1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(4.1.121) Равенство (4.1.121) получено в результате разложения уравнения (4.1.119) при больших ь с учетом неявной зависимости Р, от ь. Приравняв (4.!.120) и (4.1.121) в ссютветствии с условием сращивания „получим (4.1.122а) (4.1. 1 22б) следовательно, 1 Ря 1+Из!п,1 Составное равномерно пригодное разложение первого порядка в соответствии с ро ро+ рГ (ро)1 имеет вид +Р,Д вЂ” Из+О(Л- ), иа (4. 1. 123) где Р, определяется из (4.!.122б).
4.1ЗИ несимметричный изгиб предаарнтельно иаприженных кольцевых пластин Рассмотрим теперь задачу о несимметричном изгибе предварительно напряженных кольцевых пластин, которую поставили Альцхаймер и Дэвис !19681 и которая обсуждалась в п. 2.2.4. Эта задача приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка(2.2.28) с краевыми условиями (2.2.29), (2.2.30). При а — 0 уравнение (2.2.28) при- и, следовательно, оно должно удовлетворять краевому условию р(х=1)=1 нлн р'(ь=0) =1, что вместе с (4.1.116) приводит к Ро (0) — 1 ° (4.1.117) 4Л. Метод сращивания аслмлтотачесннх развтсенаа 143 ч =(1 /) 8-1 (4.!.126) г =1 и(д) должно удовлетворять и поэтому в окрестности точки уравнению два в да аел дч' ! - ч дч (1 - ч)'1 О.
(4.1.127) Внешнее разложение. Будем искать разложение вида И-1 и" =,~~ влил (г) + О (еее) (4.1.128) л=о с помощью внешнего предельного перехода: е- 0 при фиксированном г. Для этого, подставив это разложение в (2.2.28) и приравняв коэффициенты прн равных степенях е, получим — л+ — —" — л=О прн всех и, д ал ! с1а» ал дев г са ев (4.1.129) откуда ил лл — -1- Влг, Ал l (4.1. 130) где Ал н Вл — постоянные. Поскольку пограничный слой присутствует в обоих концах, то мы не можем испольэовать граничные условия для определения этих постоянных.
Они определятся при сращивании внешнего решения с решениями в пограничных слоях. водится к уравнению второго порядка (2.2,31), решение которого, вообще говоря, может удовлетворить только двум из четырех краевых условий. Следовательно, его решение не будет пригодным в окрестности одной или обеих границ, где необходимо вводить пограничные слои. С помощью рассуждений, аналогичных использованным в п.
4.1.2, 4.1.3, можно прийти к выводу, что пограничный слой будет образовываться в окрестностях обоих концов, т. е. при г =Ь и с=1. Пограничный слой при г=Ь характеризуется преобразованием растяжения ~=(г — Ь)е '. (4.1.124) Тогда в окрестности точки г =Ь уравнение для и примет вид (4.1.125) При г=! пограничный слой характеризуется преобразованием растяжении 144 Гл. Е. Монад сращивании асимиеиоиеиоескил разложений г Ь. В этом случае с помощью внутрен- фиксированном Внутреннее разложение е окрестности внутреннее разложение мы будем искать него предельного перехода е — О при = (г — Ь)е '. Пусть и'==(7,(~)+е(7, (ь)+...
(4.1.131) Подставив это разложение в (4.1,125) и приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим ( )'- — 1) — ' — О, И~о ) с~о (4.1.132) ~)-' ) и' Х и'Г7о ~ Г Ео Х Еыо о 71 2 "х о Л~а ) Есое 6 ~ Лсос ) Есо (4.1.133) Это разложение должно удовлетворять граничным условиям (2.2.29), т. е. лиг иг(ь=О) =Ьа, — (ь=О) =еа. (4.1. 134) Последние условия вместе с (4.1.131) приводят к ЕУ,(0) =Ьа, (/;(0) =О, е/,(0)=0, (l,(О)=а. (4.1.135а) (4.1.1356) Общее решение (4.1.132) имеет вид (7о =-ао+Ь,Д+с,е-С+с(,еС. (4.1. 136) Таким образом„(7о может быть записано в виде Цо -Ьа+С,(Е С+Ь вЂ” 1), (4.1.137) где с, †постоянн, которая должна будет определиться при сращивании.
Чтобы произвести сращивание, положим т=п=1 в условии сращивания (4.1.66). Имеем со (г — 61 л, „, если с,-ьО, ~+ Во Ьа, если с, О. (4.1.138) Следовательно, со=О, Ь-+ВоЬ =Ьа. Ао (4.1.130) Постоянная с(о должна быть равна нулю, иначе 17о будет экспоненциально расти и его нельзя будет срастить с внешним разложением. Краевое условие (4.1.135а) требует, чтобы Ь, =-с„ао+с, =-Ьа. есд Метод соаа4иоания асиаатотичесхих рааяаясение 145 ,1(ля того чтобы определить А, и В„требуется еще одно соотношение между ними, которое может быть получено только при сращивании внешнего разложения с внутренним при г=1.
В этом примере можно было бы сразу выписать разложение до высших порядков и затем применить сращивание. При этом возникли бы громоздкие алгебраические выражения, пропорциональные с,. Вообще говоря, не удается определить внешнее и внутреннее разложения до любого порядка и затем применить сращивание для определения произвольных постоянных. Например, в задаче об обтекании тела прн больших числах Рейнольдса приходится строить разложение последовательно шаг за шагом (см., например, Ван Дайк 11964]). Если ~/, =-Ьсс, то решение уравнения (4.1.133), удовлетворяющее краевому условию (4.1.1356) и не растущее экспоненниально, имеет вид О, =с,(е с+ь — 1)+аь. (4.1.140) Чтобы определить с„ мы срастим двучленное внутреннее разложение с двучленным внешним разложением. Имеем двучленное внутреннее разложение(двучленного внешнего разложения) = = — ' + В,Ь+е ~ — '+В Ь+(Во — ья ) ~] ° (4 1 141) двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего разложения) = Ьа + (с,+ а) х х (г — Ь) — ест (4.
1. 142) Приравняв (4.1.141) и (4.1.142) в соответствии с условием сращивания, потучим "—,;+В,Ь+е ~ — "„'+ВсЬ+(Во — ьз) 11 = =Ьа+(с, +а)(г — Ь) — ес,. (4.1.143) Поскольку ь=(г — Ь)е ', имеем — '+В,Ь= — с„В,—,'=-с,+а. о (4.1.144) Таким образом, мы имеем два уравнения для А„ В, и с,; третье соотношение между ними получается при сращивании внешнего разложения с внутренним в точке г=1.
Внутреннее роалажение в окрестности точки г !. Внутреннее разложение вида и'=(г.(ч)+ К(ч)+". (4.1.145) вблизи точки с=1 будем искать с помощью внутреннего предельного перехода е — 0 при фиксированном т) =(1 — г) е '. Подставив это разложение в (4.1.127) и приравняв коэффициенты .при равных степенях е, получим Поскольку г = 1 соответствует т) = О, то и' должно удовлетворять граничным условиям (2.2,30), т.
е. ил= — =0 при т)=0. =йч = Решение задачи (4.1.146), (4.1.149), не растущее экспоненциально, имеет вид с?,=с,(е ч+т) — 1). (4.1.151) Чтобы определить с„срастим одночленное внешнее разложение с одночленным внутренним разложением. Получим Ао+Вв =св —, откуда с,=О и А,+В„=О 0,=0. Решив (4.1.139) и (4.1.153) относительно А, и В„получим (4.1.155) Следовательно, (4.1.156) Поскольку (?о=О, то решение задачи (4.1.!47), (4.1.150), не растущее эксполенциально, имеет вид (?т =с,(е ч+ т) — 1). (4. 1. 157) 146 Гл. 4.
Метод сращивания асиматотичесхих разложений Эти условии в сочетании с (4.1.145) дают (?,(0) =О, (?;(0) =О, (?,(0)=0, (?;(0)=0. (4.1. 146) (4.1. 147) (4.1.149) (4.1.150) (4.1.153) (4.1.154) о.1. Метай еращивапня аеиматотичесяия раямоееиий ыт Чтобы определить с„срастим двучленное внешнее разложение с двучленным внутренним разложением. Имеем двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего разложения) = О+ь (2А,т) + А, + В,), (4.1.156) двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего разложения) =-с,(1 — г) †,. (4.
1.159) Приравняв (4.1.156) и (4.1.159) в соответствии с условием сращивания, получим 2Ьоа 2Ь'а с, = 2А, = —,, А, + В, = — с, = —,, (4.1.160) Поскольку А, и Во определяются из (4.1.155), то (4.1.144) дает с,=— (4.1. 161) а из (4.1.144) и (4.1.160) следует 2аЬ (1+ Ьо) 2аЬ (1+Ь) А, = — — — — Ьо)~, В, = —,, (4.1.162) Это завершает определение всех постоянных интегрирования для разложения второго порядка. Составное разложение. Сначала соберем все результаты предыдущих трех пунктов ь.
~ —,— «~+ (, ья), ~ —,— (1+Ь)~~+0(~'), (4.1,163) и'=-Ьа — а 1 — ь* ~а + 1 — 1)+0(е ), (4.1.164) и' = е, (е "'+ ц — 1) -1- 0 (ее) 2Ьоа (4,1.165) (и')'= Ьа — 1 Ье е ~ 2 ь — 1)+ 0(в') (4 1 166) 2а / 1.1 Ьо (ио)е = —, з (е) — 1) (-0(ео) 2Ь'а (4.1. 167) Таким образом, составное разложение, равномерно пригодное в интервале [Ь, Ц, имеет вид и» = по+ ие+ ие (ио)е (ио)у— — —,е 1+ 1~ ~, е "+0(ео). (4.1.168) !46 Гл.
4. Метод сращивания асимптотичсских разложений 4Л.6. Термоуоругпе поверхпостпые волиы В п. 2.4.3 задача о термоупругих поверхностных волнах была сведена к решению алгебраических уравнений (2.4.35) для квадрата волновой скорости х=с'. Прямое разложение для решения этого уравнения при малых е (см. п. 2.4.3) имеет вид при малых т и х= — ~1 — — ! — — ! ~~— ,+Мз~)+0(св) (4.1.170) при больших т, где Р(свл) и М(сл) определяются из (2.4.39) и (2.4.42) соответственно, и хи=си ж0,2817 (квадрат скорости волн Рэлея).
Скорость волн Рэлея является решением уравнения (4.1. 171) С(сл) =1 — сл. Ясно, что разложение (4.1.159) становится непригодным, если т11/х„. Действительно, х — оо, если т- 1/хл. Второй член разложения (4.1.170) показывает, что оно становится непригодным при т11, а из рассмотрения третьего члена следует, что пригодность этого разложения нарушается задолго до т=1. Поскольку из (4.1.171) 6(хл)= 1 — хл, то коэффициент при М' в (2.4.42) обращается в нуль, если с=1/хлж3,550.
Следовательно, как М, так и х стремятся к бесконечности прн т) !/хл. Таким образом, оба эти разложения становятся непригодными при тл=1/х,. Чтобы определить разложение> равномерно пригодное для всех т, мы будем рассматривать вышеприведенные разложения в качестве внешних разложений и дополним их внутренними разложениями вблизи т =ел. Во всех примерах, рассмотренных до сих пор, нам приходилось применять преобразование растяжения только к независимым переменным. Однако в этом случае мы нашли, что преобразование растяжения необходимо применить как к независимой переменной т, так и к зависимой переменной х. Введем следующее преобразование: т — тл хл — х Т= — е ", Х вЂ” е, 0(т, и < 1.
(4.1.172) тл кл 4.д Метод сраи1иеанип асимптатииеских разаассений 149 тогда при е — О равенство (4.1.174) примет вид Х 11+6'(хл)1 = Полагая в'= Х вЂ” Т, (4.1.1 75) (4.1.175) можно переписать это уравнение в виде $'+ТЪ=К, где К= 2 1/! — хр ! 1+ 6' (хй)1 Следовательно, решение этого кубического уравнения дает первый член внутреннего разложения. Это кубическое уравнение имеет один или три корня в зависимости от того, положительно выражение Кс Тс О= — +— 4 27 или нет. При положительных или малых отрицательных Т величина 0 положительна, и уравнение имеет только один действительный корень: ~с/ ! К !.
)/ Р— ~/ — К -(-)/Е). (4.1.177) Прежде чем делать замену переменных в (2.4.35), заметим, что ~! — хт (1+ е)+ А~с = (1 — хт+ А)' — 2хте (1 — хт 1- А) + О (е') = (1 — хт)'+ 2А (1 — хт) + А' — 2ахт(1 — хт+ А) + О (а') = =(1 — хт) ~2 — хт — х+2А — ахт 3 — 2хт+2А 1 ~ + 0(е'). 1 — хс Следовательно, соотношение (2.4.35) может быть переписано в виде — — к -~-2А (1+! )+0(е"). (4.1.173) После преобразования (4.1.172) получим хи.>а'( с= ' .сс~), (43.174) Чтобы получить нетривиальный результат при а — О, положим 2 лт =и=— 3' 152 Гл. 4. Метод ераониеанил аеиматоаитеенил раэложений двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего разложения)= х [1 — ае/е =~ (4,1.178) К л 1/ двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего разложения) = (4.1.179) — х [1 аме К 1/ — Т Написав (4.1.179), мы нашли решение уравнения (4.1.176) при больших отрицательных значениях Т и выбрали корень ~=)/ — Т вЂ” — +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
