Главная » Просмотр файлов » 1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef

1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 29

Файл №532781 1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений) 29 страница1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781) страница 292021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Если Н, является малым возмущением, то мы можем разложить а„в ряд а„:-и а, + а„, + а„, +..., (5.1.23) где а„,— постоянная, которая равна аа при 1= — -О, и выполнено а „а~а »л,!. Тогда первое приближение к а„будет задаваться Если Н, не содержит производной по г, то (5.1.19) запишется в виде о,д Варначив ираивволлилее аасмояиимх 177 уравнением а ЕМли 77 11аллт пт — 1, ~и»е ! ши' пп 3 (5.1.24) Если, кроме того, будем иметь а„,=б„», то (5.!.24) запишется в виде (5.1.25) Положим, для примера, О;ф — — ф) (х) з!п со!. Тогда Й, =-[мв з[~ ~! = — — !1„е(еам — е-' '), ! (5.1.26) (5.!.27) где 1ме = ~ Им (Х) ! (Х) ИВ (Х) Е7т. Подставляя эти выражении в (5.1.25) и разрешан относительно а„„ получим а па 3 !и е-и) л о> е — м ' ~~' ( !"26) ';;...-'1 5.1ЗН Пример нелинейной устойчивости Метод вариации произвольных постоянных в сочетании с разложением по собственным функциям был развит н широко применялся в нелинейных задачах об устойчивости следуюшпмн авторами: Стюартом [1958[, [1960а, [э[, [1961[, Ватсоном [1960[, Экхаусом [1965), Рейнольдсоы и Поттером [1967[.

Эта методика приобрела единообразие и получила последовательное изложение благодаря Экхаусу [1965). Для описания этой методики рассмотрим вслед за Экхаусоч [1965[ следующий пример: 5 [ф) — = Г(тр), (5.1.29) где с'.— линейный, а Р(ср)--нелинейный операторы. Предположим, что й зависит от одной пространственной переменной„скажем, х, с областью изменения 0 =х(1, и что функция ~р удовлетворяет линейнь1м однородным граничным условиям Вт(<р) =О при х=О, В,(тр) =-0 при х=1. (5.1.30) 178 ря. о.

Вариация лртаеояьнмх яоетоянных и метод уореонен!т Очевидно, что линейная задача Е( р) — — =О Ж (5.1.31) при граничных условиях (5.1.30) допускает решение вида ер =и(х)е !', (5.!.32) причем Е(и)+),и=О, (5.1.331 В, (и) =-0 при х=0, В,(и) =-0 при х=(. (5.1.34) Тогда общее решение линейной задачи запишется в виде ер = ~~'., а„ил(х)е (5.1.36) л=! где а„— постоянные, определяемые из начальных условий.

Предположим, что решение нелинейной задачи также выражается в виде (5.1.36) с а„, зависящими от времени, и запишем его в форме ер = ~ Ал (() ил (х), (5.1.37) где принято А„=-а, ехр( — е.„г). Подстановка (5.1.37) в (5.1.29) дает л А„(() Е (ил(х)] — ~ — „"(() и„(х) =- о=! л=! =Р ~~р ~А„(!) ил(х) со=! (5.1.38) Предположим, что задача на собственное значение (5.1.33), (5.!.34) разрешима для счетного множества собственных значений Хл (действительных или комплексных), соответствующих собственным функциям и„.

Собственные числа предполагаются отличными друг от друга и пронумерованными так, что КеХ„> > Нее., !. Пусть Š— самосопряженный оператор, так что собственные функции и„являются взаимно ортогональными. Предположим, что они нормированы согласно условию ! ) и„(х) и (х) е(х=бм„.

(5.1.35) о ЗЛ. Вариация ярояовояьяь(х я!ктояяяо(х !79 Поскольку Е(и„) = — Хяи„, то (5.1.38) можно переписать в виде — [~)-КА„(о) „( ).-Р(ь Л„()), ( )~. (5)39) п=! ) я=! Помножая (5.1.39) на и (х), интегрируя от х.=О до х =1 с уче- том условия ортанормированностн (5.1.35)„получим Г" ' .(х А„— — !Р[ья„(()~( )~ „( )о (!)(О) о для т=-1, 2, .... Если 1 не является самосопряженным оператором, то собственные функции ия не будут взаимно ортогональны. Однако можно определить сопряженный к Ь оператор М, удовлетворяющий условию ф)г-1))) ) — ф М (!Р!) = — „,([Р и„!)),)1, (5.1.41) где ![)„!)),— функции х; Р— билинейная форма. С учетом этого определения сопряженную задачу можно задать с помощью уравнения Ми+Ай =0 (5.1.42) и граничных условий обращения в нуль формы Р(и, и) в обеих тачках х = — 0 н х=1.

Тогда функции и„ и и„ окажутся ортого- нальными и могут быть нормированы условием ~ ия(х) и„(х)!(х =6 „. о (5.1.43) Данный случай рассматривается так же, как и самасопряженный с заменой и,„(х) на й„(х). В частности, (5,1.40) принимает вид 180 Гж б. аариаяая произвольных пссжаяняых а хветод усреднение 5.2. Метод усреднения т) 6.2.!. Методика Взн-дер-Поля В данном пункте описывается методика, развитая Ван-дерПолем [1926[ для исследования периодических решений уравнения —,+со',и =в(1 — и') — +еаЛсозИ, да да (5.2.1) носящего сго имя.

Величина е в (5.2.1) предполагается малой, Л (частота возбуждения) считается отличной от ш, (собственной частоты) на малую величину порядка е. В этих предположениях решение уравнения (5.2.1) ищется в виде и (!) =-и, (!)соз И-[-а, (!)гйп И, где а, (!) и а, (!) предполагаются слабо меняющимися функциями времени, а именно с[п;/с[! =0(з), с[оаг[гУо =-0(ея) Дважды продифференцировав (5.2.2), получим и .= — Л'а, соз И вЂ” Л'и, ейп Л! — 2и, Л з!и И + -[- 2и,Л сох И + а, соз И+а, з[п И.

(5 2.3) Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени. Подставим (5.2.2), (5.2.3) в (5.2.1) и отбросим члены, порядок которых выше е, вспоминая, что и!=-0(к) и аг — --0(е'). Приравнивая коэффициенты при сов И и и!и И в обеих частях, получим 2а, -[- ~ и,— еи, (1 — р) =О, (5.2.4) 2а,— "' а,— еа,(1 — р) =е[г, где принято обозначение о, о ао ав 'ао р = — =— 4 4 (5.2.6) Обращаясь к изучению периодических решений уравнения (5.2.1), отметим, что они соответствуют стационарным решениям уравнений (5.2.4) и (5.2.5), т. е.

ссютветствуют решениям урав- нений 2оа„— а„(1 — р,) --= О, 2оиго иоо ([ Ро) !го (5.2.7) (5.2.8) ') Более полное и строгое изложение асимптотнческих методов, связанных с усреднением, содержится в монографиях: Боголюбов, Митропольский [19741, Мнтропольский [19641, Моисеев [19691, Волосов, Моргунов [!9711. Обзор и библиографию работ по асимптотическнм методам типа усреднения и их приложениям можно найти в упомянутых книгах, а также в оспорных статьях: Волосов, Моисеев, Моргунов, Черноусько [1965), Волосов [19681.— Прил. рзд. 5.Д гнелкгд иередиенил !8! где о — коэффициент расстройки, равный "" о'е о= —. (5.2.9) В уравнениях (5.2.4), (5.2.5) опущены члены порядка О(ее).

Возведя обе части равенств (5.2.7) и (5.2.8) в квадрат, сложив их и учитывая (5.2.5), получим частотную характеристику р Н '+(1 — р.)')=— (5.2.10) З.2.2. Методика Крылова — Боголюбова Рассмотрим зту методику применительно к общему слабо нелинейному уравнению второго порядка (5.2.1!) Прн в=О решение уравнения (5.2.11) записывается в виде и = а соз (в,! + 6), (5.2.12) ди — = — ав,яп гр, д! гр =гое!+6, (5.2.!3) и величины а н 0 изменяются во времени.

Таким образом, эта методика аналогична методике Ван-дер-Поля, обсуждавшейся в предыдущем пункте. Единственная разница заключена в виде первого члена. Дифференцирование (5.2.12) по ! дает ди ди дй — = — ав яп гр+ — созгр — а — япгр. Су е' щ дг' Следовательно, с учетом (б.2.13) имеем да дв — соз гр — а — и!и гр = О. гп дг (5.2.14) Дифференцирование (б.2.13) по 1 дает двгг ди дб — = — аво сов гр — в — яп гр — ав — сов гр. Пе о е д! где а и 0 — постоянные. Для нахождеггия приближенного реше- ния уравнения (5.2.11) при малом, но отличном от нуля е Кры- лов и Боголюбов (1947) предположили, что решение имеет тот же вид (5.2.12) при условии, что 1В2 Гп. о.

Вирииция проиэооььни~е поотопнньи и иеьпод усреднении Подставив это выражение в (5.2.11) и используя (5.2.12), получим ии йО в,— „з!и Р+аво — „сов ьР = — ер [асоз~Р, — ав,з1п ьР!. (5.2.15) Разрешая (5.2.14) и (5.2.15) относительно о(а/аг и ь(0/а(, будем иметь ии е — = — яп~р[[асозгр, — ав,яп ьр), ь~ь йО е — = — е — соз ьр1 а соз ~ф, — ав з!п ц>1, ивь (5.2.!6) (5.2.17) Здесь принято обозначение т [,(а)= — и! яп ~р! [асозгр, — ав,яп <р) ь(1= 2 Г о 1 Г = — ) з!П ~р! [а соз ~р, — ав, з ! и 1р! ьнр, о 2л 1 Г а,(а) = — ) соырр [асоз~р, — ав„яп гр1 г(ьр.

о (5.2.20) (5.2.21) Отметим, что 7", и а, являются попросту двумя коэффициентами в разложении в ряд Фурье функции 7. В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга (2.1.1), в котором 1(и, и)= — и'. (5.2.22) Таким образом, исходное дифференциальное уравнение (5.2.!1) относительно и заменено системой двух дифференциальных уравнений первого порядка (5.2.16) и (5.2.17) относительно амплитуды а и фазы О.

Приступая к решению системы (5.2.16) и (5.2.17), заметим, что правые части ее уравнений пернодичны по ~р, и, следовательно, ь(а/Й=О(е), ИОйЫ=О(е). Таким образом, а и 0 — слабо меняющиеся функции времени (поскольку е мало) и их изменение за время Т=2п/в„равное периоду правых частей, очень мало. Усредняя (5.2.16) и (5.2.17) по интервалу [1, 1+Т), в течение которого величины а и 0 в правых частях зтих уравнений могут считаться постоянными, получим — = — „- — 1, (а), Ии е (5.2.18) '"ь ~= —,— „'„а (а).

(5.2. 19) д.2. Метод усреднения Следовательно, ), (а) = О, р, (а) = — а . (5.2.23) Тогда из (5.2.18) следует, что а — постоянная, а из (5.2.19),— что О= — е — Е+Оя. (5.2.24) ыя )'(и, и) =(1 — и') —. ди д! ' (5.2.26) В этом случае имеем ! — ~1 — а'), д, =-О. (5.2.27) Из (5.2,19) следует, что О =О,— постоянная, в то время как дт 2! 4 (5.2.28) Интегрируя (5.2.28), получим 4 !), ы ия В основе метода Леверье !18561 лежит та же пдея, что и в данной методике.

алка. Обобщенный метод усренненнн Рассматриваемая методика трактует равенства (5.2.12) и (5.2.13) как преобразование переменных и и т(и/б! к переменным а и ~р, при котором выполнено да е — = — гйпб~ !асов ту, — аыяз!и ту!, ыо — =от„— — соз<р~(ассар, — асс,з!птр!.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,32 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее