1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Чтобы найти разложение, пригодное на всем интервале, построим составное разложение у' (Васильева (1959); Эрдейи 11961!) уо уо ! уГ (уо)Г уо+ус (у')о Этн два выражения эквивалентны в силу условия сращивания (4.1.66), требующего, чтобы (уо)1 (уе)о (4. 1.78) А поскольку (у')1 = у ° (у')' = у' (4.1.79) то (4.1.77) приводит к (у )'=у и (у ) =у. (4.1.80) Поэтому у' будет таким же хорошим приближением для у, как у' во внешней области и как у' во внутренней области. Поскольку как (4.1.73г), так и (4.1.74г) определяет (у')', то составное разложение можно получить, прибавив к внешнему разложению (4.1.49) внутреннее разложение (4.1.76) и вычтя внутреннее разложение внешнего разложения (4.1.74г).
Таким образом, получим у =р(! +е(! — х))е' "+1(сс — !)е)(1+х) — е()е) е- "+0(е"). (4.1.81) 4Л.З. Уравнение второго порядка с переменными коаффнииентамн В этом пункте мы построим равномерно пригодное разложе- ние первого порядка для решения задачи еуо+ а (х) у'+ Ь (х) у = О, у(О)=се, у(1)=р, (4. 1. 82) (4.1.83) А, =се — (!е, А, =(1е. (4.1.75) Поэтому у' — — ()е+(сс — ре)е 1+а (()е(1 — е-1) — (йе — (сс — (!е) е-1) Ц+0(а").
(4.1,76) йн. Яссоод сроиесооиил осимптоыиисских разложений 137 Тогда (4.1.82) примет внд в'-"„— ", + е-за (ехь) — "+Ь (вхь) у = О. йзр (4. 1.8б) При е — 0 (4.1.86) примет вид йзв ,-—,=0 при Х > 1, йв йь — =О при Х(1 3 — + а (0) — = — 0 и ри Х = 1. йзв Иу йьз Иь (4.1.87) Чтобы можно было срастить решение уравнения (4.1.87) с внешним решением, определяемым предельным уравнением (4.1.84), необхоаимо, чтобы существовали решения уравнения (4.1.87), ограниченные при ~ — оо.
Ограниченными решениями в первых двух лучаях будут постоянные, следовательно, они должны быть отброшены как приводящие к определенным противоречиям, анало- где е(< 1, а(х) и Ь(х) — аналитические в интервале [О, 1) функции от х. Уравнение (4.1.1), которое обсуждалось в двух предыдущих пунктах, можно записать в виде (4.1.82), положив а(х) =Ь(х) ==-1. Если е обращается в нуль, то уравнение(4.1.82) приводится к уравнению первого порядка а (х) у' + Ь (х) у =- О, (4.1.84) решение которого не может удовлетворить обоим краевым условиям, и, следовательно, одно из них должно быть опущено. Как будет показано ниже, ответ на вопрос, какое условие должно быть опущено, зависит от того, какой знак принимает а(х) на интервале [О, 1).
Если а(х) > О, то необходимо опустить условие у(0) =а и внутреннее разложение строить в окрестности точки х=-О, сращивая его с внешним разложением. Если а ( О, то надо опустить условие у(1) = р и строить внутреннее разложение вблизи гочки х=1, сращивая его с внешним разложением. Однако если а (х) меняет знак в [О, Ц, то у может изменить характер с осцнллирующего на экспоненциально растущий или выродиться в окрестности нуля а(х).
Такие нули называются точками поворота или точками ветвления,. Задача о точках ветвления исследуется в з 7.3. Какое краевое условие должно быть опущено? Чтобы исследовать вопрос, может ли быть опущено условие у(0) =а (т. е. образуется ли пограничный слой в окрестности нули), введем преобразование растяжения ~= — хв — ", Х>0. (4.1.85) 1За Гт 4 Метод сращивания асимптотичесних разложений гичным тем, с которыми мы столкнулись в п. 4.1.2. Аналогично, если а(0) < О, то ограниченным решением в последнем случае (т. е.
при ) =1) будет также лишь постоянная, и этот случай надо будет также отбросить. Следовательно, в точке х=О не будет пограничного слоя. Если а(0) > О, то общее решение при 1=! имеет вид уе А 1 Ве-а(о)С (4.1.88) Это решение ограничено при ь — оа и содержит две произвольные постоянные, следовательно, оно может быть принято за внутреннее разложение, так как вместе с решением предельного уравнения может удовлетворить обоим краевым условиям. Чтобы исследовать, должно ли быть опущено условие у (1) =8, введем преобразование растяжения т1 == (1 — х) е х, )т > О, (4.1,89) и преобразуем (4.1.82) к виду ° йяу йу е' — У вЂ” е "а(1 — е"т1) — «+Ь(1 — ехт() =О. (4.1.90) При е — О это уравнение примет вид йеу — „, =-0 при Х>1, — =0 при )т<1, йу йч йеу йу — — а(1) =0 при 8=1.
йче дч (4.!.91) Решением уравнения (4.1.91), ограниченным при т( — оо, будет постоянная, если ХФ1 или если а(1) > 0 и 1=1, и, следовательно, эти случаи надо отбросить. Однако, если а(1) < 0 при 1=1, общее решение (4.1,91) имеет вид ут=А+Веа<'тч. (4. 1.92) х = О, если а (х) > О, и при х=1, если а(х) <О. (4.1.93) Это решение ограничено при т) — оо, следовательно, оно может быть принято в качестве внутреннего разложения, так как оио содержит две произвольные постоянные, ко~орые позволяют сочетать его с внешним решением и удовлетворить обоим краевым условиям. Таким образом, пограничный слой будет при ед. Метод епащиеание аеемптетнчееких раеееееекий !39 уо кя ехр г ь (!) .) еу) ! (4.1.95) Обшее решение для первого члена внутреннего разложения (4.1.51) дается (4.1.88).
После преобразования (4.1.85) краевое условие у(х=.О)=с! преобразуется к виду у(~=0)=ее, следовательно, у'=а — В+ Ве !е!е. (4.1.96) Чтобы срастить у' и у', мы положим т=п=1 в (4.1.66). Имеем одночленное внутреннее разложение (одночленного е внешнего разложения) =(1 ехр — й! — а! г ь (!) ,) а(0 (4.1.97) одночленное внешнее разложение (одночленного внутреннего разложения) = а — В. (4 1.98) Приравняв (4.1.97) и (4.1.98) в соответствии с условием сращивания (4.1.66), получим а В = се — р ехр — й! — е(1 гь(г) ,) а(!1 ! (4.1.99) Сформируем составное разложение.
Для этого к (4.1.95) прибавим (4.1.96) и вычтем (4.1.98); получим я о у'=-()ехр~ — ) — Ш)+ ее — рехр — й! — е!! х Г г ь (!1 г ь (о! ,) а(О ,) е(О ! х ехр~ —, ~+р(е). (4.1.100) Положив а(х) =Ь(х)=1, придем к уе ре1-» ! (с! ре) й-к/е ! р(е) (4 1 101) что соответствует (4.1.20). Положив а(х)=2х+1 и Ь(х)=2, получим у'= + +(с! — Зр)е "!'+р(а).
зр (4.!.102) Далее мы определим равномерно пригодное разложение первого порядка для первого случая. Случай а(х) > О. В этом случае первый член внешнего разложения (4.1.41) определяется из уравнения а (х) у'+ Ь (х) у = О, у (1) = — (1. (4.!.94) что приводит к 140 Гл. 4.
Молод еращиеания асимптотическое разложений 4.1ик уравнение Рейяольлсв лля скользящей опоры Распределение давлений в изотермическом сжимаемом слое в бесконечно длинной скользящей опоре (см. рис. 4.1) определяется из уравнения Рейнольдса, которое в безразмерных переменных имеет вид — '(й р Я = л — '(рй). (4.1.103) Здесь расстояние х, толщина слоя Ь и давление р приведены к безразмерному виду с помощью следующих характерных пара- п(х) й[1)=1 О 1 (1 Рпс. 4.1. метров задачи: длины опоры вдоль направления движения 1., толщины слоя смазки Т на заднем конце опоры и внешнего давления р,.
Число Л определяется выражением Л=6)зШ|раТе, где р — вязкость жидкости, а ~/ — скорость верхней поверхности. Граничные условия имеют вид р= 1 при х=0 и х=1. (4.1.104) Следуя Ди Прима [19691, будем искать асимптотическое решение этой задачи при больших Л, используя метод сращивания асимптотических разложений. Внешнее разложение ищем в виде р' == р, (х)+ Л 'р, (х) -1-.... (4.1. 105) Подставив это разложение в (4.1.103) и приравняв коэффициенты при равных степенях Л-', получим — "(йр,) =О, (4.
1. 106) (4. 1. 107) Поскольку эти уравнения являются уравнениями первого порядка, то одно из граничных условий должно быть опущено, и внешнее разложение будет непригодным вблизи этой границы. Так как й и Л положительны, то по соображениям, аналогичным тем, которые использовались в п. 4.1.2 и 4.1.3, придем к выводу, что должно быть опущено краевое условие при х= 1. 4.1. Метод сращивания асииптатичсских равлаыений !41 Поэтому решение для р, имеет вид йв й(х) ' (4.1.109) а решение для р, имеет вид 60 !ь'(о) — ь'(хц (4.1.110) а (х) Это внешнее разложение необходимо дополнить внутренним разложением (решением в пограничном слое) вблизи к=1. Введя преобразование растяжения ь=(! — х)Ла, о>0, (4.1.1 11) преобразуем (4.1.103) к виду Л '-1йв(1 — ~Л в) р — Р1 = — — (6 (1 — ~Л ") р).
(4.1.112) При Л вЂ” оо вто уравнение приводится к одному из трех видов яг(Р Р) =0 пРи о > 1, дв — =0 при о (1 Л~ др1 др -! р — 1= — — при о=1. (4.1.113) Первые два случая должны быть отброшены. Действительно, решением второго уравнения является постоянная, а решение первого уравнения выходит на постоянную при Ь"- оо '), и, таким образом, оба эти случая не могут удовлетворить граничным условиям.
В третьем случае уравнение имеет первый интеграл вида др р —,+Р=А, (4.1.114) где А — постоянная. Решение уравнения (4.1.114) имеет вид — ь = р + А 1п (р — А) + В, (4.1.115) где  — другая постоянная. Это решение, таким образом, является первым членом Р, внутреннего разложения рг=рв(ь)+Л 'Рг(ь)+ ° ° . (4.1.116) ') Точнее, ограниченные прн й — со решения первого уравнения (4.1.113) суть постоянные.— Прим. рвд. Следовательно, условие р" (0) =1 вместе с (4.1.!05) дает р,(о) =1, р,(о) =о. (4.1.!08) 142 Гя. 4. Метод сращивания аоимлтотичских разложении Подставив (4.1.1!7) в (4.!.115), получим В= — 1 — А 1п (1 — А).
Следовательно, Р, неявно определяется уравнением — 1=Р,— 1+А!п" —,— ", . (4.1.118) (4.1.119) Чтобы определить А, положим т=п=1 в условии сращивания (4.1.66). Имеем одночленное внутреннее разложение (одночленного внешнего разложения) = И,, (4.1.120) одночленное внешнее разложение (одночленного внутреннего разложения) = А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
