1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для статически устойчивых тел (т. е. при <э,') О) и положительных р частота <о, положительна, а <э, отрицательна. В зависимости от того, близко ли значение р к <э< или нет, следует различать два случая. Первый случай, при котором вынужденный отклик стремится к бесконечности при р <э„ называется вращательным резонансом. До того как значения р приблизятся к <э„ затухание и нелинейные аэродинамические силы существенно изменят отклик системы.
Случай вращательного резонанса рассмотрен в данном пункте для К =е<л. Читателя, интересующегося нерезоиансным случаем, отсылаем к Найфэ и Сарику 11972 а). Для нахождения приближенного решения уравнений (6.4.105)— (6.4.107) при р = <о, будем использовать обобщенную разновидность метода многих масштабов.
Заметим с этой целью, что экспериментальные данные о фактических полетах и численные расчеты движения тел с шестью степенями свободы выявляют существование по крайней мере четырех масштабов времени: медленного масштаба времени Т, =еЧ, характеризующего изменение величин К, <э„у, т<, у< и р<, и трех быстрых масштабов, характеризующих нутапию, прецессию и вынужденную состав. 314 Гх. 6. Меонд многих маеиииибог ляющую угла атаки. Итак, будем предполагать разложения вида В(1; з) =зЦ1(т)„Ч„Т,)+агах(т~„г)„ч1, Т,)+... (6.4.110) р(1; е) =р,(Т,)+е'Р,(т)„т1„1р, Т,)+..., (6.4.111) где — '=еоь о11,=~' "~ ~/ ( — '-") +ы,',. (64.112) здесь о1, (Т,) — частота нутации, со, (Т,) — частота прецессии.
Про- изводные по времени в этих переменных преобразуются согласно равенствам д д д д д И ' д1Ь *дпг д1Г дТ, ' — ~ = о1 — + ог — + Р— + а'— де дх х дх дх де де — =ог,' —, +и1, "—, +Р' — +2ео,ог, +2ы,р + дг др д др д др д +2ог Р— +го —,— +ы — — +Р— — + дпхд1Г дя1 дф ' дпх дф д1Г дЧЧ> дх , дх дг х , д +2зха1х +2ехо1, — +2е'Р— +ахегх' — + ' аЬдг г д Ьдт, дздт дп + з'о1', — + е' — — + а' —,. д, др д дх (6.4.
114) 'дп, дт, ар дтх (6.4.113) Здесь использовано обозначение д д дуг + огг + Ро — )— 'дп, гдп о дт~ — р" ~ог д— „-+гогд— +Р. д, )+ог'.. (64116) Решение уравнения (6.4.115) имеет вид В, =- А, (Т,) Егин + А, (Т,) Е' Ь (6.4.119) Подставив (6.4.110) — (6.4.114) в (6.4.105) и (6.4.107) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем Ь (й,) = О, (6.4.115) Ь(5„) =йе ' + 1 — 2о1,—.— 2, — — о1, '— — го', — + 1, + д%х ~~'~~ ° 41, д$, * дгцЛ'.
'дп.дт. ' дп, ' Ь~. х ' дч1 *дчх / +1(Х1+ Ь! 5 Р) $! (6.4.116) +огх ~.+Р ~ ~ат +те+о,ро+т,)ша1е ' ). (6.4117) 1 *~2 Э б.й. Обобщенный метод 3!о С его учетом уравнение (6.4.1!7) переписывается в виде ч+р др, дре дре 'дЧ 'дп ' дЧ дт + ~о+~еро+ дре +т, [а, з)п(ть — ер+0,)+а, з(п(е),— ер+0,)1, (6.4.120) где А„= а„ехр (!О„) с действительными а„и О„. Поскольку р, ж в„то величина тн — ер является медленно меняющейся функцией времени. Будем считать ее функцией Т,. Далее, решение уравнения (6.4.120) содержит члены, которые стреьштся к бесконечности при !1„ Ч, или гр — оо (т. е.
прн ! оо), нарушая тем самым наше разложение, если только не ныполнено условие ~~' — — ч, +т,р, +ч,а, з)п(п,— !р+О,). (6.4.121) При выполнении этого условия р, будет иметь вид (6А. 122) р, =- ' соз(т!, +О,— ер). Зная $„можем переписать (6.4.114) в виде 6(~е) — Я е%чю+() е!чз+((в1!ее+ еуе+у) А1еА,е!<ей-чв1+ + (йое(ее + 1)(, + у) АеА,'е' <еч.-чп, (6.4, 123) где СЬ = — 1(в,— в,) ат — !в;А, + ИА! + ! ((в,!е, + т,,)+( — !у+)(, +в,н,) а,'+ +[ — 2(У+2Х,+(в, +в,) !ее)а1) А, +йе'!о+ее 'д.
(64,124) Яе =1(в, — в,) —,— по',А, + еле + ! [(в,)г, +)()+[ — 2!7+2)(, +(в, +в,) ре! а',+ +( — 17+у, +в,)е,) 4) А,. (6.4.125) Вековые члены в (6.4.123) будут исключены при условии Я, = =Я, =О. Полагая в (6.4.124) и (6.4.125) А„=а„ехр(вО„) с действительными а„и 9„, учитывая, что (),=Я,= — О, и разделяя Гх.
б. Метод многих мосиинобог зш действительную н мнимую части, получаем ) „а, + Х„аг, + Хгга,ае+ з)п Г, кз — гое дое г е ду, )'"а + )"-а'+ )'-ага" — — (а +2а.) — соз Г оч — гог ' (го, — егг) о~ ои, рте (6.4.126) (6.4.127) (6.4.128) (6.4.129) Здесь принято обозначение г=р — и, о,+р„ (6.. 3О) 1 Р~ы.
)ге )1гг) = щ,„(ог~рг + Хг гоы ыо~Р~ +)С~, (ог~ + го~) Ре+ 2Х~), (6.4А31) получаем 6.4.7. Зелкчк о космическом корабле типе Земля — Луна Следуюшнм примером будет одномерная задача о космическом корабле типа Земля †Лу, которая рассматривалась в п.2А.2, 3.2.2 и 4.1.7 и задается соотношениями — ( — ) = — "+ — ", С(О) — — О. (6.4.134) Если при малом р разложить С по степеням х, то полученное разложение будет иметь особенность в точке х =1 и область неравномерности порядка 1 — х=О(р). Таким образом, для нахождения разложения, пригодного для всех х, методом многих масштабов введем две переменные (Найфэ 11964), [1965а!) 1 — х $=х, 71= —.
и В этих переменных уравнение (6А.134) примет внд )г'2 ~ — „— р. ' — ) =~ — 1+ — С1 (6.4.135) 1 Р" *).*» 7-1=- — „„(ы. ° +Х* — ' ы.р.+Х., (со,+со,)р,+2уД. (6.4.132) Объединяя (6.4.128) и (6ААЗО) н вводя параметр расстройки о, определяемый соотношением р, =го, +в*о, б.е. Обогоценный метод 3!7 где все функции х считаются зависящими от $, за исключением источника неравномерности, выражения 1 — х, которое записано как функция Ч в виде рЧ. Предположим теперь, что(допускает следующее равномерно пригодное разложение: (=го($, Ч)+Фо(В, Ч)+Ро(о(В, Ч)+.... (64.136) Подставив (6.4.136) в (6.4.135) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р,, получим — =0 доо д ч (6.4.
140) где А определяется из условия ограниченности отношения 1,/го при всех т). Решение уравнения (6.4.138) имеет вид — )'21, = — А'($) Ч+ р'$Ч(Ч+$) — Р~о Агсзй ~~-+В($). (6.4.141) При Ч оа равенство (6,4,141) переходит в следующее: — ~'21,=~1/Т вЂ” А ®1Ч+ —,' ~~~1 — 6"!п2 ~/ — ", + + ВК)+0(т! '). (6.4.142) Таким образом, выражение для 1, содержит два члена, доставляющих особенность при Ч со: это — слагаемое, пропорциональное Ч, и слагаемое, пропорциональное !п(Ч). Первое слагаемое может быть исключено при условии А'(5) =- ~'5, А == — т,о" +а (6А.143) где а — произвольная постоянная. Относительно второго члена заметим, что 1п(т1) меняется медленно вместе с х и р, хотя и т1 является быстрой переменной. Поэтому этот член должен быть выражен через переменную $, т. е.
должен быть записан в виде фо7о 1п 2 ~, — = $о~о (п у / ч /4(! — $) У на Общее решение уравнения (6.4.137) имеет вид ) 21о — — А($), (6.4. 137) (6.4.138) (6.4.139) Гх. 6. Мегиод многих мооиииабов з!в Тогда (, имеет особенность при $- 1 и будет ограничено при С вЂ” 1, если выполнено условие В($) = — Р!в)п(1 — $)+С($). (6.4.144) Функция С(3) определится из требования ограниченности отношения (,((, при т! оо.
Подставив полученные выше решения в (6.4.139), найдем ° х — д!в ! Ч 1 . ° /Ч(Ч+$) - Г Ч! 1 ° г-I и ~в!в + + — )l $ А!с з)! )/ — ' — — Т/ $1п (1 — $)+ — —,— С' ($). (6.4.!45) При т! — оо уравнение (6.4.145) принимает вид р 2 Ф= — — )%+ — )%1п2 ~/ —" — Ь%1п(1 — и+ хи 3/в +2 ! — $ (~)+ (6.4.146) Здесь вновь член !п)/Ч следует выразить через $. Уравнение (6.4.146) соответственно примет вид — дг, г т З вв/в ° = !! — — + — !и 2 — !пр1) Л+-,= — С'(В+О(п- )- дв! '! 4 2 4 ) 2 ! 3 т з з С'($) =( — — + — 1п2 — !при))/$+ —— 4 2 4 ) 2 ! — З ° откуда С = — — ~ ~ — )Г~ — ~ 1п =+ — !п — +с (6.4.
14у) вв — ' вв ий ' '+~В 6 2 '' 4 2 — 1~/~ в где с — постоянная интегрирования. Выразив („и (, через х и использовав начальное условие ((х —.— О) =О, получим а==с=О. Следовательно, )' 2 ! =- (! — х) )" х — )гех (1 — х) (1 — х+ рх) + + р ~хв!в Агс з!! '~/ — — хем 1п + .- /1 — х ! 4(1 — х! Их 2 их + — хв!в+)ггх — — 1и = ! +О (!хв). ! в — ! !+ 3/хт 6 2, У„-~ (6.4.146) Для ограниченности отношения 1,/!! при т1- оо должно быть вьпкьшено 6.4. Ойобщеллий лелюд Рассмотрим теперь иной метод (Найфэ !1965а)) определения функций А($) и В(с). Поскольку разложение )' 21 — — А ($) + )с ~ А' (Ц Ч вЂ” ~/ 5п (и + $) + ~же Аг зй 1/ —"— $ — В (с)1 + 0 ()ье) (6А. 149) предполагается равномерно пригодным для всех х, то вдали от х =- 1 оно должно сводиться к прямому разложению (см.
упр. 2.12). 1/2(= — х'~'+р — хам+)'х — 1и=,+0(р'). (6.4.150) з з Для нахождения А (з) и В(с) вместо условия ограниченности 1„1(ь, при всех $ и т) может быть использовано это условие. Выразив (6.4.149) через х и разложив прн малом р, получим р'21=А(х)+и ~А (х) ' — ' ' — 'ух ' хз ° + + ! хьм(и ( ) — В(х)1 +0(р'). (6.4.!51) Чтобы первые члены в (6.4.150) и (6.4.151) совпали, должно быть выполнено А (х) = — хме. 2 з (6.4.! 52) Тогда вторые члены совпадут при условии В(х) = — —,хм' — ) х+ — х"'1и + — 1и . (6.4.153) Подставив эти выражения для А и В в разложение (6А.149) и выразив результат через х, получим в точности разложение (6.4.
148) . 6.4.8. Модель диспергирувщлх волн Вновь рассмотрим модельное уравнение Врезертоиа !1964) р«+ р., + р, +ср == Ч'. (6.4.! 54) Линеаризованное уравнение допускает решение в форме бегугцих воли Е=-йх — 1, "=й — й +1. (6.4. 155) Для отыскания волн, параметры которых медленно меняются в просгранстне и во времени, будем следовать Найфэ и Хассану Гм 6. Меогод многих магагагабоо [1971], предположив, что имеется разложение вида гр=-гр,(0, Х„Т2)+егрз(0, Х„Т2)+..., (6А.!56) где О=е 2~(Х„Т,), Х,=ел, Т,=ег, д~ Д~ к= — О = —, го= — О = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
