пп пе " к-к Ф к ! или В=О и А=ае '. (4.1.25) При е — О уравнение (4.1.22) будет принимать различные предельные формы в зависимости от Х.
Случай Х > 1 — „=О или у'=А+В~. йке лыс (4.1.23) 130 Га. 4, Метод сращивании асимп~потичсских разложений Следовательно, у' =ае-*. (4.1.2б) Поскольку это решение пригодно при х =1, то оно должна удовлетворять краевому условию у(х=1) =К следовательно, (!=ае ', (4.1.27) что, вообще говоря, не верно. Мы отбросим этот случай, поскольку он не приводит к удовлетворению обоих граничных условий. Случай Л 1 — =О нли ус=А=р. йу (4.1.28) Этот случай должен быть отброшен, так как он не может удовлетворить условию сращивания.
Случай Л=-1 йсу йу — — =О или ус=А+Вес. й~с ~$ Из условия сращивания следует !пи (А + Вес) = ! пп ае-", 5 и и -~ 1 В=О и А=ае '. (4А.ЗО) (4.1.31) тогда уравнение (4.1.!) примет вид е'-'~ — + е-х — +у = О. йсу йу йь (4.! .32) В этом случае также существуют три предельные формы этого уравнения при е — О в зависимости от Л. Случай Л ) 1 — =О или ус=А+Вь. дау ~Ц~Я Случай Л(! —.=О или у'=-А. йу ~$ (4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
