1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 37
Текст из файла (страница 37)
подставив ьр=асозО в уравнение (5.8.1) и приравняв коэффициенты при созО в обеих частях. В силу равенств в= — О! и й=-Оя уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее переменной О, запишется в виде (5.8.10) или (5.8.11) С учетом соотношений д.к ! дЖ ! -я ваь+0(еь) дя (2йь й)аь+0(еь) будем иметь — (ва') + — „((2дь — й) а') = О. д д (5.8.12) Чтобы упростить (5.8.12), продифференцируем обе части в (5.8.9) по й. Получим вв' = 21ь — А + 0 (еь), где в'=ь(в/ьй — групповая скорость. Следовательно, (5.8.12) перепишется в виде ь д —,(ва')+ д — (всо'а') = О, в ! — + — (и1'аь)~ 1 аь(в!+в'вя) =О. (5.8.13) ! дг дя д.д.
Усреднение с иснольеоеаниен лагранвсианое Поскольку для со = ое (й) имеем сое = ео'йе, то второй член в (5. 8, 13), согласно соотношению (5.8.7), обращается в нуль. Следовательно, уравнение (5.8.13) запишется в упрощенном виде как да* д — + — (со'ае) = О. д~ дх Кроме того, имея в виду, что со=со(я), можно переписать (5.8.7) в виде (5.8.15) Таким образом, изменения в пространстве и во времени ампли- туды а, частоты со и волнового числа й задаются соотношениями (5.8.9), (5.8.14) и (5.8.15).
З.Е.2. Модель вааннодействня волна — волна Проведя в предыдущем пункте разложение до второго по- рядка, мы пришли бы к соотношению еае ср =асозО+ 39(9 ц сов 36+0(е'). (5.8.16) Будучи справедливым для широкой области значений й, это разложение нарушается вблизи йе=1/3. В этом случае говорят, что имеет место резонанс в третьей гармонике; величины созО и соз 36 удовлетворяют при этом одному и тому же дисперсионному соотношению. Последнее означает, что основная и третья гармоники имеют одинаковые фазовые скорости, равные со/й.
Чтобы построить для уравнения (5.8.1) разложение, справедливое вблизи йе=173, будем предполагать, что это разложение имеет вид В со=а,созО,+а,созО,+е ~ А„соз(6„+тн)+0(ее], (5.8.17) аньц Е где О„=й„— „1+Р„, „'=й1 — й„+ 1, (5.8.18) причем а, ж 3/г„со, ж Зсо,. (5.8.19) Отметим, что главный член разложения содержит основной тон созО, и его третью гармонику созО,.
Поскольку нас интересует слУчай льеж 1/3, то бУдем считать со, и йе постоЯнными, а величины ~о оь а, и А,— медленно меняющимися функциями от х и е. Подставим, далее, это разложение в (5.8,4) н усредним получающийся лагранжиан по переменным О„предполагая Ц, иь п, и А, постоянными.
х33 Гя. д. Вариация кроиззояьнзсх яостаянннх и яяозод усреднения + — (а', + 4а,"а,' + а)) + — а,"а, соз 6, (5.8.20) где Ь=О, — 30, = (й, — ЗА,) х †(зоз — Зой) 1 +~о †,. (5.8.21) При получении (5.8.20) мы использовали дисперсионное соотношение (5.8.18) и следующее определение групповой скорости: оз; = — (21сз; — йс)Вор При постоянных со, и й, величины а, и ~с удовлетворяют уравнениям Эйлера — Лагранжа д.х (5.8. 22) (5.8. 23) Подставляя Я из (5.8.20) в эти уравнения и используя (5.8.21), получим Оп+ со,'6,„= —, 1а" ,+ 2а,'+ а,а, соз 6], (5.8.24) ! ~хо+ со',6 „=- — (ба',+ За',+ а',а„' соз 61, (5.8.25) зозз ~~ +«Ъ ~ = — 3 — „„,Ф~з з1п6, до, . до, зз (5.8.26) 1 доз, доз з з — +а) — = а з1п Ь.
дС з дх Ксо, Эти уравнения согласуются с уравнениями, полученными в пункте 6.2.9 с помощью метода многих масштабов. (5.8.27) Проводя усреднение, следует помнить, что, хотя переменные О, и являются быстрыми, величина О,— 30, меняется медленно. Таким образом, Ф'= 3 (а,'+4а а,"+аз)+ д аа, соз(0, — ЗО)+0 (в), Ф) = ~ ~~ (со) — 2оц()а) а,'+0(в'), с=ь з Ф = 2 Ъ (нс"+2кс()с )ар+О(в ), з кз — (к~+ 4йГ() „) а,'+ О(в ).
1=к з С учетом этих выражений лагранжиан Я запишется в виде 2 х.н ~ (6п+ с=к з 240 Гл. д. Вар праимольных помазанных и аплод усреднения Изменение Х, связанное с изменением Е, определяется дисперсионным соотношением (5.8.34). С учетом авенств ш = — О, и й=Ох уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее переменной О, запишется в виде (5.8.37) Подставив в (5.8.37) выражение для 9', получим в) (ш)Р)+,—., (л(Г) =О, д д (5.8.38) где От = )/ „—,, $ р' Š— Ъ' (и) с(и. .(5.8.39) Постановка задачи окажется завершенной, если к соотношениям (5.8.34) и (5.8.38) присоединить условие совместности (5.8.40) (а) и+ Ли = а и'", и (0) = н (и) = О! (б) иа — и„„+и=сиз, и(х, 0)=о сов х.
иг(х, 0)=0. 5.2. Используя методину Сгребла, определить равномерные разложения второго порядка для уравнений (Страбл [19628 (а) й+н=е(! — из) и, (б) и+(6+е соа 2!) и=О. 5.3. Используя л1етодииу Крылова — Боголюбова, определить приближенные решения уравнений (а) й+ шеи= — еи! й 1; (б) и+ шеи=а(1 — иа) и+ьиз; (в) й+(6+ в соз 21) и = О.
5.4. Рассматрим уравнение Матье и-1-(6+есоа 21) и=О. Определить равномерные разложения второго порядка, используя Крылова — Боголюбова — Митропольсаого; (б) обобщенный метод (в) преобразования Ли. (а» методииу усреднения; Упражненаа 5,1. Используя методику Стюарта — Ватсона — Оихауса, определить приближенные решения задач 241 Упраокнения 5.5. Рассмотрим уравнение " -( юр=врз+ К соа юг. (а) Показать, что оно соответствуег гамильтониану — з 2 Н=-ю(ро+ юзео) — вдо — Ко соз ют; о' 4 (б) Определить разложение первого порядка, полагая, что К=О(Ц и значения ю далеки от Зюо юо.
юо/3' (в) К=О(1) н ю близко к Зыо; (г) К=О(1) н оз близко к гоогЗ; (д) К=О(в) и ю близко к го . 5.6. Рассмотрим уравнение а+ юоч = в (1 — ез] д+ К соэ Ы. Используя метод Крылова — Боголюбова, определить разложения первого по. рядка для случаев, перечисленных в упр.
5.5. 5.7. Используя обобщенный метод усреднения, метод Крылоиа — Ботало. бова — Митропольского и метод Кемела, определить разложения второго порядка для решения уравнения и+ и = е (1 — из) и+ вио. Сравнить результаты, полученные тремя методами. Какую из этих методик ыы бы рекомендовали для подобных задач) 5.8. Рассмотрим аадачу й+йрй+ч~и= — е((и, и). При е 0 имеем и=поз "'сов(ю,з рао). ю,= у'~р — р'.
(а) Для в Ф. б определить равномерное разложение, положив, следуя Мен. дезьсону (1970(, и=и(а. ф) и и= — по+си,+..., аа — =- — ра+з 4„(а)+..., ат)- юо+иВ, (а)+ .. Нор (б) Определить разложение, используя методику Крылова — Боголюбона— Митропольского. (в) Какое из этих разложений является более точным? 5,9. Рассмотрим випзчу й+би+аьгим+в(гони-т — вбзи"-х сгж Лг=о, где Ь, в, Ьг и Л вЂ” постоянные, и — четное, т — нечетное натуральные числа, причем щ > и.
242 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения (а) Лля малого е найти решение вида и=и(1) созО, О=юг — ф(Г), м=д!и, и с помощью метода усреднения определить уравнения для и н ф (Цо и Кои (1965)). (б) Определить гамильтониан, саатаетствующий нышепрнаеденнаму уравнению, зюем с помощью канонических переменных определить разложение первого порядка зля случая, когда б близко к юе.
(в) Сравнить результаты, полученные двумя методиками. 5.10. Задача о сферическом маятнике (т. е. о частице, движущейся под действием силы тяжести по поверхности гладкой неподвижной сферы) формулируется с помощью гамильтонианз (Йохансен н Кейн (!969)) 3 3 И= ' з — гяд !е — це 2т тк Ц1 Ц' 2т(з Здесь цг и р! — координаты и компоненты импульса частицы, т — ее масса, у — ускорение свободного падения и ! — радиус сферы. (а) Оарезелить хля малых амплитуд решение первого порядка, используя метод ссредневня и канонических переменных.
(б) Определить разложение второго порядка, используя преобразования Ли. (в) Сравнить полученные трн разложения. 6.П. Рассмотрим задачу о качающейся пружине с демпфированием: й х-(-б,х+ — х-)-л (1 — соа В) — (1-(-х) Ох=О, т и+ баб+ — з!и О+ — хО=О. 2 1+х !+х Положим м~ =йтт и ела=3/1. Ислачьзуя обобщенный метод усреднения н преобразовании Ли, определить Равномерные разложения второго порядка для случаев (а) в1 в 2вз; (б) в1 «Згез.
б.12. Рассмотрим уравнения (3.!.63) — (3.1.65). (в) Показать, чта нм соответствует гамнльтониан 1 е 2 е е И = — (р. + рз)+ц рг — цгре+ — (це+це)— 2 2 — — (йг4+МЙ(1+есозЛ з. ! (б) Используя метсд усреднения з канонических переменных, определить разложение пераого порядка в окрестности переходных кривых, исходящих нз точки (Р„е), где Р„= (1 — 2 )Г 2/З)(2. (в) С помощью преобразований Ли определить в окрестности зтнх переходных кривых разложение второго порядка. 5.13. Рассмотрим даижение частиц, описываемое гамильтоннаном: ! е е ! 9 е Г 11 и е Н= — (р', + р,)+ — (ц,р, ц,р,)-1- — ц, + ~б+ — у!це+цзг+2цгцз 2 2 3 ~ 3) где б — постоянный парамезр.
(а) Показать, что при б= ! нругазые частоты з линеаризованнай задаче рзвше 1 н 2; (б) используя метод усреднения в ка- Ьгнражнеиил 243 ионических переменных, определить для малых амплитуд разложение первого порядка при б = 1; (в) с помощью метода усреднения определить разложение первого порядка; (г) какую иэ этих метсзгик вы рекомендовали бы для подобных задач) 5.14. Рассмотрим задачу (Сетна (1963)) х+ ыгх=е (3Ь,х" +2Ьзху-(-Ьзрэ) — зб,х+К, соз ЛК у+югу=е(Ьэхэ+2Ьэху+3Ь,р') — ебзц-1- Кз з)п ЛГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
