1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 26
Текст из файла (страница 26)
209) и имеем ( —,!) р=о. (4.1.210) Поскольку общее решение дифференциальных уравнений в частных производных, вообще говоря, не известно, то, по-видимому, более удобно и целесообразно строить внутреннее и внешнее разложения последовательно, член за членом, применяя условие сращивания в качестве ведущего принципа при формировании этих разложений. Так как решение Стокса (2 1.51) равномерно пригодно, то мы можем найти первый член в разложении Озеена, применив предельный переход Озеена в (2.1.51). Чтобы определить вид второго члена, используем условие сра- щивания а.д Метод ертаиеааия аеииатотииеекик Раоаокееиий !57 !2!'$* = — — зш' О+ О (й), з ! 2 ИчР =К ОЦ'=РаПР,(1, О)+Од ), (4.1.211) и условие сращивания означает, что одночленное разложение Стокса (одного члена й>к~р') = =одночленному разложению Озеена (одного члена !2!екрк), (4.1.212) то получим одночленное разложение Стокса (Р'Че,) = †, — з!п' О.
(4.1.213) з ! 2 р Чтобы удовлетворить этому условию, будем искать решение в виде <Р = з)пк О) (р). (4.1.214) Имеем à — Я+Я~=0. (4.1.2!5) Решение для !', не растущее экспоненциально, имеет внд ~ = А (! + — ! е-о/к> о. Р/ (4. 1. 216) Тогда 0'Ч'к = А (! + — 7! з!и' Ое-о/к! о <к-е щ, (4.1.21у) 2Ъ Р Следовательно, 2А 1 одиочленное разложение Стокса (ЕРЧ',) = — — з!пк О.
(4.1.218) Й к В этом случае (4.1.213) дает А =3/4 и О'Ч", принимает вид Реккк ~ 1 + 7! ьбпк Ое-!к/к> о о-саво) (4.1.219) 3/ 2х Р Частное решение уравнения (4.1.219) имеет вид Че — З (1 ! созО)е-!к7е>он- е! (4.1,220) Вместо того чтобы искать общее решение уравнения (4.1.208), решая (4.1.209), (4.1.210), и затем использовать условие сращивания (4.1.206) для выделения членов, соответствующих решению Стокса, Праудмен и Пирсон (1957) срастили сначала Я"Ча и Як~р'„ Поскольку 133 Гл. 4. Метод сращивания асимототинесних равлоясениа Поэтому' Ч", — — Ч'„+ — (1+ соз 8) е-!ыв! а и-с" о!. (4.1.221) 3 Тогда из (4.1.206) получим одночленное разложение Стокса: (Ч'„) = — — (1+ соз 8).
(4.1.222) 3 Следовательно, Ч"„= — 3(1+созб)!2 и разложение Озеена примет вид фо = —. р' яп' Π— — (1+соя 8) [1 — е-ьчв! а !'-' о!1+ 0 (1). 3 2ое 21~ (4.1.223) Второй член е разложении Стокса. Из уравнений (2.1.5!), (2.1.52) и (2.1.58) следует, что разложение Стокса второго порядка имеет вид вР* = — ( 2гв — Зг+ — ) зш' О+ ! / 1! +Й ~ — — (2гв — Зг+ 1 — + —,) яп'Осозб+вР„~+0(Яя), 3 г 1 1 ! (4.1.224) где ф„— дополнительное решение уравнения (2.1.52). Чтобы найти ~К„срастим два члена врв с двумя членами !ро.
Имеем двучленное разложение Стокса: ф - !р,+Я (вр,,+ врое). (4.1.225а) Запишем через переменные Озеена: ! (' рв зр !с 41, !!я Р = — ! 2 — — —.+ — ) яп'О -1- 3 Г р' зр + !т ~ — — ~2 — =+ 1 — — + — )Х 32~ йв 1! ') Х з1пв О сов 8+вРв, ®, 8) . (4.1.225б) 1 Двучленное разложение Озеена: = —, р* зш' О+ + — ! — — ! рз!пвб+ — р'3!и'Осозб)+ 4 -(-члены порядка О(1) по !тя!р„(ф, 8)~. (4.1.225в) 1 Двучленное разложение Озеена: Чв- й-троян'8— !!я — — (1+ соз О) [1 — е-!ЫЯ! Р !'-' о!). (4.1,22ба) Ы 4.2. а1етад составных раэваэсснай Запишем через переменные Стокса: = — г'з1п'0— 1 2 — — (1+созО) !1 — е-опонии-' а11. (4.1.226б) 3 2й 3 Двучленное разложение Стокса: = ( — г' — — г) яп' 0 + + — г')7 яп'О (1 — соз О).
(4.1,226в) 3 Приравнивая (4.1.225в) и (4.1.226в) в соответствии с условием сращивания, получим одночленное разложение Озеена: (эр„) = — „го яп' О. (4.1.227) 3 Это наводит на мысль, что решение надо искать в виде эК, =1(г) з!и*О. (4.1.228) Тогда из (2.1.50) получим )(г) =-с,г'+схгх+сэг+с,г '. (4.1. 229) Условие сращивания (4.1.227) требует, чтобы с,=О и с,='1„, в то время как граничные условия эр,(1, 8) =э)„(1, 8) =0 озна- З 3 чают, что с, = — 32, с, = —.
Поэтому 32' э 32' 1 / эра= — (2га — Зг+ — ) з!п'О+ — )7 ~(2гэ — Зг+ — ) яп'0— с,) 32 с — (2г* — Зг-1-1 — + —,) яп'Осоз01+0()тэ). (4.1.230) 1 1 1 Высисие приближения. Праудмен и Пирсон 11957) нашли, что частное решение для эр, содержит !п г, что приводит к появлению 1п )7 прн срашивании. Это является еше одним примером, в котором возникают логарифмы параметра возмушения в результате сращивания разложений, одно из которых содержит логарифмы независимой переменной. 4.2. Метод составных разложений Составные разложения, полученные в п.
4.1.! — 4.1.7, являются частным случаем разложений вида У(х! е) =У'(»' е)+ус(ь' е) — (у')'= — у'+у' — (у')', (4.2.1а) где у — зависимая переменная, е — малый параметр, х — внешняя переменная, ь — внутренняя переменная. Составное разложение может рассматриваться как сумма двух членов Р(х; е)=у' и сэ(Ь; е) =у' — (у')с, т.
е. у(х; е) =г (х; е)+6(Ь; е). (4.2. ! б) гво Гл. 4. Мстиид сращивании асиииаиэииигсиих риэлажениа Вместо того чтобы определять внешнее и внутреннее разложения, сращивать их и затем строить составное разложение, Бромберг [19561 и Вишик и Люстерник [1957) предположили, что решение имеет вид (4.2.1б) и пригодно всюду. Следовательно, оно удовлетворяет всем граничным условиям. Взяв внешний предел от (4.2.1б) получим у'(х; е) =.г'+6'. (4.2.1в) Эта функция должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, выраженному через внешнюю переменную.
Аналогично, функция (4.2.1г) 4.2пг. Уравнение второго порвана с постоииными коэффициентами Рассмотрим задачу еу +у'+У=О, 0(х(1, у(0) =гх, у(1) =6. (4.2.2а) (4.2.2б) Как показано в п. 4.1.1, прямое разложение становится непригодным вблизи точки х=.О, а чтобы описать поведение у в области неравномерности, вводилось внутреннее разложение, использующее преобразование растяжения ь = хе '. Было показано, что внутреннее разложение содержит функцию е-С=а- м. Поскольку при дифференцировании функция е-"" выражается через саму себя, то нет других специальных функций, необходимых для представления составного разложения. Поэтому Латта пред- должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, записанному через внутреннюю переменную.
Чтобы найти приближенное рсшснис, Е и 6 раскладывают по е и для каждого уровня приближения получают уравнения и краевые условия. Этот метод применил Чудов [1966) для вязкого обтекания плоской пластины. Вариант метода Бромберга заново открыл О'Малли [197Ц. Другой методссставных разложений ранеебыл предложен Латта [195Ц.
В соответствии с этим методом предполагалось, что решение также имеет вид (4.2.16), но 6 является функцией внешней переменной и внутренней переменной ь", которая имела более общий вид д(х)/6(е), а не х/б(е), причем функция д определялась в результате анализа. Кроме того, Латта исследовал внутреннее разложение и искал специальные функции, которые могут быть использованы для представления 6(х, ь; е). Ниже мы проиллюстрируем оба метода, применив их к частным примерам.
Е.2. Метод состаоных роэложений положил, что у имеет равномерно пригодное разложение вида н у ~~Р ао[ (Х) +е-н:о ~Р аль (х) (4.2.3) о=о о=о Подставляя (4.2.3) в (4.2.2а) и (4.2.2б) и приравнивая к нулю коэффициенты при е" и в"е-"" для всех и, получим уравнения для !'„и л„. Уравнения для и=О, 1 и 2 имеют вид 7;+[„=-О, Ь; — 8„=0, (4.2.4) (4.2.5) [;+ ~, = — ["„Ь; — Ь, = Ь",. (4.2.6) Краевые условия имеют вид 1о(1) =[1, 1о(О)+лр(0) =а, (4.2.7) 7,(1) = О, 7„(0) 1- Ь„(О) = 0 при 11 ) 1.
(4.2.8) Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами е-"л„(1). Решения уравнений (4.2.4) с краевыми условиями (4.2.7) имеют вид рез — н ь ( о [1е) ен (4.2.9) Подставив (4.2.9) в (4.2.5) и решив полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим 7, ==[) (! — х)е' ", Ь, = [ — ре+(а — ре) х) е"'. (4.2.10) Подставляя решение первого порядка в (4.2.6) и решая полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим [, = — р (1 — х) (5 — х) е"-", 1 А, = — ~ — — ре+ (2а — 3[)е) х+ — (а — ()е) х' ~ е".
(4,2.1!) о 1 Используя полученные решения, найдем разложение (4.2.3). Имеем у — — р ~ 1-(- е (1 — х) + — (1 — х) (5 — х)~ е' "+ 1 + ~ а — ре+ а [ — ре+ (а — ре) х~ + +е' ~ — — йе+(2а — 3()е)х+ — (а — йе)х') 1е' хм+0(в'). (4.2.12) 5 1 Легко проверить, что внешнее разложение (предел при е 0 и фиксированном х) первых двух членов этого разложения дается выражением (4,1.49), а внутреннее разложение (а- 0 при фиксированном Ь=х7е) дается выражением (4,1.76). Таким обра- !62 Гя.
о. Метод сращивания асинитатиоеския разложений зом, метод составных разложений дает равномерно пригодное разложение непосредственно без определения внешнего и внутреннего разложений, срашивания их и построения затем составного разложения. Найдем теперь разложение для у с использованием метода Бромберга и Вишика и Люстерника. Предположим, что у(х; е) =.г (х; е)+6(ь; е)= =го (х)-!6, (ь)+е !гз (х)+6, К))+е' (Ро (х)+6, (Ь)1+..., (4.2.13) причем функцией 6 (ь; е) вне внутренней области можно пренебречь (Бромберг [1955)), т. е. 6(ь; е) 0 при Г ои, поэтому у'(х; е)=-Р(х; е)=г,(х)+еР,(х)+в*го(х)+ ., (4.2.14) Поскольку х=-еь, то у (х; е) = — Е,(0)+6,(ь)+а (Е'„(0)в+ г, (0)+6, (ь))+ +е' ~ —,г'о'(0)ьо+г;(0)ь+Го(0)+6. (ь)1+.... (4 2,15) Так как предполагается, что функцией 6(ь; е) вне пограничного слоя можно пренебречь, то г (х; е) удовлетворяет граничному условию у(1) — --(1.
Следовательно, г"„(1) = р, Е„(1) = 0 при и ) 1. Граничному условию у (0) = со должна удовлетворять функция Е+6, т. е. го(0)+6о(0)=со, Ги(0)+6„(0)=0 при л)1. (4.2.!7) Чтобы найти уравнении для Р„, подставим (4.2.14) в (4.2.2а) и приравняем коэффициенты при равных степенях е, предполагая х фиксированным. Получим г';+Р„=О, (4.2.18) Р„'+Р„= — — Р„, при и) 1. (4.2.19) Чтобы определить уравнение для 6„, выразим сначала (4.2.2а) через внутреннюю переменную е.. Имеем йод йу йь'- йь — + — +ау = — О. Подставляя (4.2.15) в (4.2.20), приравнивая коэффициенты при равных степенях е и считая Ь фиксированным, получим 6„"+6;=О, (4.2.21) 6з+6(= — 6о — Ро(0) — Ео(0)в (4.2.22) 6о+ 6о = — 6з (Ро (О)+ Го (0)) ~ — Рд (0) — Рз (0) — Ро (0) (4 2 23) !63 э'.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
