1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 41
Текст из файла (страница 41)
дА —,+2 — +2( — =-О. дТе дТ дТ, (6.1.59) Подставляя А вида (6.1.5?) в (6.1.59), получим ди 2ю' — — а =-О. дТе (6.1.6О) Следовательно, имеем и — и е — етых (6.1.61) где а, †постоянн. Поэтому решение (6.1.54) принимает вид х пеа-т,едт -тих> „1 СС (6.1.62) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, прихо- дим к соотношениям Гл. б. Монад миилих иисиипидив 288 Выразив (6.1.62) через 1, получим 1 х аеем сов ~! — — ев(+ ~р~1 2 В (6.1.63) где а,=(1/2)аехр(1ср).
Этот результат находится в полном со- гласии с (6.!.48). В.1.2. Процедура равноценна но двум переменным Заменив независимую переменную ! на переменные $ и Ч согласно (6.1.21), приведем уравнение (6,1.1) к виду (! + е*а, +... )' — „+ 2е (! + е'ы, +... ) — + е' — + х = дех д'х дел = — 2е.1+елее +...) — 2е' —. (6.1.64) дх дх дч д$' Будем искать разложение вида х= хе ($, Ч)+ах~ (ь, Ч)+ а~хе (в Ч)+ .. (6.1.65) Подставляя (6.1.65) в (6.1.64) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е в обеих частях, получим ,'+х,= О, (6.1.66) (6.1.67) дех, дел дех, д'х дх1 дхе дЧ ' ' дЧ' и$дЧ д4в дЧ д! ' — +х +2в — -+2 — + — = — 2 — 2 —. (6.1.68) Общее решение уравнения (6.1.66) имеет вид х, =- А, (с) е'ч+ А, (Ц е-'ч. (6.1.69) С учетом этого решения уравнение (6.1.67) примет вид —, + х, = — 2! ~ — '+ Ае ) е~ч+ СС.
(6.1.70) Следовательно, х, = А, (с) е'о+ А, ($) е-'ч. (6.!.72) Желая исключить в (6.1.70) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению — +А,=О. дне йв (6.1.71) б.!. Олисаиие метода Решение уравнения (6.1.71) имеет вид А, =а,е-~, (6.1.73) где а,— постоянная. Подстановка полученных выше решений для х, и х, в (6.1.68) даст ф+х,= ~ — 2! Я+А,)+(2!о, +1) а е-б~е!ч+СС.
(6.1.74) Исключая в (6.1.74) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению дА~ ! д~'+А~= — 2 !(2~,+1)ае б, (6.1.75) которое имеет своим решением функцию А,=а,е ! — — !(2!о,+1)аДе-б. ! 2 (6.1.76) Подставив А, в (6,1.72) и сравнив результат с (6.1.69), увидим, что отношение х,/х, при $ -о-со не ограничено, если только не выполнено условие 63 1 2' (6.1.77) При выполнении этого условия равенство (6.1.65) запишется в виде следующей функции от 1: 1 х=ае-"соз ~! — е'!+гр)+0(е'), 2 б.!.3.
Обобщенний метов — нелинейные ннсщтабм Преобразуем сначала уравнение (6.1.1) с помощью новой пере- менной т=е! к виду l д'х дхт е' ~ — +2 — ) +х=0. '1д дт,) (6.1.79) Чтобы получить равномерно пригодное разложение, положим б=т> !1=~ ' +По(т)+ел,(т)+...,д!(0)=0, (6.1.80) где принято а,+за, =(1/2) а ехр(!!р). Это выражение полностью согласуется с выражением, полученным с помощью метода мно- гих переменных (метода разложения производной). да.
Опиеипие иепюда вид (6.1.90) Ао+(1+ л9о) Аа =О и будет иметь своим решением функцию А =а е-1-ехоцв о — а (6.1,91) где ао — постоянная. Поскольку А, и д, найдены, имеем х, = аае-'епч*о + аае-ое-егиоо. (6.1.92) Из равенства (6.1.92) видно„что величина до сократилась, и, следовательно, решение не зависит от значения д,. Поэтому без потери общности можно положить ее равной нулю. Тогда А, принимает вид А, =- а,е-т. (6.1.93) С учетом (6.1.88) получим следующее решение лли х,. х, =А,($)е'ч+А,(5) е-'ч. (6.1.91) Зная функции д л=5 и а,= — О, можно получить уравнение для х,.
Подставим с этой целью соотношения (6.1.81) — (6.1.83) в (6.1.79) и приравняем нулю коэффициент при е', Получим дах дох дх Подстановка выражений для х, и х, в (6.1.95) дает — ",'+х,= — [21(А;+А,) — (2д,'+1)ае-Цееч+СС. (6.1.96) Исключая в (6.1.96) слагаемые, которые порождают вековые члены, получим А;+ А, = — — г (2ле', + 1) а,е-о. (6. 1.97) Решение уравнения (6.1.97) имеет вид А,=а,е о — (а,(2д,+$) е о, ! (6.1.98) где а,— постоянная. Из равенства (6.1.98) видно, что отношение к,!х, при $ оо не ограничено, если только не выполнено а — — —,$.
1 (6.1.99) При использовании переменной о = т/е разложение примет вид х=ае-"'соз(( — еЧ+ ор)+0(ео), (6 1 1ОО) Ге. б. Метод многик масштабов где принято а,+еа, =(1/2)иехр(1гр). Это разложение опять-таки согласуется с разложениями, полученными с помощью разновидностей метода многих масштабов — метода разложения производной и метода разложения двух переменных. 6.2. Приложения метода разложения производной а.2.гк уравнение дюффнига Вторым примером, к которому мы применим метод разложения производной, является уравнение Дюффннга (6,2.1) Предположим, что имеет место разложение вида к и = ~ е"и„(Т„Т„, Т,)+О(е"), (6.2.2) тогда — = О, +е0, +е'О, +..., О„= —. (6.2.З) Н д Подставив (6.2.2) и (6.2.3) в (6.2.1) и приравняв нулю коэффициенты при каждой степени е, получим (6,2.4) (6.2.5) 0',и, + са,'ив = — 20,0,и, — 20,0,и,— Оф~ — Зи,'и,.
(6.2.6) Решение уравнения (6.2А) имеет вид и, = А (Т„Т,) е'""г + А (Т„Т,) е- """ . (6.2.7) С его учетом уравнение (6.2.5) примет вид О,'и,+со',и, = — [2(ш,О,А+ЗАгА)еивг — Аве'""г +СС. (6.2.8) Для того чтобы отношение и,/и, было ограниченным при любом Т„ следует исключить слагаемые, порождающие вековые члены. Положив 2(совО,А + ЗАВА = О, (6.2.9) получим для и, следующее решение: Ав и =8(Т, Т )еги ге+ евс ° ~вг~+СС. (6.2.Щ) 5.2. Приаояеелия иелвода ризяовяелия лроивеодяоа 263 Обращаясь к решению уравнения (6.2.9), положим А =(1/2)аееч, где а и ер — действительные величины, и выделим в нем действительную и мнимую части. Получим ди дар 3 дг в одг — =О, — ево — + — аа =О.
(6.2,11) Подставив рв и и, в (6.2.6), получим 0вц 1 иван Авввеиото ( ( АоА 3ВАфвеиото— о ( ъ — Ц (Т„Т,)е'"'отв-(-СС, (6.2.13) где принято обозначение Д =2(воо0вВ+ЗАаВ+6ААВ+ 2йоо0аА — в . (6 2 14) аово Вековые члены будут исключены при выполнении условий В=О, (6.2.16) 2йо,0,А = (6.2.16) аово т, е. при Я =О. Для ив получим решение вида еми,т, свеи,т, ) СС Ав е т 21АвА 64овв 64ове (6.2.17) в котором не учтено решение однородного уравнения.
Полагая в (6.2.16) А =(1/2) аевч и отделяя действительную и мнимую части, получим — = О, — ыо — —— — в по. да доро 15 (6.2.18) дв в дв в 256воо Из равенств (6.2.12) и (6.2.18) следует, что а — постоянная. Следовательно, имеем еро = „в и'Та+Ко 15 (6.2.19а) где 11 — постоянная. Поэтому 3 в 15 Ч= — а'Т вЂ” а Т +Х. ч' =авва в 256 в (6.2.19б) Следовательно, имеем а=-а(Тв). вр= —,авТв+вро(Та).
(6.2.12) Гл, б гивтад многих мааитабао Подставляя выражения для и„и, и и, в (6.2.2), вспоминая равенство А =(1/2) а ехр (1вр) и выражая результат через переменную 1, получим вггв / 2 1а' т и =исоа(а1+!1)+ —, ~1 — е —,) соз3(а(+т)+ Жа„~ 32о)0 ) + в соз5(а!+у)+0(е'), 1024ао~ где принято обозначение Зав 1зао а=а + — е — — е'+0(е'). — в а в (6.2. 20б) 6.2.2.
Осцнлллтоа Влн-лов-Полл В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван-дерПоля ави — +и =е(1 — и') —. аа лм Н (6.2.21) Подставив (6.2.2) и (6.2.3) в (6.2.21) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим Роно+ ив = 0. 0 и, + и, = — 20,0,и, + (1 — и„') 0 и„ +(1 — и*„) О„и, +(1 — ио) Р,и,— 2иои,Роио.
(6.2.24) Решение уравнения (6.2.22) имеет вид ио = А (Т ° Тв) е'т + А (Т„Т,) е-'т . (6.2.26) 1!одстановка и, в (6.2.23) дает Рви,+и,= — 1(20вА — А+А'А)егт, (Авевгт, ! СС (6226) Чтобы исключить слагаемые, которые порождают вековые члены, потребуем обращения в нуль коэффициентов при ехр(~!То): 2Р,А =А — А'А. (6.2.27) Тогда решением уравнения (6.2.26) будет функция и, =- В (Т, Тв) е'т -!- — 1Авемто-1- СС е (6.2.28) В последних двух членах в (6.2.20а) величина а, заменена на а с ошибкой порядка 0(е'). Гл.
б. Метод многое масштабов 2 — — — Ь =- — 2а ( — + — ) + ( — а' — — ) —. (6.2.36а) дь 2 до I дер 1т 77 11 до дТ, о дТ, 1дТл 167 (16 47 ЙТ Имеем, таким образом, с(Я= ( Т + — ,'6)с(Т'+(62а 6— '„) (а. (62.366) Интегрируя, получаем Ь= — а( — „. + — ) Т, + — а' — — а1па+аЬ,(Т,). (6.236в) Чтобы отношение и,/ио было ограниченным при всех Т„коэффициент при Т, в приведенном выше выражении для Ь должен обратиться в нуль.
Из этого условия имеем ! р= — шт,+ р„ (6.2.37) где <рв — постоянная. Тогда разложение и во втором приближе- нии запишется в виде и=асов[(1 — — е') !+<ро~— ((64~ 6 а1па+аЬ,) з(п[(1 !66') +срв1+ + — аез(п 3[(1 —,е') 1+ср,~ ~+О(е'), (6.2.38) где а определено соотношением (6.2.33), а Ь,— постоянная с точностью того же порядка, что и указанная ошибка. С ошибкой порядка О(е') это выражение можно персписать в виде и =а сов(1 — О) — еа" з!и 3 (1 — О)+ О (е'), (6.2.39а) 32 где принято О = — ее7+ — е 1п а — — еа'+ О, 1 1 7 16 6 64 (6.2. 396) а О,= — еро — еЬ,— постоянная.
Последняя форма решения пол- ностью согласуется с решением, полученным в п. 5.4.2 с помощью метода Крылова — Боголюбова — Митропольского. С помощью соотношений (6.2.30) уравнение (6.2.356) можно пе. реписать в виде 6.д Приложения инноои разложения лроигвойноа В.В.З. Вынужденные колебание оеннллатора Ван-дер-Полн Рассмотрим отклик на внешнюю периодическую силу осциллятора Ван-дер-Поля, изученного в предыдущем пункте, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
