1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Хори [1970] показал, что преобразования Ли эквивалентны методике фон Цайпеля вплоть до второго порядка.Шнайад [1970] доказал, что преобразование фон Цайпеля эквивалентно преобразованию Депри; Мерсман [197Ц установил эквивалентность преобразований Хори, Депри и фон Цайпеля. Следует упомянуть, что теория возмущения, основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет несколько преимуществ по сравнению с методикой фон Цайпеля. Производящая функция не является функцией смешанного набора старых и новых переменных, теория эта канонически инвариантна, и для любой функции старых переменных можно получить прямое разложение в новых переменных.
Кемел [1970] ввел в рассмотрение преобразование (5.7.3) и построил алгоритм приведения системы стандартного вида (5.7.1) к виду (5.7.26). Кроме того, он построил алгоритмы, с помощью которых можно: 1) преобразовать любую вектор-функцию от старых переменных к новым; 2) найти преобразование (5.7.2а) н его обращение. Более глубокое изучение математической и прикладной значимости этих алгоритмов провели Анрар [1970] и Кемел [197Ц. Ниже мы построим эти обобщенные алгоритмы и затем в п. 5.7.5 приспособим их к случаю канонических систем.
ЗЛ.2. Юбоаигеииые алгоритмы Пусть х = Х (у; е) — решение уравнения (5.7.3), и пусть у= т'(х; е) — его обращение. Тогда с(х = Хт г(у, с(у = У„е(х, (5.7.5) б.7. Усреднение с испояьзованиеи рядов и преобразований 7и Гцз где приняты обозначения дмг ахв Ху = †' (матрнца Якоби) и Х„с)у = †'в(д.. дГ/ дев Из равенств (5.7.5) имеем е)х = — ХуУх с(х, откуда Хух'х=1 (единичная матрица).
Следовательно, Ух=(Ху) ' (обращение матрицы Ху). (5.7.6) Из второго соотношения в (5.7.5) получаем равенство у= т'„х, которое с учетом (5.7.1) можно переписать в виде у=я(у е) = ук1~ к=к Он е! (5.7.?) Мы хотим получить разложение правой части (5.7 7) по степеням а вида Вп йквв п~ йеп ~в=о. «=о Из (5.7.7) имеем — = — 1(тх1) =х<в: е11 = йя й йе йе ( в х1) — + ( х х1) ], * га йх а (дХ де де к=х ~у: вр Справедливо равенство а аг а уат~ де де дХ ~де 7 — (УХ1) =Ух — + —,— 1. (5.7.10) откуда следует де' — = — тхепг. де Поскольку равенство у = е'(х; е) является обращением равенства х=Х(у; а) (которое задает решение уравнения с(х4е=%(х; е) при условии х(в =О) =у), то имеем ду дт йх ау — =О= — + Ух — + — + Ух% йе де дв де в 220 Гя.
5. Вориоиия проиэеолиные поопоянные и метод усреднения Тогда (5.7.10) можно переписать в виде д д~ д (Ух1) = 1'х (ь дх (Ух%) Е (5.7.11) После упрощения получим дя = де еУ(Ух1)е=х (у; е>) =УХЩе=хоп еь (5.7.12) где использовано обозначение М = — +1х% — Юх1. д1 де (5,7,13) Повторно используя соотношение (5.7.12), можно получить дине я=„=[Ух77иЦ =х<у; еь (5.7.14) Поскольку из условия х1е о =у следует ух1,=О =-! (единичная матрица), то имеем Ое1 Оип )е=о ~е=у.
е=о (5.7.15) Для нахождения Ои( предположим, что вектор йу может быть разложен в ряд ю~~ еуп+» (5.7.16) е=о так что преобразование (5.7.3) может быть проведено последовательно до любого порядка. Если имеет место представление 1 = ~ (ее7п)) 1„, то ссютношение (5.7.13) принимает вид я — О Ю Ф е я 1 и=от О Используя зто выражение и замечая, что дХ/е(а=%, перепишем соотношение (5.7.9) в виде да ~ =де ((Ух()х=х (у; е]) = Гд д$ д = ! — (У~1) %+ Ух — — (У~%) 11 дХ де дХ 1е=х ьт е) 222 Гл. д.
Вариация произоольнак пгктояннык и метод усреднения При выводе решений методом возмушений часто бывает необхо. димо выразить некоторый вектор (5.7.23а) деп ~ «=у с=о« (5.7.23б) (5.7. 23в) Рис. о.з. Треугольник Ли. Используя (5.7.16) и (5.7.23а), можем выразить это последнее равенство (аналогично выводу (5.7.17)) в виде е=о (5.7.24) где е .У„,С =- — „%„. ди (5.7.27) О« Г(х; е)=~~~, —,Г„(х), Г„(х)= — „~ в зависимости от новой переменной у в виде С(у; е) =Г(Х(у; е); е) = = Е ф Гил (у), п=о где приняты обозначения др др др Х де ' дХ Повторное применение (5.7.24) и (5.7.25) дает дпр " ,и де" «е1 Ъ,' Го» е=о (5.7.25) (5,7.26) д.т.
Усреднение с исяоявзоааяиеи рядов и яреооразоваиий Ли ааз Здесь приняты обозначения л нл =- лл( + Х бй~ 2 а+!рл-ол ° т=о Г» ' = Г„. (5.7.28) Следовательно, С (у; Е) = ~, —, г !ил, г !я' =. г оя! ~ „ о=о я- (5.7.29) Уравнения (5.7.27) — (5.7.29) отличаются по виду от уравнений (5.7 19) — (5.7.21) только наличием другого оператора 2', поэтому соотношение (5.7.28) также может быть наглядно представлено с помощью треугольника Ли.
а.?.3. Уиозииеииыо обилие алгоритмы Затем он последовательно исключал функции из правой части, чтобы наконец выразить 1'„" в виде линейного функционала от функций (!я+и!, Р"'" ", ..., 7!я!. Предположим поэтому, что Ф =1!"+л! — Х Слб (~л-Л, ! ! л= ! (5.7.31) где линейный оператор 6 является функцией операторов й „... „е, Подставив (5.7.31) в (5.7.30), получим следующее рекуррентное соотношение: !'- ! 6,=Ц~ — Х 6~,',1 бт а, 1(1(п. (5.7.32) !о =! Например, имеем 6, =л.„ 6, = й,— л., (!',— 1.,!,) — 2(.,Е,.
При и =0 и и=1 из (5.7.3!) имеем 1!л! =1 + ~ С;(а л=! (5.7.35) (= ! (5.7.34) Для упрощения алгоритма, задаваемого, например, с помощью соотноц!ения (5.7.20), Кемел 119691, 119701 записывал сначала это соотношение в виде л-! (5.7.30) 224 >"я. Б. Вариация нра»>еаяьних наананнне>я и илиад усреднения где >=! 1,=бт1>о=);~>о —,Я С! >>Л„$7 „,!.
(5.7.36) (5,7.37) Из (5.7.18а) имеем, что А- ! 11', =-1, + Х Ся:,771а 7+ 7.„1„. >=! Поэтому (5.7.37) можно переписать в виде е-! 1'я=1~+ ~ (СЯ",1~1~ 7+С» Чдь т)+(.а1,. (5,7.38) >=! Вспомнив, что с(х>е(е=%, будем иметь из (5.7.3): х = у+ ~Ч' —, х'л> (у), л= ! (5.7.39) где дл% ~ х!"+'>(у)= — „~ для л) 1. де" >е=е,л> у Тогда из соотношений (5.7.16) и (5.7.34) следует хм' = Ве+ Х СУ Ъ>ча 7, )г) 1. >=! (5.7,40) > †! х >=Я~к>о — ~ С> >>.Я' х >л= ! (5.7.41) Для нахождения обратного преобразования л ел у — — х+~~' „— урн(х) и! «=! (5.7.42) Это и есть упрощенный алгоритм Кемела. При 1!».=0 будем иметь 17,=0, поскольку в рекуррентном соотношении второй индекс ! фиксирован.
Кемел получил более удобную форму этого алгоритма, записав (5.7.35) в виде а.7. Усреднение с иснсллиманиаа р»х»аа и ира»браяманий Ли 226 Поскольку, однако, 0 м и=~~» „-,п„(х) =~~~, -„-(п'"'(у), л=! л=! (5.7.436) то ийеем п„(х) =-у'"! (х), ниа (у) = — х"'» (у), л ) 1. (5.7.43в) Тогда из (5.7.34) можно получить е-! Уил (х) = — х'и (х)+ ~~'.~ Са!х7 а, й~ )1, (5.7.44) »=! где хт ! определено соотношением (5.7.41). 5Лаи Схема арацелуры Рассмотрим систему диЩ»еренциальных уравнений, записанную в стандартном виде х=~„— „, $л(х). (5.7.45) а=а Суть алгоритмов, рассмотренных в предыдущем пункте, заключается в том, что с помощью перехода от переменной х к переменной у уравнение (5.7.45) приводится к виду У Х „! Я (У) (5.7.46) а=а в котором величины д„ не содержат быстропериодических членов.
Для этого строится почти тождественное преобразование вида х=у+~ —, х'"'(у). (5.7.47) л=! Это преобразование приводит некоторый вектор Г(х; е) — -~ — Г„(х) л=а (5.7А3) следует исключить разность х — у из соотношений (5.7 39) и (5.7.42). Это дает п=~ ' у' (х)= — ~~» '-,х'"»(у).
(5.7.43а) л ! л= ! 226 Гя, о. Виуииция нуииооояоннх носниоонннх и минни исуеднения к виду р (х1 з) ~» ры> (у) о=о (5.7.49) Хио = Ъу о р у роо1 (5.7.52) Вычислив Яо.о 51Я! мы можем приступить к разложению второго порядка. Запишем дифференциальное уравнение Яо =(о+(-о)! +Яыо+Ао(о (5.7.53) и положим я, равным медленно меняющимся членам правой части. Этим завершается построение разложения второго порядка. Проиллюстрнруем эту процедуру, применив ее к уравнению Ван-дер-Поля Ч+Ф =в(1 — о7~) о) (5.7.54) решение которого при а=О имеет вид д =асов ч, «р =1+5. (5.7.55) Используя метод вариации произвольных постоянных, уравнение (5.7.54) можно заменить системой (см.
и. 5.2.3) 2 и ( а ( 1 — 4 а ) — аС, + 4 аоС,], (5.7.56) 1 1 1 е[(1 1 по) с о аос ~ (5.7.57) Алгоритмы, описанные в предыдущем пункте, могут быть реализованы на ЭВМ, поскольку их действие сводится к повтор. ному применению элементарных операций. Ниже будет описана процедура для второго порядка точности. Положим для начала Яо (У) =(о(у) (5.7.50) Рсо' (У) = 1'о (У). Затем, приступая к разложению первого порядка, запишем линейное дифференциальное уравнение в частных производных Яо(у) =1 (у)+" 1.. (о.7.51) Положим Я, равным медленно меняющимся членам 1, и разрешим получающееся уравнение относительно оо',.
Тогда могут быть вычислены величины 5.4. Усрвдиаа4е с исаоаьзоваиииа рядов и ареобраэоваиий Ли 227 Я„= з1п а4р. С„= сов п4р, Уравнения (5.7.56) и (5.7.57) имеют вид (5.7;1), причем (5.7.58) (5.7.59) ка [1]. (5.7.62) (5.7.63) (5.7.64) Считая, что быстропериодические члены в 1, отнесены к %„ найдем (5.7.65) Решив полученное в результате уравнение, будем иметь (5.7.66) где Я„'=з(нпср' и С„'=созпср .
С учетом (5.7.61) н (5.7.63) уравнение (5.7.53) принимает вид й. =С,(1.+а,) —,,'. (5.7.67) х=[ [0] Г1 — а~1 — — ав~ — — аС, + — а'С, 1 1„=0 при а > 1. Га1 Совершим теперь переход от переменной х= [ ] ~р! Из соотношений (5.7.50), (5.7.59) получим С помощью (5.7.186) и (5.7.59) находим, что д Еи 7 1 и и о д ° Следовательно, (5.7.51) принимает вид йв =14 — ~~. д4в' 1 4 1 4 — — а434+ — а' 3; 4 32 — — ~1 — а' ) с,+ — се (5.7.60) (5.7.61) к у=[ *]. !ЮВ Гл. В„Вориоция нроиееолоних оосеоянних и монад усреднения Считая, что быстропериодические члены отнесены к %„получим ке =(Ф (е>+<(ей>. (5.7.58) Поскольку д, состоит только из медленно меняющихся членов, а %, †толь из быстропериодических членов, имеем <1.,д,> =О.
Следовательно, 0 4 8 !ла * Тогда имеем (5.7.70) причем (5.7.72) (5.7.73) Го=псов!у, Ря =-0 при л:.1. Из (5.7.50) имеем Тно! =а*сов Ч> ° Тогда соотношения (5.7.52) и (5.7.26) дают 1"...= Р, (а*сов!у") =(сов!у*, — а'в)п еу']%, — — а' ~ 1 — а' ~ в)п ер' — — а' в!п 3 ер'. Следовательно, имеем равенство !7=а*сов!у' — 4 еа*~~1 — а ~ в!и !у*+.З-а з!пЗеу*1+0(ее), (5.7.74) которое можно переписать в виде м !7 — - а' соз !р — в)п 3 !р+ 0 (ее), (5.7.75а) в соответствии с разложением, полученным в п. 5.2.3 с помощью обобщенного метода усреднения. Чтобы сравнить разложение, полученное в этом пункте, с разложением, которое получено в и. 5.4.2 с помощью методики Крылова — Боголюбова — Митропольского, необходимо соотношение (5.7.55) выразить в новых переменных. В нашем случае Ю иу =.
~ — Р„(х), (5.7.71) н=о 5.7. Усреднение с исаольвовонивн рядов и ареобрииманий вти 229 где Щ Г 1 авв 7ав'т — = 1 — е' ~ — — — + — )+ О(е'). дс '(В В 2ВВ) (5.7.75б) Результат согласуется с разложением, которое получено в п. 5.4.2. с помощью методики Крылова — Боголюбова — Митропольского. В.т.э. Алгоритмы Ляк канонических систем Для преобразования гамильтониаиа Н(р, ц, 7; е) = ~~~, —, Н„(р, ц, г) я=а (5.7.76) в новый гамильтониан Ю К(Р, (), г; е)=~~ а! К„(Р, (), Г) (5.7,77) а=о -й — Н (5.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
