1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 42
Текст из файла (страница 42)
рассмотрим колебания, описываемые уравнением Ееи ||и — +|о„'и =е(1 — и') й +Ксозл(, (6.2.40) где К и Л вЂ” действительные постоянные. Следует различать четыре случая в зависимости от того, является ли возбуждение (внешняя сила) „мягким" (т. е. К=О(е)) нлн „жестким" (т. е. К=-О(1)) и является ли возбуждение резонансным (т. е. Л вЂ” во= =0(е)1 или нерезонансным (т. е. Л вЂ” о|, = — 0(1)). Мягкое нерезонанснве возбуждение. В этом случае имеем К=е7г, где н=О(1), и созЛ1 можно выразить в виде созЛТ,. Для нахождения первого приближения к и положим и = и,(Т„Т,) -1- еи, (Т„Т,) + 0 (е'), (6.2.41) причем Т,=1 и Т, =ег.
Подставив (6.2.41) в (6.2 40) и приравняв коэффициенты при ео и е в обеих частях, получим (6.2.42) Р'„и, +о|',и, .= — 2Р,Р,и, + (1 — и) Р,и, +я соз ЛТ,. (6.2.43) Решение уравнения (6.2.42) имеет внд и =А(Т,) е| агв+ А (Т,)е-| .га. (6.2. 44) Подстановка и, в (6.2.43) дает Ки, +и,"и, =(о| ( — 2А'+А — А'А)е|ы г + + — )ге|кто — тоАаеа|и,г«+СС. (6.2.45) Чтобы не было вековых членов, потребуем выполнения условия 2А' = А — А'А.
(6.2.46) Здесь штрих означает дифференцирование по Т,. Тогда решением уравнения (6.2.45) будет функция |Аз и, = В (Т,) еил г + ~ —, е|аго+ — е'|нага+СС. (6.2.47) 2 ~~~ ~— л 8ОЪ Положив в (6.2.46) А =(1/2) аехр йр, выделив действительную и мнимую части и решив полученные уравнения, можно установить, что ер — постоянная, в то время как а определяется равенством (6.2. 33). Гх.
б, Метод нногих наситнсбсн Имеем поэтому в первом приближении и = а сов сэ,/+ 0 (з), где а определено в (6.2,33). Из равенств (6.2.33) н (6.2.48) видно, что наличие мягкого нерезонансного возбуждения не влияет в первом приближении ни на фазу, ни на амплитуду. Более того, поскольку вынужда- ющая функция мягкая, то собственные колебания системы (со- ответствующие случаю /!=О) преобладают над вынужденными колебаниями, как и следовало ожидать.
Однако при приближе- нии вынуждающей частоты Х к собственной частоте сэ, вынуж- денные колебания становятся более значительными н стремятся к бесконечности, как это можно видеть из (6.2.47). Приведенное выше разложение при этом становится непригодным.
Жесткое нерезонансное возбуждение. В этом случае К=О(1), а уравнения (6.2.42) и (6.2.43) преобразуются к виду 0,'и, + а!,'и, = К сов Х Т„ (6.2 49) 0;и, +со,'и, = — 20,0ссс,+(1 — исД0,и,. (6.2.50) Решение уравнения (6.2.49) имеет вид и, = А (Т,) есс" го + А (Тс) е ' '" + —, сов ЛТа. (6.2.51) сэс 3— Лс Подстановка и, в (6.2.50) дает 0',и, +се„'сс, = ссз, 1 — 2А'+ Ат! — А'А) е'" ге+СС+/с/ЗТ, (6.2.52) где с) =! — К'/2(сэс — Л')'.
Чтобы исключить вековые члены, потребуем выполнения условия 2А' =- Ат! — А'А. Чтобы решить уравнение (6.2.53), положим в нем А =(1/2) а ехр сср, выделим действительную и мнимую части, Получим, что ч~ — постоянная, и, кроме того, должно быть выполнено уравнение де ! ( ! дгс 2 ! 4 — = — а(П вЂ” — ас).
(6.2.54) Разделением переменных можно найти следующее решение уравнения (6.2.54): ! !па* — (п (т! — — а') =тсТ, +сопвЕ 4 Если положить и(0)=а,+(К/(се,'Л')) и с(и(0)/с(/=-О, то первое приближение к и будет задаваться равенством и =а сова!,/+ —, сов Л/ +0(е), (6.2.55) К ьм — Л б.л. Приложение метода разложения ароижадной где принято обозначение а = 4п (4т| ) (6.2.56) Стационарное решение (т.
е. решение, получающееся прн ( — оо) зависит от знака т) (т. е. от того, больше ли К', чем 2(юо — ).е)', или меньше). Для отрицательного и имеем ехр( — еф) ао при оо; следовательно, при 1 аа имеем и 0 и стационарное решение имеет вид ил= —, сов И+О(е). л мо (6.2.57) Однако для положительного Ч при 1 имеемехр ( — и)1) — 0 и а 2г'тй Стационарное решение соответственно имеет вид и,==2)'т)созеоо!+, созИ+О(е). (6.2.56) еое — Хе Поэтому при отрицательном й собственные колебания системы затухают и стационарное решение состоит только из вынужденных колебаний. Однако при положительном т) стационарное решение образовано сочетанием собственных и вынужденных колебаний, причем наличие жесткого возбуждения изменяет амплитуду собственных колебаний.
Лля функции возбуждения такого вида величины ие и и, из (6.2А1) будут удовлетворять уравнениям (6.2.60) Р'„-и, +ее'„и, = — 2Р,Р,и,+(1 — ие) Р,и,+й сов(еооТ,+ОТ,). (6.2. 61) Общее решение уравнения (6.2.60) имеет вид но = А (7, ) енееге + А (7, ) в- ™еге (6.2.62) Уравнение (6.2.61), следовательно. примет вид О",и, +о4и, = — ~йо,( — 2А'+А — А'А)+ — йе'от ) е'""ге— — йо„Аеее мог, 1 СС (6 2 63) Мягкое резо нсное возбуждение.
В этом случае имеем К =И, я=О(1) и Х вЂ” ео,=ое, причем расстройка О=О(1). Чтобы в рассматриваемом случае получить пригодное асимптотическое разложение, выразим функцию возбуждения через Т„и Т, в соответствии с равенством Ксозке=ейсоз(еоо(+ее|)=ейсоз(еооТо+оТ,). (62.59) Гл. б. Метод многих моаижадое 2А'=А — А'А — — /Ае' г. 2ач Для решения уравнения (6.2.64) положим в нем А =(1/2) аехр !ч и, выделив действительную и мнимую части, получим да ! / ! ! А д — — — а ~ 1 — 4 ае ~+ — з1п(оТ,— ер), (6.2.65) 1 — — соз (оТ, — /г) дт А //т1 201еа (6.2.66) Желая исключить в правых частях (6.2.65) и (6.2.66) явную зависимость от времени, положим ч!=аТ,— /р или — = о — —. дф Иг дт, дт, Уравнения (6.2.65) и (6.2.66), следовательно, примут вид Ыа ! / 1 т А — = — а ~1 — — ае/!+ — з)пф, дт, 2 (6.2.68) — =о+ — соэф ~Щ А дт 2 не (6.2.69) Периодические решения возбуждаемого внешними силами осцил- лятора (6.2.40) соответствуют стационарным решениям уравнений (6.2.68) и (6.2.69), т.
е. соответствуют равенствам //а///Т, = = ~Ц///Т,=О, или иначе ! "/ !"! А — а ~1 — — ае/!+ — з)п!)=0, о + = соз ф = О. (6.2. 71) 2щ,а (6.2.64) (6.2.70) Величины, помеченные волной, относятся здесь к стационарному решению. Исключив из этих уравнений 1, получим следующее уравнение для частотной характеристики: Ае 32 р(1 — р)'+ 4о'р =- — = Ее, р = —.
(6.2.72) 4ме Для заданных амплитуды ей и частоты е.=/ее+ее возбуждения соотношение (6.2.72) определяет значение р и, следовательно, амплитуду гармонических колебаний. В первом приближении гармоническое колебание задается равенством и = а соз (/о„|+ «р) -1-0(е), (6.2.73) Поскольку выражение в квадратных скобках в (6.2.63) зависит только от Т„то слагаемые, пропорциональные ехр(/- [/оеТ„), порождают вековые члены относительно масштаба времени Т,.
Чтобы отношение и,/ио было ограниченным при всех Т„следует потребовать 271 б.2. Приложения миииди ризяизсения ириизяидиод причем частота колебаний равна дч, из = — (ыя1 + ~р) =-ыя + — „= ы + ео = Х. (6.2.74) ш я я ш Следовательно, при приближении Х к ы, собственные колебания совпадают с вынужденными. В результате выходной сигнал синхронизируется с частотой возбуждения. Для исследоваяия устойчивости этих гармонических колебаний положим (6.2.76) а=а+Ла, яр ==яр+ Лф.
Разлагая правые части уравнений (6.2.68) и (6.2.69) по степеням Ла и Ля) и сохраняя только линейные члены, получим — = — 11 — а') Ла+ — соз рЛФ, (6,2,76) д71 2 1 4 ! 2вя .(Л44 'А - а = — = соз фЛа — з!и я)Ля). (6.2.77) дт, 2и,ии 2ичи Предположим, что Ла и Ляр пропорциональны ехртТо Тогда коэффициент т должен удовлетворять уравнению т' — Рпг+Л =-О, (6.2.78) где приняты обозначения Р = 1 — 2р, Л = — (1 — 4р+ Зр') + оя.
(6.2.79) ! При выводе этих соотношений мы воспользовались уравнениями (6.2.70) и (6.2.71). Дискриминант уравнения (6.2.78) равен 0 = — р' — 4о'. (6.2.80) Кривые, определяемые равенствами 1)=Л=0=0, называются сепаратрисами и показаны на рис. 6.1. Кривая Л=О представляет собой эллипс с центром в точке р=2/З„о=О; геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению 0=0, являются две прямые линии р = ~2о. Точки, лежащие внутри эллипса, соответствуют наличию седловой точки; следовательно, соответствующие им гармонические колебания неустойчивы. Точки, лежащие вне эллипса, соответствуют наличию узла при 0)0 и наличию фокуса при 0 < О. Гармонические колебания, соответствующие этим точкам, будут устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от того, больше ли р, чем 1!2, или меньше.
Жесткое реииаксное возбуждение. Данный случай может быть исследован как частный случай предыдущего, соответствующий й=К/а, причем амплитуда возбуждения К=О(1). Следовательно, Гл. От Метод многих моиооогдоо й — очень большая величина, поскольку е мало. Тогда из (6.2.?2) следует, что для о, близких к нулю, существует только одна амплитуда р гармонических колебаний, и последние являются устойчивыми.
При неограниченном увеличении й амплитуда также растет неограниченно. йо 0,5 Рис. 6Л. Е.2.4. Параметричесина резонанс — уравнение Матье Вернемся к уравнению Матье, рассмотренному в п. 3.1.2, а именно к уравнению и+(6+в соз 2!) и =-О. (6.2.81) Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, плоскость параметров 6 — е разбивается переходными кривыми на области устойчивости и неустойчивости, причем на самих кривых решение и периодично с периодом и или 2п. В п.
3.1.2 были определены приближения к переходным кривым с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре. В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но также и решения и, следовательно, степень устойчивости или неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном со, 6 =озе (6.2.82) и предположим, что и=-и,(Т„Т„Т,)+си,(Т„Т,, Т,)+г'и,(Т„Т„Т,)+.... (6.2. 83) 273 6.2. 7)рсслолвннл нанос)а роэлоооенол нроилеос)ной Следует различать случаи, когда значение во близко к целому числу и и когда оио далеко от целочисленных значений.
Решение для значений вв далеких огл целого числа. Выразим соз 2( через масштаб времени Т, в виде соз 2Тв Подставив (6.2.83) в (6.2.8!) и приравняв нулю коэффициенты при з', е и в', получим 0оио + сооио = О (6.2.84) О,'и, +в',и, =- — 20,0,и,— и,сов 2Тв (6.2.85) 0,'и,+со',и, = — -20,0,и,— (0;+20,0,) и,— и, соз2Тв (6.2.86) Решение уравнения (6.2.84) имеет вид и.
=А (Т„Т,) е'" го+А (Т„Т,) е- гл. (6.2.87) Подстановка и„в (6.2.85) дает 0";и, (-со,'и, = — 2сво0,Ае'"" — — Ае'ол о'1!' — — Аессн "' +СС, ,г, 2 (6.2.88) Поскольку значение в, далеко от 1, то вековые члены будут отсутствовать при условии 0,А =О, т. е. А =А(Т,). Тогда решением для и, будет функция и = Аес с"ъс ос са— 1 . ! Ае"""-'! г + СС. (6.2.89) 8 (во+!) а(в,- !) Подстановка и, и и, в (6,2.86) дает 0'и + веи =- — 2 (ио 0 А — ~ е'" г— овос — (ос ! ! — Ае' '" "" г — Ае' '" -" ге+ СС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
