1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотреть задачу еу" +у'=ух, у(О)=а, у(ц=р. (а) Определить трехчленное внешнее разложение. (б) Определить трехчленное внутреннее разложение. (в) Срастить оба зтн разложения и построить составное разложение. (г) Определить трехчленное равномерно пригодное разложение, использун метод составных разложений (МСР) и сравнить результат с результатом (в). 4.а. Определить разложения второю порядка (трехчленные разложения) для задачи еу" — у' = ух, у (О) = а, у (ц = р используя а) метод сращивания асклштотических разложений (МСАР) н 6) МСР.
4.3. Определить равномерно пригодные разложения второго порядка для задач д" ~ (ух+ цд'+уд=О, д(о)=, у(ц=р. используя а) МСАР, 6) метод Литты и в) метод Бромберга — Вишнка — Люстерпнка. 4.4. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для зинни еу" — и(х) у'+Ь(х) д=о, п(х) > О, у(0)=а, у(ц=(3. используя а) МСАР и 6) МСР. 4.5. Рассмотреть задачу еу"' — у'+у=о, у(о)= „у(ц=р, у'(ц=1. а) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характе- ризуется преобразованиями растяжения Ч = х/е и ь = (! — х)(е. 6) Определить равномерно пригодное разложение второго порндка, исполь- зуя МСАР.
е) Определить разложение второго порядка, используя МСР и полагая у =- Р (х; е) + С (Ч; е) + Н (с; е), гле С 0 прн т)-+се и Н->О при й-+ге. 171 4.6. Определить равноиерно пригодные разложения первого порядка (двучленные равномерно пригодные разложения) для задачи (2.2.28) †(2.2.30), используя оба варианта МСР. 4.7.
Показать, что МСАР не может быть использован для получения равномерно пригодного разложения для е'у" +у=( ( '). у(О) =и* у(1) =8. Можно лн нз этого примера заключить, что МСАР неприменим к задачам колебаний? 4.6. Расслгатреть задачу, определяемую (2.2.28) при и ~ г ~Ь с граничными услоаиямн и(ь)=ь, — (ь)= йи йг Определить двучленныеравномерно пригодные разложения, используя а) МСАР и б) МСР. 4.9. Колебания балки с жестко аакрепленными концами описываются уравнением пзи бэи —,Ри г(хз д~з и (О) = и ( 1) = и' (О) = „(1) Определить разложение первого порядка при малых е для и и ) 4ЛО. Теплопередача в одномерном стационарном потоке без дяссипэцни описывается краевой задачей (Ханка (197Ц) г!зт г)т е —.+к — -кТ =.О.
дхэ дх т(о)=-т„, т(!)=тп Определить разложения первого порядка, используя а) МСАР и б) два вари- анта МСР. 4.11. Определить равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения (х+еу) у'+(2+х) у=о, у(!)=Ае-', используя МСАР. Можно ли сделать вывод, что метод растянутых координат (МРК) являетсв боже пригодным к таким задачамй 4.12. Определить одночленные разложения для решения аадач ву" й.(йх+ !) у'+уз=о, у(О)=п, у(1)=р. используя МСАР и МСР. 4.16.
Определить сдночленные разложении для у"+п(х) у +у =О, у(О)=гц у(!) =й, 172 Гж 4. Метод срищгмания аснмпп1оглнчлгкнх разложений используя МСдР и МСР, если а (х) а) отрицательно и б) полон1ительно на интервале 0 ~х~ 1. 4А4. Определить разложение первого порядка для задача из предыдущего упражнения, если а (х) имеет простой нуль р, где Олэр~ 1. 4.16. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для еу" -.й уу' — у=-О, у (0) = а, у ( 1) = В, икеользув МСАР и МСР.
4.16. Ламннарный поток в канале с пористыми стеккамн н случае всасы- вання приводит к задаче (Праудмен [1960»; Террил и Шреста [1966») е/ // -1. / з =с (е), /(0)=-! — а=и, /'(0)=0, /(1) = 1, /'(!) =.О. При потожительных а; а) показать, что внешнее и внутреннее разложения перина порядка нме1от вид /а =- а ей хй + е), (х) + ..., /' — ! +аВ (1 — 9 — е — ч)+ ..., 9 =-(! — х)/я, »).—.аЬ+е61+..., х= — бз, и определить Ь, В, [)1 и /1; б) сформировать составное разложение; в) опреде- лить разлон<ение первого порядка, используя МСР. 4.17. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения в случае а < О. а) Показать, что равномерно пригодное разложение даетсн выражениями /"=! — а+ах+а/, (х)+..., /1 — ! 1 а(! — 1! — с — и) — 1-, 11=(! — х)/е, /1=о-[- — ' (1 — Š— е-й)+..., й=. (сг — !) х/е, а — ! й=а-1-в[)1+..., с=йз, и определить /, и Рг.
6) Построить составное разложение. в) Определить разложение первого порядка, используя МСР. 4.16. Рассмотреть задачу щ1„„+и +а(х) н„=О, и(0, у) х Вт [у~, и(1. у)=уз(у), и(х, 0)=бт(х), а(х, !)=-Вз(х). а) Показать, что пограничный слой присутствую при х=О, если а(х) > О, н при х=-1, если а(х) < О. В первом случае он характеризуется переменпо(1 я=-х/е, а во второл1 — ь=(1 — х)/а, б) Найти уравнения, определяющие первые члены внешнего и внутреннего разложений, и срастить зти разложения. в) Используя метод Латтв, показать, что и» А (х, у) + В (х, у) е- ча1га+О (е), 17З Упражнения где 6(х)=$ а(х)бх при а(х) > 0 о 6 (х) = ( а (х) бх при а (х) < О.
Определать уравнения для А и В. 4.19. Рассмотреть задачу и (пах+и „)+и(х у) ~гх+1~ (х, у) и=О, и(х, 0)=-Е, (х), и(х, 1)=-уз(х), и(0, у)=6,(у). и(1, у)=6з(у). а) Нвнти ураввення для первЫх членов внешНего и внутреннего разложе- ний в срастить зтн разложения. б) Использовать МСР для получения равномерно пригодного разложения первого порядка. 4.20.
Рассмотреть задачу взт1'и-1- и (х, У) и .и+ у (х, У) их -1 с (х, У) ии — — О, и(х, О)=рг(х), и(х, ц.=-гз(х), (О, у)-6,(у), (1, у)-6з(у). Определить уравнения для первых членов внешнего и внутренвего разложений и срастить вк. 4.21. Используя МСР, получить равномерное разложение прв боаыпиь й для задачи (2.1.3г) — (2.1АО), опгкываюпгей обтекание сферы. ГЛАВА 5 Вариация произвольных постоянных и метод усреднения 5.1. Вариация произвольных постоянных Тогда (5.1.3) примет вид у' = — А,у,'+ А,у,'. Дифференцирование (5.1.5) по х дает у" = А >у> + А еу~ + А >у> + КМъ (5.1.5) (5.1.6) Подставляя в (5.1.1) выражения для у, у', у" и используя тот факт, что у, н у, являются решениями соответствующего однородного уравнения, получим А;у,'+ А;у,' = )с.
(5.1.7) Эта методика первоначально Г>ыла развита для решения неоднородных линейных уравнений при условии, что известны общие решения соответствующих однородных уравнений. В качестве примера рассмотрим общее линейное неоднородное уравнение второго порядка у' + р (х) у' + (> (х) у = й> (х). (5,1.1) Пусть у,(х) и у,(х) — два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (5.1.1) в виде у =- А, (х) у, (х) + А „(х) у, (х), (5.1.2) где функции А, и А, подлежат определению.
Отметим, что в выражении для общего решения однородной задачи величины А, и А, являются постоянными, в неоднородном же случае они могут изменяться. Отсюда и название метода — „вариация произвольных постоянных*'. Дифференцирование (5.!.2) по х дает у' =- А>у> + А,у, + А>у> + А'у.. (5.1.3) Поскольку для трех неизвестных функций (А„А„у) имеем всего два уравнения — (5.1.1) и (5.1.2),— то мы вольны наложить на А„А„у еще одно условие. Потребуем, чтобы А;у, +А;у,=О.
(5.1А) д.1. Ватощция ироиэоолоиогк иостоянник !75 Решив систему (5,1.4), (5.1.7) относительно А; и А;, получим А' = — ~' (5.1.8) Я7 (х) Р (х) у, (х) )р (к) (5.1.9) Величина ЯУ(х) называется вронскианом и задается равенством В'(х) = п,(х) р' (х) — д', (х) у, (х). (5.1.10) Общее решение уравнения (5.1.1) примет вид В=с,п, (х)+с«р«(х)+р„(х), (5А.11) где с, и с,— постоянные, а частное решение у задается формулой к оо,) и (б (х) =" "'( )"'( ) "'( )"'( ) К(1) г(г.
(5.1.12) «« В.1ди Решения уравнения Шредингера, оависящяе от времени Рассмотрим уравнение Шредингера Ноф+ —.— = — Н «р о д«) кги д( (5.1.!3) при однородных граничных условиях. Здесь Н, и Н,— линейные операторы, соответственно независящий и зависящий от времени. Предположим, что уравнение Ноф+з— ; д( «б Ь др (5.1.14) при тех же однородных граничных условиях имеет решение Р ф= ~,а„ио(х)е ", го„= — Его о=.! (5.1.15) Здесь а„— постоянные, ио и ń— соответственно собственная функция и принадлежащее ей собственное значение задачи Неи =Ем (5.1.16) Изложенная методика обобщена и может применяться для нахождения решений в задачах, где неоднородность представлена функцией как зависимой, так и независимой переменной.
Причем зависимая переменная может входить в правую часть и нелинейным образом. Ниже будут рассмотрены два примера; первый из них — линейный, второй — нелинейный. !76 Гп. Гх Вариация ироиавояьнл»х паса!ояннп»х и месяод усреднения при тех же однородных условиях. Собственные функции и„предполагаются ортонормированными в некоторой области О. Следуя Дираку (19261, мы будем предполагать, что решения возмун!енной задачи имеют тот же вид (5.1.15), по величины а.
меняются во времени. Подстановка (5.1.15) в (5.1.13) дает '5'а,(Н,ип(Х) — Елин(Х))Е '""'+ — ".'~ 'д" ил(Х)Е ' и' =— л=! п=! — -- — ~~'„Н, [алия(х) е с~п'1. (5.1.17) л=! В соответствии с (5.1.16) первое слагаемое в левой части этого уравнения обращается в нуль, и тогда (5.1.17) принимает внд О » г — „," нл (х) е ' = — — „',~, Н, [а„ил (х) е ' " [. (5.!.18) п=! и=! Умножая (5.1.18) на иа(х), интегрируя по области 0 и используя ортонормнрованность функций ип, получим да, 2н! ъ-и и» д! = тс' — — е и! Н 1 п»п п= ! (5.1.19) где Н, „-=~ иа (х) Н, [аппп(х)е !"и! [!(х. (5.1.20) — = — —,~„а е Й„ даа 2л!' и и !»и д! а я» !.лп л=! (5.1.21) где и»ал::и ь (Š— Ел), Й „„=- ») и (х) Н [ил(х)) с(х, (5,1,22) о Уравнение (5.1.21) эквивалентно полной задаче, определяемой уравнением (5.1.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
