1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Можно показать, что функция <р„в которой содержится только ехр(<0,), является непригодной (см. п. 6.8.2 и и 6.8А). Подставив выражение для <р„в (6.2.218), получим Е.(<р,) = ~~<' 2<из„( — "+из„' —."з)е<в +3(А,А, +2А,А,)А,е'в + л <,3 + 3 (2А А + А А ) А е<вл + А емв, + А,ез в| + ЗА А е«в,+зв,>+ЗА<А е«в,-звд + +ЗА, А,'е' <'в +в ' + ЗА, А,'е' <'в -" > + СС.
(6.2.221) Хотя Х, и Т, имеют порядок 0(1), величина Г при й, Зй< и а„— Зги< становится медленно меняющейся, Чтобы описать это медленное изменение, выразим Г в виде эо зэз Х (6.2.222) Здесь и<'„= <йо„/<И вЂ” групповая скорость. Вследствие взаимодействия двух гармоник в уравнении (6.2.221) возникают слагаемые, порождакхцие вековые члены и отличные от слагаемых обычного вида ехр (<0„). Чтобы выделить эти слагаемые, рассмотрим случай точного резонанса, при котором 0,=30„так что выражения ехр(<0,) и ехр(3<0,) порождают вековыс члены.
Непосредственно видно, что слагаемые ехр(3<0,) и ехр(<(0,— 20,)) порождают вековые члены. Вековой характер этих слагаемых вблизи резонанса можно показать, выразив их через ехр(<0,) и ехр(<0,). С этой целью заметим, что О,— 30, — = Г =(<<з — Зй<) Х,— (изо — Зиз,) Т,. !'л. б. Меажд мнаеик маг!аз!абав С помощью этой функции величины ехр(3(0!) и ехр [7(0,— 20,)] примут вид ехр (3!О,) —; ехр [! (Оз — Г)1, ехр [! (О,— 20,)! -=-ехр [К (О, + Г)). Исключая в правой части уравнения (6.2.221) слагаемые, порождающие вековые члены, найдем 2го!! ~ —,' +го,' — ' ~ =- — 3 (А,А, + 2А,А ) А, — ЗА,'А,егг (6 2 223) (6.2. 227) Здесь принято обозначение 6 = Г+ !зз — 3(!!.
(6.2. 229) Уравнения (6.2.225) — (6.2.228) вполне согласуются с уравнениями (5.8.24) — (5.8.27), полученными с помощью вариапионного подхода. а.2ЛО. Ограничения метода разложения производной Этот метод применим только к задачам волнового типа. Он не применим при наличии неустойчивости, за исключением тех случаев, когда неустойчивость является слабой. Подобная неустойчивость имела место в нелинейной задаче устойчивости, рассмотренной в и.
6.2.8. При )г > 1 величина и ограничена, и разложение (6.2.198) пригодно для времен порядка е ', если только значения Ф далеки от 1. Если й < 1 и и далеко от 1, то это разложение пригодно только для малых времен. В окрестности а = ! неустойчивость является слабой, и соотношение (6.2.211) задает решение, пригодное для времен порядка в '. В случае гиперболических уравнений этот метод может быть применен к диспергируюшим волнам, если только начальные условия представляются суперпозицией конечного числа синусоид.
Положив в уравнениях (6.2.223) и (6.2.224) А„=(1(2) а„ехр(!ра) с действительными а„и р„и отделив действительную и мнимую части, получим — +го', — = — — а,аз з!и 6, да, , да, 3 (6.2. 225) дг! ' дХ! аен дг +"'Зк — =а (а'+2а.'+а,а,созб), (6.2.226) даз, даз ! — + га', —, = — а', з! п 6, дт, 'дх, =а, ' д~У + газ' дх' — — — (ба,'+За3+ а'!а соз 6). (6.2.228) 6Х Лримххения молоди раолажхния лроияоиднод В волиовых задачах, в которых в линейном приближении дисперсия отсутствует, как, например, в следуюшей задаче: дои дои д22 дхо ацо (6.2.230) и(х, 0) =) (х), — (х, О) =О, (6.2. 231) этот метод ие позволяет получить решение, если даже ((х)— сииусоидальиая фуикпия типа соз х.
Чтобы установить это, положим и=-и,(х, Т„Т,)+еи, (х, Т„Т,)+..., (6.2.232) где То=о, Т, =во. дио дио дТ2 дхо и,(х, О, 0) =созх, — '(х,О, 0) =0; дТо (6.2.233) (6.2. 234) порядка в — — —,= — 2 — +по, д'и, до«о д'ио 2 (6.2.235) дТо дхо дТо дТ2 и(х, О, 0)=0, — '(х, О, О) — — "' (х, О, 0). (6.2.236) дТ, ! Решение задачи (6.2,233), (6.2.234) имеет вид по=А(Т;)е~~о т >+А(Т )е-гм-тоо (6.2,237) причем А = —. 1 о э' Подставив это решение задачи для нулевого порядка в (6.2,235), получим — '+ — '= 21 — Е' Гх 222 — 21 — Е-оы-Г22+ дои, д'и, . дд, дЯ дТ2 дхо дТ, дТ, +2АА+А'е"'"-г'+А'еьм'х-го>.
(6.2.236) Правая часть получеииого уравпеиия содержит слагаемые, кото- рые порождают вековые члены. Такими слагаемыми, кроме чле- Подставим (6.2.232) в (6.2.230) и (6.2.231) и приравияем коэффициеиты при одинаковых степенях а.
Получим, приравнивая члены: порядка ао Гл. д. Метод многих мисиииадов 6.3. Процедура разложения по двум переменным а.эд. ураннение дюффинга Вновь рассмотрим уравнение дои — + гоги+ еив =.О. дге (6.3.!) Будем предполагать, что существует разложение вида и=ив(е, т1)+эи, ($, Ч)+авив($, т1)+..., (6.3.2) где $= 1 Ч=(1+ее +э' + )1 (6.3.3) Подставив (6.3.2) и (6.3.3) в (6.3.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях а, получим -тп — +го и = — 2 — и, д'и, , д'ио и 'х„е е г = дед„о~ (6.3.5) Общее решение уравнения (6.3.4) имеет вид и, = А, ($) соэ го,т) + Ва ($) э1п го,в).
(6.3.7) нов, содержащих ехр(~1(х — Т,)), являются члены, пропорциональные ехр [~ 2((к — То)). Для того чтобы отношение и,/ио было ограничено при всех Т„названные слагаемые должны быть исключены. Однако нет способа, с помощью которого это можно сделать. В предыдущих примерах подобные слагаемые были пропорциональны ехр(~ г'(х — Т,)), и коэффициент А выбирался так„чтобы исключить нх.
Если в рассматриваемом случае мы хотим получить нетривиальное решение, то коэффициент А можно выбрать таким образом, чтобы исключить слагаемые, пропорциональные ехр (~1(х — То)). Получающееся при этом разложение содержит вековые члены и, следовательно, не является пригодным для больших времен. Разложения для волн без дисперсии, пригодные при больших временах и начальных условиях общего вида, были получены в п. 3.2.4 и 3.2.5 с помощью метода координатных преобразований.
д.д. ПРОЧедууп увзвмееннп по двум переменным С учетом его уравнение (6.3.5) примет вид —,'+в',и,= — ~2воВ„+ 4 (А',+А,В',)1 созвот!+ + ~~воАо 4 (Во+ АоВо)1 з1пвоЧ вЂ” 4 (Ао ЗАоВо) соз Звон + + — (Во, — ЗА',В,) з!и Звоо1. (6.3.6) Вековые члены будут исключены при условиях 2воВо+ 4 (Ао+АоВо) =-0„ 2в,А; — (В',+ А;В,) =-О. (6.3.9) (6.3.10) Используя (6.3.1!), можем записать уравнения (6.3.9) и (6.3.10) в виде Во+воАо=01 Ао — веВо=Оэ (6 3 12) где 3 в = — а'. аво Таким образом, Ао == асов (вД+ ер), В, = — аз)п (вД+~р). (6,3.13) Здесь ер — постоянная.
Решение для и, после исключения вековых членов будет иметь вид и, = А, К) соз вот!+В, (В) з1н вот)+ + — о(Ао ЗА Во)соз Звот!— ЗМΠ— —, (Во о— ЗАЗВо) зш Звое!. (6.3.14) 32о4 Подставляя в и, и и„выражения для А, и В„получаем и, =асозО, (6.3.15) ие = А (К) сов О+ В, (я) з!и О+ — сов ЗО, (6.3.16) Умножая (6.3.9) на В„а (6.3.10) — на А, и складывая получающиеся уравнения, получаем ,~ (Ао+ Во) =О, или А, о+Во — -а" сопз!. (6.3. 11) Гл. б. Метод многия могнолобол 292 где принято обозначение О =гооЧ+'оА+ гр. (6.3.17) Вековые члены будут исключены при условиях А, =В, =О и 2гоФоя =- — гог +, а' 12бой или иначе !б го, = — — а'. 2ббгоо (6,3.19) Следовательно, во втором приближении получим и=асов(го(+гр)+ ', созЗ(гог+гр)+0(е"), (6.3.2О) азой где го = — „(гооз) + гоД) = — 1(гоо + его, + его гол +...
) 11, й илн Зе , !бег го=гол+ — а' — ', а'+0(е'). агою 2 багга (6.3.21) Это разложение вполне согласуется с разложениями, полученными в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре, в п. 5.4.1 — с помощью метода усреднения и в п. 6,2.1 — с помощью метода разложения производной. б.а.2. Ооннллятор Влн-лор-Поля Вторым примером, рассматриваемым в этом параграфе, будет осциллятор Ван-дер-Поля — „„+ и = е (1 — и') — „ (6.3.22) который изучался в п. 5.4.2, 5.7.4 и 6.2.2. Предположим, что функция и допускает следующее равномерно пригодное разложе- Заменив и, и и, в уравнении (6.3.6) их выражениями (6.3.15)— (6.3.17), будем иметь —., + озлил — — — ( 2гооВ;+ — а А, — 2гоого|А, — аго,— 2агоягоо+ + — г.
а' ~соз Π— ~ — 2огоА; — 2гооы,В, + — '4 а'В, ) збп О+ дгЯТ. 3 3 (6.3.18) д.к Процедура разяаяеения но двум неременним ние Коул и Кеворкян !19631, Кеворкян !196ба1: и=и,5, е!)+аи,(В, и))+а'и,($, и))+..., (63.23) где переменные $ и е! определены в (6.3.3). Подставив (6.3.3) н (6.3.23) в (6.3.22) и приравняв коэффициенты прн одинаковых степенях е, получим — +и = — 2 — +(1 — ип) —.
дпи, д ип п д"и и= депе и дпип д'и, даип д ип — +и = — 2 — — 2по — + дип е дздЧ дсп и дцп +(1 — ип) ( — + — ) — 2и и и Г див дип '1 ди и пд (б.3. 24) (6.3.26) (6.3.26) Общее решение уравнения (6.3.24) имеет вид и, = А, ($) соз е)+ В, ($) з!п и!. (6.3.27) С его учетом уравнение (6.3.26) примет вид "— 44+и, =~ — 2В;+(1 — ' ')В,~ созе)+ + ~2Ап — (! — 4 ) Ап~ ЗП Е!+ + 4 (А3 — ЗАпВп) з1п Зт!+ 4 (Вп ЗАпВп) сов Зп!. (6.2.28) — 2В„'+(1 — А~+в~) В =О, 2А'„— (1 — ' ') А, =О. (6.3.29) (6.3.30) Умножая уравнение (6.3.29) на В„а уравнение (6.3.30) на А, и вычитая иэ второго первое, получаем р — р(! — — р) =О. / ! 4 (6.3.31) Здесь р — квадрат амплитуды решения нулевого порядка, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
