1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е, р =-а' = Ап+ В!. (6.3.32) Для того чтобы вековые члены отсутствовали, необходимо вы- полнение следующих условий: Го. б. Метод многие моеостадоо Интегрируя уравнение (6.3.31) методом разделения переменных, получим равенство (6.3.33) 4 1+~ —,— 1) е Подставив и, и и, в (6.3.26), придем к следующему уравнению: — + и = ~ — 2В*+ ~! — а*)  — а" + 2со а+ ~ 1 — — а') а'+ дти' ° 1 и з + — '1 соз(т)+сро)+ ~2А; — (! — а') А,~ в1п(Ч + ср,) + с78Т. (6.3.38) Для исключения вековых членов потребуем, чтобы и! 2В; — ~1 — 4 а ) В,=2ы,а — ао+(1 — 4 а') а'+,~, (6,3.39) 2А; — (1 — 4 а') А, =О.
(6.3.40) 3 С помощью (6.3.31) и (6.3.32) эти уравнения примут аид 2В; — В, =2а ~сот+ — ) — 1т — а' — ) а', (6.3.41) А; — ~~ — 1)А,=О. (6.3е42) Решениями полученных уравнений являются функции 1 т 1 7 В а(ы +1а)Ь да+ за,па йа А, =-а,а'е о, (6.3.43) (6.3.44) в котором а„— начальная амплитуда. Выразив А, и В, через фазу сг и амйлитуду а, получим А, =а сов ср, В, =- — а в1п ср.
(6.3.34) Подставив эти выражения в одно из уравнений (6.3.29) или (6.3.20) и используя (6.3.31), получим ср'=0 или ср=ср,=сопв1. (6.3.35) Следовательно, и„может быть записано в виде и, =асов(т1+ср,). (6.3.36) С учетом условий (6.3.29) и (6.3.30) решение уравнения (6.3.28) будет иметь вид и, = А, ($) сов(т1+ ~Р )+ В, (Ц з)п (т)+ сРо) — — в!п 3 (т1+сдо). (6.3.37) оз о.т. Процедура раеяояееная ао дзум аеременнмм где а, и Ь,— постоянные. При 1 — оо имеем $ — оо и а — 2, Поэтому отношение и,/ие при $- оо будет неограниченным, если только не выполнено условие 1а.
1 (6.3.45) Во втором приближении, следовательно, будем иметь и =(а+еаза,е-ы) соз ~(1 — е') е+ <ре1— — ~(„а —,'а)па+Ь,а)'и ~(1 —,',") т+ р.~+ +холе.з1пЗ ~(1 1ь" )1+~р'1 ~+0(е)' (6 346) где (6.3.47) ~/ 1 1„( ~)е ее Отождествив а, с а, + ааааа заметим, что полученное разложение полностью согласуется с разложением (6.2.38), полученным с помощью метода разложения производной. В.З.З. уетойчнвость треугольных точек в еллнптнческой ограннченной задаче трех тел Вновь рассмотрим задачу о параметрическом резонансе, которая была исследована в и. 6.2.6 с помощью метода разложения производной.
Математическое описание задачи дается соотношениями (3.1.63) — (3.1.65). Чтобы с помощью процедуры разложения по двум переменным найти равномерно пригодное разложение в окрестности переходных кривых, следует воспользоваться масштабами времени, отличными от (6.3.3). Подходящими масштабами времени являются следующие: $ =(а+готе'+...)1, т) =1. Будем предполагать, что х и у допускают разложения вида х=хе($, Ч)+ах,(к, Ч)+лехе($, Ч)+..., (6 Зе49) У-Уе(В, Ч)+8У,(В, Ч)+е'У.(В Ч)+.... (6.3.50) Алгебраические детали построения решения здесь не приводятся. Подробности, связанные с решением первого порядка, будут такими же, как в п.
6.2.6 при $=Т, и Ч=Т,. Читателя, интересующегося деталями решения второго порядка, отсылаем к Олфренду и Рэиду [1969]. Их результаты полностью согласуются с результатами, полученными в и. 3.1.5 с помощью метода Уиттекера. Гх. б. Метод многих маештабгм 6.3.4.
Ограничения рассматриваемой методики Приведенные выше примеры показывают, что при подходящем выборе двух переменных результаты, полученные с помощью процедуры разложения по двум переменным, согласуются с результатами, полученными с помошью метода разложения производной. В некоторых случаях для получения равномерно пригодных разложений необходимо использовать более двух переменных. Такая ситуация имела место в задаче о движении спутника вокруг малой планеты в ограниченной задаче трех тел Экштейн, Ши и геворкян [1966а) и в задаче о движении искусственного спутника, период обрашения которого сойзмерйм с периодом вращения планеты Ши и Экштейн [19661.
В случае гиперболических уравнений рассматриваемая методика, так же как и метод разложения производной, применима только к волновым задачам с диспергирующими волнами. В задачах, в которых дисперсия отсутствует, подобных задаче, рассмотренной в п. 6.2.10, этот метод не позволяет получать решения. 6.4. Обобщенный метод в.4л. Уравнение второго порвдка с переменнымн ковффнниентами Рассмотрим следующую частную задачу второго порядка (Найфэ, [19641, [1965Ь)): е — ", +(2х+1) р+2у=О, (6 4.1) и(0) =се, у(1) =р, (6.4.2) которая изучалась в п. 4.1.3 и 4.2.2 с помощью методов сращивания асимптотических разложений и составных асимптотических разложений. Из рассмотрений и.
4.1.3 следует, что точка х =-0 является источником неравномерности прямого разложения. Размеры области неравномерности определяются равенством х =- О (а). Для исследования этой задачи с помощью метода сращивания асимптотических разложений рассматривалось внутреннее разложение, пригодное для х = 0(е) и использующее внутреннюю переменную т) =х/е.
Это внутреннее разложение сращивалось с внешним и затем строилось составное разложение, которое и являлось равномерно пригодным разложением. Чтобы получить равномерно пригодное разложение с помощью обобщенной разновидности метода многих масштабов, введем в рассмотрение масштабы 5=х, (6.4.3) т) — " + П, (Х) + ейт (Х), (6.4.4) Гт д. Матод многих маоттабао нения относительно у„у! и уа: ~Да — о+(2ао+ 1) д ~ ко- — «О, (6.4,10) 1ка д '+( к+ ) д 1ко+ 6ад1д + 1ка+(2э+ ) ка1 д! + +(2К+1) д +2Уа+26аЯад— ,, =О, (6.4.11) ! "": Яо д о +(2оь+1) — 1фа+26од; д а +(2(а~+ 2лаДо) — ~~+ +Ы+(26+ 1) а',1'к'+(;+я+ 1) а ф+ +2Ка~ ~ +26! д д + — „+(2аь+ 1) — +2у! = О. (6.4.12) где принято обозначение у($) = —.
21+ ! ао (6.4.14) Уравнение (6.4.11) тогда примет вид ( д о + 7 д )й> = ((2Ха+ ) Ао+~Ао1 Ыо77 ВоЧ+ + ( — 2л~(ВоУ)'+(25+ 1) Ва+ (2 — У4!" +л,'о!Уо) В Ц е — ач. (6 4.15) Решением полученного уравнения является функция — (~) 1 В ©е-ач (25+ !)Ао+2Ао аа т ! ! ! .. „! + —.а ( 2 В.2аУ Ч" — 12а'. (Ват)' — (2~+ 1) В;— — (2 — Уда" +~,'даУ') В,— В,даД Ч~ е-ач.
(6.4.16) Для того чтобы отношение уа(уа было ограниченным при всех Ч, коэффициенты при Ч, Че"оч и Ч'е-оч должны обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено (2$т1) А;+2А =О, (6.4.17) Воу =0 (64 18) 26ф(Ва!) (2аа+ 1) Во (2 Уйр+~афаУ~) Во — Ва2а~У' = О. (6.4. 19) Поскольку при х — 0 выполнено д,(х) — х, то 4,'чйО.
Поэтому решение уравнения (6.4.10) запишется в виде у,=А,Я)+В,($) е-т!1>ч, (6.4,13) бзи Обобщенный меглод Общее решение уравнения (6.4.17) имеет вид А о эЬ+< з (6.4.20) где а, †постоянн. Поскольку у, а следовательно, и у, удовлетворяют двум граничным условиям, то имеем В„чво. Тогда из уравнения (6.4.18) получаем у =О. Таким образом, у — постоянная, которую без потери общности можно взять равной единице. Из соотношения (6.4.14) будем иметь йо=Г+$ (6.4.22) Здесь использовано условие д,(О) =О, которое отражает то обстоятельство, что неравномерность имеет место в окрестности точки Е О. Уравнение (6.4.19) запишется в виде в; — а,'в, =о.
(6.4.23) Решением этого уравнения является функция В„=Ь,еа <и, (6.4.24) у ==- ', +Ь ах <г<е-<ж <<и~<-х <и+0(е)= +Ь й-<а. «>ч< +О (е). 2$-<-! (6А.25) Поскольку функция й,(5) независимо от ее значений не входит в полученное разложение, то без потери общности можно положить л, =О. Проведенные выше рассмотрения показали, что величина у должна быть постоянной.
Не теряя общности, мы положили ее равной единице. В показателе экспоненты (см. (6.4.13)) величина у умножается на <1. Поэтому при не постоянном у производная по 5 будет содержать члены, пропорциональные степеням пь из-за которых отношение у,/у„ будет неограниченным при <1. оо. Следовательно, в подобной ситуации можно с самого начала положить у равным единице. Кроме того, чтобы получить условие ограниченности у /у, для всех ть нет необходимости решать уравнение (6.4.15). Для этого достаточно, последовав уравнение (6.4.15), потребовать обращения в нуль тех членов, которые порождают частные решения, дающие неограниченное отношение у,/у,. К членам указанного типа относятся все члены, пропорциональные где Ь, †постоянн интегрирования.
Таким образом, в первом порядке имеем Гх. б. Мнаод хвогих хооовообое решениям однородного уравнения. Поскольку решениями однородного уравнения являются е-тч и 1, мы и потребовали выполнения условий (6.4.17) и (6.4.!9), Для отыскания второго приближения положим д,=о, 7=-.1 и, подставив выражения для ув, у, и д, в (6.4.12), получим ( — ""в* +у,)ув' = — [(25+ 1) А; + 2Ав+ Ав[+д'„[В; — Вдв! е-ч, (6.4.26) Для ограниченности у,/ув при всех т( необходимо выполнение условий (25 + 1) А; + 2А, + А," = О, в; — в,д, =о.
(6.4.27) (6.4.28) С учетом (6.4.20) получим следующее решение уравнения (6.4.27): А 26+ ! 06+1)в ' (6.4.29) где а,— постоянная интегрирования. Условию (6.4.28) можно удовлетворить, положив В;=О, у,=О. (6А.ЗО) Тогда будем иметь в,=ь„ (6.4.31) ав = — сопз(, где Ь, — постоянная интегрирования, а лв = О, поскольку дв (0) =О. Таким образом, во втором приближейии у задается равенством вв ! Ь е [<в~охав! 1+ 2х +а [ 1 + о +Ь е пвв+вУв11 ! О(ав) ! 1+2х (Т+ 2х)~ (6.4.32) Наложив граничные условия у(0) =а и у(1) =р, получим а,=3(1, Ь,=а — 3р, а, = — 2р(3, Ь, = — 16()/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
