1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Подставив (6.2.!64) в (6.2.158) и (6.2.159) и приравняв коэффициенты при соз(Т,(2) и з|п(Т„)2) в обеих частях, получим )7, = СС„о, = — Р„ )7, = — аР„Я, =- — аЯ,. Исключив )7, и 5, из (6.2.166) и (6.2.167), получим искомые условия; они имеют вид Р, =а()„Я, = — — аР,. (6.2. 168) Подставляя выражения для ЄЄ(), и !с, из (6.2.160)— (6.2.163) в (6.2.168), получим следующие два уравнения для А и В: (1 — 4а+а') А'+ [(! — а')Ь, + — (܄— аяао)~ В=О, (6.2.169) (1 — 4а+а') В' — [(1 — а')Ь,— — (Ь,— а'ао)~ А =О.
(6.2.170) Для решения этих уравнений положим в них А=аехру,Т„В=Ьехру,Т, (6.2. 171) и получим уравнения (1 — 4а+ а') у,а+ [(1 — ае) Ь, + — (Ь,— а"а„)] Ь = О, (6.2.172) — ((1 — а') Ь, — — (Ь,— а'а,)1 а+(1 — 4а+сс') Ьу, =О. (6.2.173) Эти уравнения совпадают с уравнениями (3.1.105) и (3.1.106), полученными с помощью метода Уиттекера. Следовательно, у, и Ь!а задаются соотношениями (3.!.107) и (3.!.108), а х и у — соотношениями (3.1.109). Олфренд и Рэнд !!969! продолжили это разложение до второго порядка. 0-1- а з)пО+ х0=0. !+я !+к (6.2.175) 6.2.7.
Качающаяся пружина Ниже рассмотрим нелинейную качающуюся пружину, исследованную в п.5.5.3 и 5.7.5 и описываемую лагранжианом (5.5.54). Этому лагранжиаиу соответствуют уравнения движения х-1- — х+д(! — соз0) — (!+к)0'=О, (6.2.174) я Гл. б.
'Метод многих масштабов Для малых, но конечных значений х и 9 будем искать решения этим уравнений вида х(1) =ех, (Т„Т,)+ е'х,(Т„Т,)-1-..., 9(1) =.В, (т„т,)+е 9,(т„т,)+..., (6.2. 176) (6.2. 177) где Т„=е"1, а е — величина того же порядка, что и амплитуда колебаний.
Подставим (6.2.176) и (6.2.177) в (6.2.174) и (6.2.175) и приравняем коэффициенты прн одинаковых степенях а. Получим, приравнивая члены: порядка е И сс сос ю т Оюех,+соим,=в, (6.2.1?8) (6.2.179) со =— в е 2— Р,'О, + гоев, = О, порядка е' Р',х, + оз,*х, = — 20,0,х, — -йв,'+1(0,9,)', (6.2.180) 09,-1-со О, = — 2Р,Р,О, + — 'хв,— с (Рюх)(09,). (6.2.181) Решения уравнений первого порядка имеют вид х =А (7 )есинтю+А (7' )е сенте О, = В(т,) есм тю+ В (Т,) е-с"*тю.
(6.2.182) (6.2. 183) При постоянных А и В частные решения уравнений (6.2.184) и (6.2.185) имеют вид Х,= — еВ — —, ~, Вееосм тю+СС, (6.2.186) О,= — "'("е+~ '1 АВе'с" +и* т — '1 * "') АВессою-ядт +СС. Ссос(,+а,) ' ' Сис(оч — эя,) (6.2.187) С учетом этих решений уравнения (6.2.180) и (6.2.181) примут вид Р,*х,+со",х,= — 2сш,Р,Аес" т — — дВюеесююютю+ — ОВВ+СС, (6.2.184) ру 1 „р — 2' Р В с,т 1 ~ Ок +~с) АВессм +оюст, + ю( ' с)АВессо,— ю> т. 1-СС.
(6.2.185) Б.з. Прилолтения минодо разложения производной 283 При то, — 2от, они стремятся к оо. Следовательно, разложения (6.2.176) и (6.2.177) нарушаются при от, ж2ло,. Чтобы получить разложение, пригодное для ло, ж 2от„положим ло,— 2тоя.=ео, о=О(1), (6.2.!88) причем будем считать А и В не постоянными, а функциями Т,. Кроме того, используя (6.2.188), выразим ехр (2йо,Т,) и ехр 1/(от,— от,) То] в уравнениях (6.2.184) и (6.2.185) в виде ехр (2ио,То) = ехр (йо, Т,— /пТ,), ехр (/(тол — тол) То) = ехр (/от,Т,+ /пТ,).
Получим Рог, +то',хя = — (2/ло,Р,А+ — дВяе-тот ) еил тл+СС+*р/БТ, 3 (6.2.189) Р Ол+о40л= — ~2тяРл — '( ' ' АВетот ~ е)о*т,+СС+й/ЯТ. (6.2. 190) (6.2.191) Полагая А = — (1/2) /а, ех р (йотр,) и В = — (1/2) /ал ех р (/ло,р,) при действительных а; и ()т и отделяя действительную и мнимую части, получим где принято обозначение у= ло,(3, — 2лоф, +(от, — 2ло,) й (6 2.196) Если в уравнениях (6.2.192) — (6,2.196) положить а,'=то,а,"/ло,/г и а',=2ия/та/, то они перейдут в уравнения (5.5.76) — (5.5.80)„полученные с помощью метода усреднения в канонических переменных. Исключая вековые члены, получим 2т,Р,А = — аВлехр ( — /аТ,), 3 2тлР,В=- Я( ' ' АВехр(/пТ,). а = — а„сову, Зеа я Зол, Зоил а,= — ' а а,сову, 4/ алр, =- — — л а, в1п у, Зяд СО, зл 4/ (6.2.192) (6.2.193) (6.2.194) (6.2.195) Гл.
б. гиетад многих масналабаг йдпз. Модель двя слабой нелннейной неустойчнвостн Ниже рассмотрим модельную задачу о слабой нелинейной неустойчивости стоячих волн, которая была исследована в п.2.1.2, 3,4.2 и 3.5.1. Для значений А, далеких от А =-1, равномерно пригодное решение для стоячих волн имеет вид (п.3.4.2) и= всозо1 созйх+0(зь), (6.2.198) где 1 [1 зз(йе — 111+" Очевидно, что это разложение нарушается при и — 1 =О(е'), Для нахождения разложения, пригодного в окрестности А.=1, введем новую переменную $ =их и приведем (6.2.197) к виду ии — Иеиы — и =и', (6.2.199) и(Б, О)=есозс, и,(Ц, 0) =О.
Кроме того, положим й =-1+зейт, Л, =0(1) (6.2. 200) и предположим, что и(с, 1; е) =и (Т„Т„Т,„е) =ли, +е'и, -1-е'и, + .. (6.2. 201) деа, ден, — — — — и .=-0 дт „ае' (6.2.202) и, =-соз $, дТ' =0 при дТо Т„=О; порядка е' (6.2.203) где Т„==еа1. Подставим фициенты при порядка а ии — и, — и =и', (6.2.197) и (х, О) =- е соз йх, и, (х, О) =-0 (6.2.200) и (6.2.201) в (6.2.199) и приравняем коэфравных степенях е. Г!олучим, приравнивая члены: дяия ден, дян, — — — — и = — 2 — ' дТ'„' дйе ' дггдТ, ' дия дн, — — — при Т =-0; дт дт и 6.2.
Призозеения иааода разложении ароизеоднаа порядка е' дзиз д'из з д'и, д'и, дзиз д'и, — — — и =й+2Ь вЂ” — — — 2 — 2— дт„дез ° + ° Д дт,* дт,дт, дтдтз ' Решение задачи первого порядка имеет вид и, 4-п(Т„Т,)соя $, а(О, О) =1. (6.2,206) Тогда (6.2.203) запишется в виде д и„дзи, — — — — и =-О, дТз д" з з (6.2. 206) ди, Г да У и =О, — '=- — ~ — |соя а при Т„=- О. Решение задачи (6.2.206) будет содержать член, пропорциональный Т„, из-за которого отношение и,(и, не ограничено при ҄— аа.
Этот член исчезнет при условии да~дТ, =0 для Т, =Т,=-О. Тогда получим и, =Ь(Т„Т,)сояЕ, Ь(0, 0) =О. Вековые члены будут исключены при условии дТ' +(2А, — 4 аз) а =О. (6 2 200) Выше были получены начальные условия для а в виде а — -1, дт ---0 при 3 Т„= — О. 16.2.210) Для нахождения функции Ь(Т„Т,) и зависимости а от Т, нужно получить разложение более высокого порядка.
Если ограничиться в вычислениях точностью 0(е'), то с точностью 0(еЧ) величина а может считаться функцией Т,. Задача (6.2.209) и (6.2.210) допускает интеграл (-)--.— — дт '] =-я(п — »(и — 6), 6= —,'-1. (6.2.21» да Уз З 1ЯЬ з Поскольку и (Т,) — действительная величина, то правая часть в (6.2.21» должна быть положительной. Следовательно, значе- При известных решениях первого и второго порядков уравнение для и, запишется в виде дзиз дзиз 2 З ера Х з, дте дР 3 ( 4 — ' —.' — и = ~-'аз — 2Ь а — — )спят+ — азсоя3а.
(6.2.208) дтз 2' 4 Г*. 6. гиетод многих маиилыбав ние а' должно лежать вне интервала с концами 1 и !). Из условия а(О)=1 следует, что а' неограниченно растет при () < 1 и колеблется между значениями О и 1 при р > 1. Поэтому значение р =1 или и, =3/8 отделяет область устойчивости от области неустойчивости. Следовательно, условие нейтральной устойчивости имеет вид (6.2.212) +6 в согласии с (3.5.6). Решение для а задается эллиптической функцией Якоби. 6.2.6. Модель взаннодеаетвня волна — волна Рассмотрим вновь модельное уравнение Брезертона 11964] грп + 'рхххх+ грхх+ Ч' = аФ'» (6.2. 213) которое было исследовано в п.
5.8.1 и 5.8.2 с помощью вариационного подхода. Линейная задача допускает решение в форме однородной бегущей волны га =асов (/гх — го! +р). (6.2. 214) Здесь а, А, го и р — постоянные, а го и й удовлетворяют днсперсионному соотношению гон = Й' — йа + 1. (6.2.215) Резонанс в гармонике может возникнуть, когда пары (го, и) и (пго, пй) при некотором и ) 2 удовлетворяют соотношению (6.2.215). Это имеет место для всех /ге=1/и при и) 2. Для указанных волновых чисел основная и и-я гармоники имеют одинаковую фазовую скорость. Поскольку в нашем уравнении нелинейность является кубической, то порядок 0(а) будет иметь только взаимодействие основной гармоники, соответствующей йа=1/3, с третьей гармоникой (на =3).
Если же нелинейность имеет вид щ" при некотором т, то порядок 0(а) будет иметь взаимодействие основной гармоники (А'=!/пт) с пг-й гармоникой (на=т). Если рассматривать взаимодействия более высокого, чем е, порядка, то даже для кубической нелинейности могут возникнуть резонансы в гармониках, отличных от третьей. Чтобы построить разложение первого порядка, пригодное в окрестности /га = 1/З„положим гр=Ч~а(То~ Тм Ха. Хг)+агрь(Та.
Тм Хаг Хх)+ ° ° ф (6 2 216) где — аи! Х вЂ” них л ° и б.л. Приложения метода разложения производной Ззт Подставляя это разложение в (6.2. 113) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим (6.2.217) дтодр дХ'~А~ ддодд< Решение уравнения (6.2.217) запишем в виде <ро =А<(7<ю Х,)ев| +Аз(Т ° Х,)еич+СС, <о, ж 3<во йо ж З<<~ (6.2.219) (6.2.220) Отметим, что вид <ро предполагает две взаимодействующие гармоники.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
