1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Если Н, является малым возмущением, то мы можем разложить а„в ряд а„:-и а, + а„, + а„, +..., (5.1.23) где а„,— постоянная, которая равна аа при 1= — -О, и выполнено а „а~а »л,!. Тогда первое приближение к а„будет задаваться Если Н, не содержит производной по г, то (5.1.19) запишется в виде о,д Варначив ираивволлилее аасмояиимх 177 уравнением а ЕМли 77 11аллт пт — 1, ~и»е ! ши' пп 3 (5.1.24) Если, кроме того, будем иметь а„,=б„», то (5.!.24) запишется в виде (5.1.25) Положим, для примера, О;ф — — ф) (х) з!п со!. Тогда Й, =-[мв з[~ ~! = — — !1„е(еам — е-' '), ! (5.1.26) (5.!.27) где 1ме = ~ Им (Х) ! (Х) ИВ (Х) Е7т. Подставляя эти выражении в (5.1.25) и разрешан относительно а„„ получим а па 3 !и е-и) л о> е — м ' ~~' ( !"26) ';;...-'1 5.1ЗН Пример нелинейной устойчивости Метод вариации произвольных постоянных в сочетании с разложением по собственным функциям был развит н широко применялся в нелинейных задачах об устойчивости следуюшпмн авторами: Стюартом [1958[, [1960а, [э[, [1961[, Ватсоном [1960[, Экхаусом [1965), Рейнольдсоы и Поттером [1967[.

Эта методика приобрела единообразие и получила последовательное изложение благодаря Экхаусу [1965). Для описания этой методики рассмотрим вслед за Экхаусоч [1965[ следующий пример: 5 [ф) — = Г(тр), (5.1.29) где с'.— линейный, а Р(ср)--нелинейный операторы. Предположим, что й зависит от одной пространственной переменной„скажем, х, с областью изменения 0 =х(1, и что функция ~р удовлетворяет линейнь1м однородным граничным условиям Вт(<р) =О при х=О, В,(тр) =-0 при х=1. (5.1.30) 178 ря. о.

Вариация лртаеояьнмх яоетоянных и метод уореонен!т Очевидно, что линейная задача Е( р) — — =О Ж (5.1.31) при граничных условиях (5.1.30) допускает решение вида ер =и(х)е !', (5.!.32) причем Е(и)+),и=О, (5.1.331 В, (и) =-0 при х=0, В,(и) =-0 при х=(. (5.1.34) Тогда общее решение линейной задачи запишется в виде ер = ~~'., а„ил(х)е (5.1.36) л=! где а„— постоянные, определяемые из начальных условий.

Предположим, что решение нелинейной задачи также выражается в виде (5.1.36) с а„, зависящими от времени, и запишем его в форме ер = ~ Ал (() ил (х), (5.1.37) где принято А„=-а, ехр( — е.„г). Подстановка (5.1.37) в (5.1.29) дает л А„(() Е (ил(х)] — ~ — „"(() и„(х) =- о=! л=! =Р ~~р ~А„(!) ил(х) со=! (5.1.38) Предположим, что задача на собственное значение (5.1.33), (5.!.34) разрешима для счетного множества собственных значений Хл (действительных или комплексных), соответствующих собственным функциям и„.

Собственные числа предполагаются отличными друг от друга и пронумерованными так, что КеХ„> > Нее., !. Пусть Š— самосопряженный оператор, так что собственные функции и„являются взаимно ортогональными. Предположим, что они нормированы согласно условию ! ) и„(х) и (х) е(х=бм„.

(5.1.35) о ЗЛ. Вариация ярояовояьяь(х я!ктояяяо(х !79 Поскольку Е(и„) = — Хяи„, то (5.1.38) можно переписать в виде — [~)-КА„(о) „( ).-Р(ь Л„()), ( )~. (5)39) п=! ) я=! Помножая (5.1.39) на и (х), интегрируя от х.=О до х =1 с уче- том условия ортанормированностн (5.1.35)„получим Г" ' .(х А„— — !Р[ья„(()~( )~ „( )о (!)(О) о для т=-1, 2, .... Если 1 не является самосопряженным оператором, то собственные функции ия не будут взаимно ортогональны. Однако можно определить сопряженный к Ь оператор М, удовлетворяющий условию ф)г-1))) ) — ф М (!Р!) = — „,([Р и„!)),)1, (5.1.41) где ![)„!)),— функции х; Р— билинейная форма. С учетом этого определения сопряженную задачу можно задать с помощью уравнения Ми+Ай =0 (5.1.42) и граничных условий обращения в нуль формы Р(и, и) в обеих тачках х = — 0 н х=1.

Тогда функции и„ и и„ окажутся ортого- нальными и могут быть нормированы условием ~ ия(х) и„(х)!(х =6 „. о (5.1.43) Данный случай рассматривается так же, как и самасопряженный с заменой и,„(х) на й„(х). В частности, (5,1.40) принимает вид 180 Гж б. аариаяая произвольных пссжаяняых а хветод усреднение 5.2. Метод усреднения т) 6.2.!. Методика Взн-дер-Поля В данном пункте описывается методика, развитая Ван-дерПолем [1926[ для исследования периодических решений уравнения —,+со',и =в(1 — и') — +еаЛсозИ, да да (5.2.1) носящего сго имя.

Величина е в (5.2.1) предполагается малой, Л (частота возбуждения) считается отличной от ш, (собственной частоты) на малую величину порядка е. В этих предположениях решение уравнения (5.2.1) ищется в виде и (!) =-и, (!)соз И-[-а, (!)гйп И, где а, (!) и а, (!) предполагаются слабо меняющимися функциями времени, а именно с[п;/с[! =0(з), с[оаг[гУо =-0(ея) Дважды продифференцировав (5.2.2), получим и .= — Л'а, соз И вЂ” Л'и, ейп Л! — 2и, Л з!и И + -[- 2и,Л сох И + а, соз И+а, з[п И.

(5 2.3) Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени. Подставим (5.2.2), (5.2.3) в (5.2.1) и отбросим члены, порядок которых выше е, вспоминая, что и!=-0(к) и аг — --0(е'). Приравнивая коэффициенты при сов И и и!и И в обеих частях, получим 2а, -[- ~ и,— еи, (1 — р) =О, (5.2.4) 2а,— "' а,— еа,(1 — р) =е[г, где принято обозначение о, о ао ав 'ао р = — =— 4 4 (5.2.6) Обращаясь к изучению периодических решений уравнения (5.2.1), отметим, что они соответствуют стационарным решениям уравнений (5.2.4) и (5.2.5), т. е.

ссютветствуют решениям урав- нений 2оа„— а„(1 — р,) --= О, 2оиго иоо ([ Ро) !го (5.2.7) (5.2.8) ') Более полное и строгое изложение асимптотнческих методов, связанных с усреднением, содержится в монографиях: Боголюбов, Митропольский [19741, Мнтропольский [19641, Моисеев [19691, Волосов, Моргунов [!9711. Обзор и библиографию работ по асимптотическнм методам типа усреднения и их приложениям можно найти в упомянутых книгах, а также в оспорных статьях: Волосов, Моисеев, Моргунов, Черноусько [1965), Волосов [19681.— Прил. рзд. 5.Д гнелкгд иередиенил !8! где о — коэффициент расстройки, равный "" о'е о= —. (5.2.9) В уравнениях (5.2.4), (5.2.5) опущены члены порядка О(ее).

Возведя обе части равенств (5.2.7) и (5.2.8) в квадрат, сложив их и учитывая (5.2.5), получим частотную характеристику р Н '+(1 — р.)')=— (5.2.10) З.2.2. Методика Крылова — Боголюбова Рассмотрим зту методику применительно к общему слабо нелинейному уравнению второго порядка (5.2.1!) Прн в=О решение уравнения (5.2.11) записывается в виде и = а соз (в,! + 6), (5.2.12) ди — = — ав,яп гр, д! гр =гое!+6, (5.2.!3) и величины а н 0 изменяются во времени.

Таким образом, эта методика аналогична методике Ван-дер-Поля, обсуждавшейся в предыдущем пункте. Единственная разница заключена в виде первого члена. Дифференцирование (5.2.12) по ! дает ди ди дй — = — ав яп гр+ — созгр — а — япгр. Су е' щ дг' Следовательно, с учетом (б.2.13) имеем да дв — соз гр — а — и!и гр = О. гп дг (5.2.14) Дифференцирование (б.2.13) по 1 дает двгг ди дб — = — аво сов гр — в — яп гр — ав — сов гр. Пе о е д! где а и 0 — постоянные. Для нахождеггия приближенного реше- ния уравнения (5.2.11) при малом, но отличном от нуля е Кры- лов и Боголюбов (1947) предположили, что решение имеет тот же вид (5.2.12) при условии, что 1В2 Гп. о.

Вирииция проиэооььни~е поотопнньи и иеьпод усреднении Подставив это выражение в (5.2.11) и используя (5.2.12), получим ии йО в,— „з!и Р+аво — „сов ьР = — ер [асоз~Р, — ав,з1п ьР!. (5.2.15) Разрешая (5.2.14) и (5.2.15) относительно о(а/аг и ь(0/а(, будем иметь ии е — = — яп~р[[асозгр, — ав,яп ьр), ь~ь йО е — = — е — соз ьр1 а соз ~ф, — ав з!п ц>1, ивь (5.2.!6) (5.2.17) Здесь принято обозначение т [,(а)= — и! яп ~р! [асозгр, — ав,яп <р) ь(1= 2 Г о 1 Г = — ) з!П ~р! [а соз ~р, — ав, з ! и 1р! ьнр, о 2л 1 Г а,(а) = — ) соырр [асоз~р, — ав„яп гр1 г(ьр.

о (5.2.20) (5.2.21) Отметим, что 7", и а, являются попросту двумя коэффициентами в разложении в ряд Фурье функции 7. В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга (2.1.1), в котором 1(и, и)= — и'. (5.2.22) Таким образом, исходное дифференциальное уравнение (5.2.!1) относительно и заменено системой двух дифференциальных уравнений первого порядка (5.2.16) и (5.2.17) относительно амплитуды а и фазы О.

Приступая к решению системы (5.2.16) и (5.2.17), заметим, что правые части ее уравнений пернодичны по ~р, и, следовательно, ь(а/Й=О(е), ИОйЫ=О(е). Таким образом, а и 0 — слабо меняющиеся функции времени (поскольку е мало) и их изменение за время Т=2п/в„равное периоду правых частей, очень мало. Усредняя (5.2.16) и (5.2.17) по интервалу [1, 1+Т), в течение которого величины а и 0 в правых частях зтих уравнений могут считаться постоянными, получим — = — „- — 1, (а), Ии е (5.2.18) '"ь ~= —,— „'„а (а).

(5.2. 19) д.2. Метод усреднения Следовательно, ), (а) = О, р, (а) = — а . (5.2.23) Тогда из (5.2.18) следует, что а — постоянная, а из (5.2.19),— что О= — е — Е+Оя. (5.2.24) ыя )'(и, и) =(1 — и') —. ди д! ' (5.2.26) В этом случае имеем ! — ~1 — а'), д, =-О. (5.2.27) Из (5.2,19) следует, что О =О,— постоянная, в то время как дт 2! 4 (5.2.28) Интегрируя (5.2.28), получим 4 !), ы ия В основе метода Леверье !18561 лежит та же пдея, что и в данной методике.

алка. Обобщенный метод усренненнн Рассматриваемая методика трактует равенства (5.2.12) и (5.2.13) как преобразование переменных и и т(и/б! к переменным а и ~р, при котором выполнено да е — = — гйпб~ !асов ту, — аыяз!и ту!, ыо — =от„— — соз<р~(ассар, — асс,з!птр!.

Характеристики

Список файлов книги