1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 22
Текст из файла (страница 22)
34) Таким образом, этот случай также должен быть отброшен, поскольку краевое условие у(х=1)=~ приводит к (4.1.27). Таким образом, пограничный слой не может существовать в окрестности х=1, и, следовательно, краевое условие в этой точке нельзя опустить. Чтобы исследовать вопрос, можно ли опустить краевое условие у(О) =а, введем преобразование растяжения ь=хе ~, Л О, 4Л. Л4евод сращивания асимтяатинесяих раеяояхииа 131 Случай Х = 1 — „", -1- — "=О, у'= А+Ве-с. (4.1,35) Первые два случая должны быть отброшены по причинам, которые были рассмотрены выше. Третий же случай при использовании краевого условия у(О)=а дает внутреннее решение у' = А+(а — А) е-с.
(4.1. 36) Условие сращивания требует !пп 1А+(а — А)е-~]= 1пп (ре' "), или А=-!)е, (4,1.37) й -> ю х -и О откуда у' = 11е+ (а — ре) е-О. (4.1.38) ь =хе-', (4.1.39) которое использовалось в (4.1.5). Следовательно, область неоднородности имеет вид х=О(е). (4.1.40) Внеинее разложение. Будем искать внешнее разложение в виде Ф-1 у'(х; е) = ~ ену„(х)+0(ен), (4.1.41) н=а Используя внешний предельный переход е О, х фиксировано, (4.1.42) имеем у, (х) нн 1!гп у (х; е) е -н О х енкснроннно о1-1 у — Чн сну (х) у„(х) = 1!1п в О ев х фнксщюннко (4.1.43) Таким образом, пограничный слой существует в окрестности точки х = О, и краевое условие у (0) = а не может быть наложено на предельное уравнение (4.1.3).
Попутно мы нашли преобразование растяжения ~зз Гя. а. Метод сращивания ааимпп»отиеесник рааяоасенид Чтобы определить это разложение, подставим (4.1.41) в (4.1.1) и приравняем коэффициенты при равных степенях е. Получим у',+у,=о, (4 1.44) уп+у.= — уп1 п)1. (4.1.45) Как было отмечено в предыдушем пункте, это внешнее решение пригодно всюду, за исключением области х = 0(е). Следовательно, оно должно удовлетворять краевому условию у'(1) =р, которое вместе с (4.1.41) приводит к у,(1) =К у„(1) =О прн и) 1.
(4.1.46) Решение уравнения (4.1.44), подчиненное условию у, (1) = р, имеет вид у,=()е' '. (4.1.47) Решение уравнения (4.1.45) при и = 1, подчиненное условию Уп(1)=О, имеет вид У,=()(1 — х)е'- . (4. 1. 48) Поэтому У =на(1+е(1 — хне'-"+0(ее). (4.1.49) Внутреннее разложение.
Чтобы построить разложение, пригодное вблизи начала координат, применим преобразование растяжения (4.1.39) и преобразуем (4.1.1) к виду дау~ ду» — + — + у=о. Будем искать внутреннее разложение в виде л-1 уг(х; е) = ~ е")'„(ь)+0(ел') (4.1.51) и=» используя внутренний предельньш" процесс е- О, Ь =хе-' фиксировано. (4.1.52) Таким образом, 1'е (ь) = Б гп у (еь; е), е-»О Ь фиксировано У (ЕГ Е) '%» Епт»п (Ь) )',„(Ь) = 1!тп е О е»е ь фиксировано 4.1.
Ми«ад сращивания асимов«азии«вских разложений !33 Чтобы определить это разложение, подставим (4.1.51) в (4.1.50), прнравняем коэффициенты при равных степенях е и, учитывая, что Ь вЂ независим переменная, получим ! в+! «=0 ! «+1 «= 1 «-зз (4.1.54) (4.1.55) )лв(0) =а, )л„(О) =0 при п~«1. (4. 1 56) Решение уравнения (4.1.54), подчиненное условию !', (0) = — сс, имеет вид (4.1.57) !'в = ос — А, (1 — е-'). Решение задачи (4.1.55), (4.1.56) при п= 1 имеет вид 'г'в=Аз(1 — е с) — [сс — А,(1+е с)1ь.
(4.1.58) Поэтому ус = сс — А,(1 — е-!)+е(Аз(! — е и) — !сс — А,(1+е виЦ+0(е'). (4.1.59) Это внутреннее разложение содержит произвольные постоянные А, и А„которые должны определиться при сращивании с внешним решением (4.1.49). Уооееризенстеоеанная процедура ороииеання. Простейшая форма сращивания внутреннего и внешнего решений — зто условие Прандтля. !нп у'= 1!ш у'. (4.1.60) я-«О $-+а Это условие приводит к сращиванию первых членов внешнего и внутреннего разложений и дает А, = сс — ()е. (4.1.61) Легко видеть, что это условие сращивания не может быть использовано при сращивании других членов.
Действительно, 11гп у« — (!е (1 +е) +() (ев) (4.1.62а) я -«О в то время как !нп у' = а — А, + е !Ал — (сс — А,) ь! +О (е'). (4.1.626) «Ф Хотя это внутреннее разложение и удовлетворяет краевому условию при х — — О, но, вообще говоря, не предполагается, что оно удовлетворит краевому условию при х = 1. Поскольку х = 0 соответствует ь=О, краевое условие у(х=О) =ос вместе с (4.1.51) дает !Зч Гл.
4. Мстсд сраскияииил асимитстииескил ризломссний 11оскольку в силу условия сращивания (4.1.60) оба этн разложения должны совпадать для всех значений ь, то А, = сс, А, = ре ( — -1- 1) . Это нарушает предположение, что А, =-О (1), которое было использовано прн выписывании разложения (4.1.59). Более общая формулировка условия сращивания имеет вид внутренний предел (внешнего предела) равен внешнему пределу (внутреннего предела).
(4.1.64) Еще более общая форма условия сращивания имеет вид внутреннее разложение (внешнего разложения) равно внешнему разложению (внутреннего разложения). (4.1,65) Соответствующие разложения строятся с использованием внешнего и внутреннего предельных процессов, определяемых (4.1.41)— (4.1.43) и (4.1.51) — (4.! .53) соответственно.
Ван Дайк [1964! предложил следующее условие сращивания: гп-членное внутреннее разложение (и-членного внешнего разложения) равно и-члениому внешнему разложению (льчленного внутреннего разложения), (4.1.66) где и и и — два произвольных целых числа, которые могут быть равны или не равны. Чтобы определить и-й член внутреннего разложения (и-го члена внешнего разложения), перепишем первые п членов внешнего разложения и выразим их через внутреннюю переменную, затем разложим их для малых в при фиксированном значении внутренней переменной до гп членов. Аналогично получаем правую часть (4.!.66).
Условие сращивания Ван Дайка широко используется благодаря своей простоте. Более общее и строгое условие предложил Каплун [19671, который использовал промежуточные пределы. Френкель [1969) сравнил эти условия сращивания и пришел к выводу, что хотя условие сращивания Ван Дайка и может быть некорректно, но оно проще в употреблении, чем принцип наложения Каплуна.
Условие сращивания Ван Дайка. Чтобы показать действие условия сращивания Ван Дайка, мы применим его к сращиванию внешнего разложения (4.1.49) с внутренним разложением (4.1.59), взяв сп=п=-1; го=1, п=2; со=а=2. Для сращивания одночленного внешнего разложения с одночленным внутренним разложением будем действовать следующим образом. Одночленное внешнее разложение: у ре' ". (4.1.67а) Выразим через внутреннюю переменную: = ре' '~. (4.1.67б) 4.д гггетод срагящаниз асиматотическиз разложений гзв Разложим при малых ш =ре(1 — еь+...).
(4.1.67в) Одночленное внутреннее разложение: =бе. (4.1.67г) Одночленное внутреннее разложение: !г сг — А,(1 — е с). (4.1.68а) Выразим через внешнюю переменную: =сг — А„(1 — е-е'е), (4.1.686) Разложим при малых гм =сг — А,. (4.1.68в) Одночленное внешнее разложение: =-а — А,. (4.1.68г) Приравняв (4.1.67г) и (4.1.68г) в соответствии с условием сращивания (4.1.66), получим [!е = сг — А, или А, =-- гх — гге. (4.1.69) Теперь срастим одночленное внешнее разложение с двучленным внутренним разложением.
Положим пг=1 и я=2. Имеем Одночленное внешнее разложение: у рег . (4.1.70а) Выразим через внутреннюю переменную: =.[1ег — ег. (4.1.706) Разложим при малых а: =[!е (! — аЬ+ — аег".е+... ~ . (4.1.70в) е е 2 Двучленное внутреннее разложение: = ре (1 — аь). (4. 1.70г) Двучленное внутреннее разложение: у-сс — А, (1 — е-с)+ + в(А, (1 — е г) — [а — А,(1+е с)ь]). (4.1.71а) Выразим через внешнюю переменную: = а — А, (1 — е-"ге) + -1- в А, (1 — е-"и) — [сс — Ае(1-1-е-"и)] — ~. (4.1.71б) ! Разложим при малых е: =(сг — А,)(1 — х)+еА,.
(4.1.71в) Одночленное внешнее разложение: =-(сг — А,) (1 — х). (4.1.71г) Приравняв (4.1.70г) и (4.1.71г) в соответствии с условиемг сращивания (4.1.66), получим ре(1 — аь) =(гх — А,) (1 — х). (4. 1.72а) Поскольку х=аь, то сс — А,=ре или А, = — сг — ре. (4. 1. 72б) Таким образом, мы не получили никакой информации относительно А,. Положив пг=-а=2 в (4.1.66), получим Двучленное внешнее разложение: у-р [1+в (1 — хне' ".
(4.1.73а) Выразим через внутреннюю переменную: =-р [1+а (1 — е~)]е' 'С. (4.1.73б) Разложим при малых ш =[)е(1+а — а1,+...). (4.1.73в) Двучленное внутреннее разложение: =ре(1+е — е~). (4.1.73г) Двучленное внутреннее разложение: у сг — А, (1 — е С) + + е(Аг (1 — е ь) — [сг — А,(1+е-с)] Ц. (4.1.74а) Выразим через внешнюю переменную: =сг — А,(1 — е-"ге)+ +а] А (1 — а его) [а Ае(1 +а-з/е)] ~ (4 1 74б) 136 Гл. о.
Мегаад сращшмния асимптаспиысскис раэложений Разложим при малых е: =-(сс — А,)(1 — х)+еА,. (4.1.74в) Двучленное внешнее разложение: =(сс — А„)(1 — х)+аА,. (4.1.74г) Приравняв (4.1.73г) и (4.1.74г) в соответствии с условием сращивания (4.1.66), получим Составное разложение. Как обсуждалось выше, внешнее разложение непригодно в окрестности начала координат, в то время как внутреннее разложение, вообще говоря, непригодно нигде, кроме области х=0(в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
