1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 31
Текст из файла (страница 31)
19) 1024!оа !90 Гл. 6, вариация ароивеолвивае яосяеояннеех и иео!од усреднения в котором каждое ив является периодической функцией ф пери- ода 2п, а величины а и ф изменяются во времени согласно уравнениям — = ~ е"А„(а)+0(ни+!), и=! — „1 =о!е+ ~~' е"ф„(а)+ 0(и~+!), в=! (5.4,2) (5.4.3) д е!а д д4! д — = — — + — —.. а! д! да д! дф' (5.4.4) дв 7 !!а т' дв два д да дф д' Г дф '!в д' двф д — — — + — — +2 — — — +~ — ~ — + — —, дев ~Н! ) дов е!гв да д! д! дадф 1 д! / дфв И!в дф ' (5.4.5) л=! ИАт ьвА ! 0(ев) Йа (5.4.б) о=! = е'А, — + 0 (е').
(5.4.7) Далее эта техника иллюстрируется применением ее к уравне- ниям Дюффинга, Ваы-дер-Поля н Клейна — Гордона. 6.4.!. Уравнение Ди!ффингв Рассмотрим нелинейный оспиллятор и+со и епв (5.4.8) который ранее изучался в п. 3.!.1, 5.2.2, ~ 5.3. Подставляя (5.4.!) — (5А.7) в (5.4.8) и приравнивая коэффициенты при равных причем функции и„, А„и ф„подбирались таким образом, чтооы функция (5.4.1) при условиях (5.4.2), (5.4.3) удовлетворяла дифференциальному уравнению (5.2.11).
Для однозначного определения А„и ф„потребуем, чтобы все иа не содержали созф. Производные преобразуются согласно равенствам д.а. Методика Крылова — боголгодова — Митроколвгкого 191 Подставлия это решение первого порядка в (5.4.10), получим ди 1в, в + 2оввА в з(п в)в+ —, (21 соз Звр — 3 соз бв)в).
(5.4.13) 12ато Вековые члены будут исключены при условии ~вою Тогда решение уравнения (5.4.13) будет иметь вид ав и, = — (21 сов Зф — соз 5ф). 1924ыв Поэтому будем иметь для и с точностью до второго порядка гав и =-асозвр+ — созЗвр— 32вво —,(21 соз Звй — соз бвй) + О (е'), (5.4. 15) 1024вв~~ (5,4.15) причем да — =О, или а=а,=сонэ(, л,в звал 1~ вав — = гав + — — + О (е') а~ в Еы 23Е в (5.4.17) звал 13евав 1 Ф = ов ~ 1 + — — ! + вйв +. О (е'), (5.4.
18) степенях е до е' включительно, получим дви ивв д,'+вова, =2ваЩасозв)+2ов,Л,з!пвй — авсозввй, (5,49) — Зи,а' соз' вг — 2воввг, Д вЂ” 2вовЛ, (5.4.10) Чтобы и, оказалась периодической функцией, в правой части (5.4.9) должны исчезнуть те слагаемые, которые порождают вековые члены. Поскольку созв ву = (3 соз вР+ соз Звй)/4, то это условие дает А,=О, (5.4.11) Тогда решением уравнения (5.4.9) является функция в и, = —,соз Звр. (5.4.!2) 32ввв )92 Гл. д. Вариация ироиэеольносх лостолнних и метод усреднения где ере — постоянная.
Это решение согласуется с решением (5.3.19), (5.3.20), полученным методом Страбла. 5.4.2. Осанллнтор Ван-Хор-Полн Далее мы рассмотрим нелинейный осциллятор и+ и =-е (1 — и') й, (5.4.19) изученный в п. 5.2.2 и 5.2.3. Подставляя (5,4.1) — (5.4.7) в (5.4.19) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е до е' включительно, получим — "',,' -1- и, =2ер,а сов ер+2А, яп ер— — а (1 — 4 а') япер+ — а' з!и Зер, (5.4.20) — „' + и, = ~(2е), + ере!) а — А, — „'~ соз е!! + д!)е + ~2(Ае+Л,ере)+аА,ф~ япер— дене дои, — 2!у — ' — 2А — '+ (1 — а' соз' ер) и ! д(а е даду Х (А, соз ер — аер, яп ер+ — „' ) +аеи, яп 2ер. (5 4 21) (5.4.22) Следовательно, ае и = — з!пЗер. 82 (5.4.23) Имея зто решение, можем переписать (5.4.21) в виде дене — —.'--с-и = !2аер — А — '+ (1 — — ае) А + — -~ созер+ дфе ' е ~ е е да ~ 4 ) ' )28 ~ ае (ое+ 8) 5ае +2Лез!Пе)3+ )2 соз3$+ !2~ созбеен.
(5.4.24) Чтобы в и, не было вековых членов, положим Л =О, ер = — '( — ' — 1+ — а') — —. 2о '!да 4 ) 256 (5.4.25) Следовательно, 5ае ае !ее + 8) и =- — — созЬф— 8072 )024 соз Зер. (5.4.26) Вековые члены будут исключены, если на правую часть в (5А.20) наложить условия 6.4. Мвеноднва Крылова — Боголеодова — Мнтронолевлого 193 причем 2 (, 1 4 и ) ' и = ~ 4 , (5.4.28) 2 2 4 ~ 3 а~ 1+е 1+ 4 и ~ ~ „(5.4.29) где а,— постоянная. Используя (5.4.22) и (5.4.28), можем переписать (5.4.29) в виде д4 ев е 7 7 1 до — =1 — — — — ~1 — — аг~ —. дг 16 зо1 4 7' дг Следовательно, е е' 7е гр = 7 — — 1 — — 1п а + — а'+ <р, !6 6 64 (5.4.30) где гр,— постоянная. 6.4.3.
Уравнение Клейна — Горлана В качестве третьего примера рассмотрим„следуя Монтгомери н Тидману 119541, нелинейные волны, описываемые уравнением ии — с'и л+Хви=е1(и, р,„и„.. (5.4.31) При е =-0 уравнение (5.4.31) допускает решение вида и =исоа(7гвх — ог,(+~р), где а и ер — постоянные, а (гв и ео, удовлетворяют дисперсионному соотношению ео, в=- се(ге+ Р. (5.4.33) Лля малого, но конечного е будем искать разложение вида и=асозгр+еи,(а, вр)+..., (5.4.34) где а слабо меняется в зависимости от времени и состояния согласно уравнениям — =еА,(а)+е'А,(а)+..., он = еВг (а)+еаВа (а) +..., Поэтому с точностью до второго порядка решение имеет вид иге и = а соз ер — — 6 1 и Злр— 32 .
гов — — — а' созбер+(ив+ 8) созЗлр~ + О (ев), (5.4.27) (94 Гх. д. Вариация нроиооохьтнх поотонннмх и метод роредненин 8 данном случае вновь ни одно и„ не содержит основной тон созф. Подставляя (5.4.34) — (5.4.38) в (5.4.31), используя (5.4.33) и приравнивая коэффициенты при е в обеих частях, получим ),' ~ — ",' + и, ) = — 2(в,А, +сЧгоВ,) яп ф— — 2а(в,С, +схй,Р,) соз ~р+ + ~ (а соз ф, аво яп ф, — айо яп ф1. (5.4.39) разложим теперь функцию ) в ряд Фурье по переменной ф ~ (а соз ф ав„я п ф, — ай, яп ф) = О =по(а)+ ~.", !!'„(а) яп пф+а„(а) сов пф). (5,4.40) о=! Исключая вековые члены, придем к равенствам 2воА + 2с'йоВ~ =)~ (а), 2а(в,С, + с'йоР,) =д, (а).
(5.4.4 !) (5.4.42) Тогда решение уравнения (5.4.39) имеет вид ао(о) ~ )„(о) ви п$+ ео (о) ооз нф (5.4.43) Подставляя А„В„С, и Р, из (5.4.35) — (5.4.38) в (5.4.41) и (5.4.42), получим ди . ди ),(о! — +в — =е — ' д( Одх 2во ' дй . дй а,(а) — +в',— =а — ' д( дх 2аво ' (5.4.44) (5.4.45) где в',=о(во/айо — групповая скорость, а 5=ф — й,х+в,й (5.4.46) При )",=0 будем иметь а = — Ь, (х — в',(), р =а(х+ во1) и1( ),+Ь,(х — во(), 4овово (5.4.47) (5.4.48) а ф — новая фазовая переменная, совпадающая с фазой в (5.4.32) при е=0 и удовлетворяющая уравнениям д( = — в,+еС, (а)+е'С,(а)+..., д =йо+ Р,(а)+е*Р,(а)+....
(5.4.38) 5.д. Метод усреднения с ислольммонием нононических леременни!се !во где )!! и Й, определяются из начальных или граничных условий. Уравнения (5.4.44) и (5.4.45) могут быть легко решены, если а и Р являются функциями только времени, или только состояния. 5.5. Метой усРеднения с использованием канонических переменных Рассмотрим консервативную динамическую систему, описываемую следующими уравнениями Лагранжа: — ~ —.) — =О, !' =1, 2, „)У, (5,5.1) д сдд х д!. и (, дд, ) дд! = где с) = (д„ д„ ..., дм) †вект обобщенных координат, ! †независимая переменная, а точка над буквой означает дифференцирование по !'.
Далее !.(с), с), !) =— Т вЂ ' представляет собой лагранжиан, Т и У вЂ” кинетическую и потенциальную энергии соответственно. Определим вектор обобщенных импульсов р = = (р„р„..., р!о) равенством Р = —. д!. (5.5.2) дд! ' а гамильтониан Н равенством Н=р ц — 5, (5.5.3) где рт — результат транспонирования р (если р — вектор-столбец, то рг — вектор-строка). Считая Н функцией только от р, с1 и 1, можем записать с(Н ~'~'"Д + т' д",(р +""с(( (5,5.4) , ду! с=!' с Из (5.5.3) имеем также и Ф и Ф г(Н =~н~дсс(Рг+е~е~н~ йсс(!)! — ~~ '. с(4! ~~ д ! ٠— — с((.
(5.5.5) дл . дА дс дд! ',, ду! Согласно (5.5.2), второе и третье слагаемые в правой части (5.5.5) сокращаются. Кроме того, из (5.5.1) и (5.5.2) следует, что р! — -дс./ддс, поэтому (5.5.5) можно переписать в виде с(Н =- ~~ „4!!)рс= ~~,рсФ! — — д! сН, дв с=! с=! 196 Гл. 6. Вариация нроиееольных п!оянннх и мннод усреднения Сравнив (5.5,4) с (5.5.5), получаем следующие канонические уравнения Гамильтона: дН арг дН дгн ' дв дН аг д1 ' (5.5.7) (5.5.8) (5.5.9) Эти уравнения заменяют уравнения Лагранжа.
При переходе от переменных 9 и р к переменным (1(9, р, 1) и Р(9, р, Х) уравнения (5.5.7), (5.5.8) преобразуются к виду Фг=)г(Р, О. О, (5.5.10) Фг=дг(Р, ь), 1). (5.5.!1) Если существует функция К(Р„(1, 1), такая, что ак ак ар, ' аде (5.5.12) то (5.5.10) и (5.5.11) записываются в виде (5.5.18) г ! а х1 и Р называются каноническими переменными. Переход от 9 и р к (1 и Р называется каноническим преобразованием относительно функции К. Каноническое преобразование может быть получено с помощью так называемой производящей функции 8(Р, 9, 1) в соответствии с равенствами (см., например, Голдстейн (19551, гл.
8; Мейрович [1970], гл. 9е)) д5 д5 рг= дчг ' ' ар; (5.5.14) Если удастся найти каноническое преобразование, такое, что К=О, то, согласно второму соотношению в (5.5.13), вектор Р будет постоянным. Поскольку из первого соотношения в (5.5.14) е) Подробнее о канонических преобразованиях и уравнениях Гамильтона— Якоби си.
в книге Гантмахер 119661. — Прим. ред. Коль скоро эти уравнения будут разрешены относительно 9=9(Р,С),1) и р=р(Р,4),1), функция К выразится через Н следующим образом: К(Р, О, 1)=Н(р(Р, О, 1), с)(Р,(),1), 1)+-Г. (5 5.15) Б.д. Мсчпод усреднения с испаеоооеаниеех канонических переяенних 197 имеем рс = — д5«дс«е, то функция 5 должна удовлетворять следующему так называемому уравнению Гамильтона — Якоби: с дЗ да да дл Н( —, — ", ..., —, о„о„..., да,, «)+ — =О. (5.5.16) Если 3 — полный интеграл уравнения (5.5.16), то соотношения (5.5.14) доставляют общее решение системы уравнений дН .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
